易強　吳加富　宋子瑜

摘 ?要：針對冗余噴涂機器人逆運動學(xué)優(yōu)化解空間難以確定的問題，提出一種基于帕累托優(yōu)化解集的解流形分析方法，對噴涂機器人逆運動學(xué)解流形在解空間中的優(yōu)化分布問題進(jìn)行了研究。帕累托優(yōu)化解集一方面將噴涂冗余機器人的解空間流形與數(shù)學(xué)中帕累托解集聯(lián)系起來，另一方面將噴涂冗余機器人的關(guān)節(jié)逆運動學(xué)拓展到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的解空間流形進(jìn)行研究，更易得到具有物理和幾何意義的結(jié)論。最后通過空間旋轉(zhuǎn)殼體逆運動學(xué)仿真證明了所用方法的合理性。

關(guān)鍵詞：冗余機器人 ?帕累托 ?流形 ?優(yōu)化

中圖分類號：TP242.2 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-3791（2021）02（a）-0052-04

Manifold Analysis of Pareto Optimization Solution Set for Redundant Spraying Robot

YI Qiang1，2 ?WU Jiafu2 ?SONG Ziyu3

（1.Suzhou Ruisai Precision Tools Co.， Ltd.， Suzhou， Jiangsu Province， 215104 China;2.Suzhou Funaair Technology Co.， Ltd.， Suzhou， Jiangsu Province， 215009 China;3.School of Automation， Beijing Institute of ? ? ? ? ? ? ?Technology， Beijing， 100102 China ）

Abstract： Aiming at the problem that the inverse kinematics optimization solution space of redundant spraying robots is difficult to determine， a solution-manifold analysis method based on the Pareto optimization solution set is proposed to solve the optimization distribution problem of the inverse kinematics of the spraying robot in the solution space. On the one hand， the Pareto optimization solution set links the solution space manifold of the spraying redundant robot with the Pareto solution set in mathematics， and on the other hand， it extends the joint inverse kinematics of the spraying redundant robot to the solution space flow in the field of mathematics. It is easier to get conclusions with physical and geometric significance by studying the shape. Finally， the inverse kinematics simulation of the space rotating shell proves the rationality of the method.

Key Words： Redundant robot; Pareto; Manifold; Optimization

噴涂機器人在工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣，尤其是在條件復(fù)雜，障礙物較多的工作場所一般需要關(guān)節(jié)較多的冗余噴涂機器人，而冗余噴涂機器人有無數(shù)個逆運動學(xué)解，在所有逆解中找到符合條件的最優(yōu)化逆解成為冗余噴涂機器人工作中的關(guān)鍵問題[1-2]。流形是目前描述機器人逆運動學(xué)最高效的理論與方法，帕累托優(yōu)化解集又是優(yōu)化解流形的集中描述[3]。

該文針對旋轉(zhuǎn)噴涂工作曲面的冗余機器人，在空間流形基礎(chǔ)上提出算法，帕累托優(yōu)化解集在李群流形基礎(chǔ)上分析了冗余噴涂機器人的關(guān)節(jié)構(gòu)型空間優(yōu)化解集，帕累托優(yōu)化解集一方面將噴涂冗余機器人的解空間流形與數(shù)學(xué)中帕累托解集聯(lián)系起來，另一方面將噴涂冗余機器人的關(guān)節(jié)逆運動學(xué)拓展到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的解空間流形進(jìn)行研究，更易得到具有物理和幾何意義的結(jié)論[4-5]。通過MATLAB仿真得到了冗余噴涂機器人在不同臂形標(biāo)志下的自運動流形仿真，最后通過噴涂殼體的仿真證明所用方法的正確性[6]。

1 ?帕累托優(yōu)化流形分析

基于機器人運動關(guān)節(jié)空間的多目標(biāo)優(yōu)化性能泛函有如下數(shù)學(xué)描述：

（1）

式（1）中，表示為目標(biāo)函數(shù)，代表冗余噴涂機器人的解空間向量，M表示為高維空間流形，該文中n=8，分別代表關(guān)節(jié)運動的下限和上限，冗余噴涂機器人解流形的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)之間一般來說是相互沖突的，很難找到唯一的優(yōu)化解，因此通過流形降維理論優(yōu)化出的逆解應(yīng)該是一個最優(yōu)解集，數(shù)學(xué)上稱之為帕累托（Pareto）最優(yōu)解集。

1.1 帕累托最優(yōu)解

如果機器人解空間M中的解θ是非劣的，那么解θ屬于帕累托最優(yōu)解，帕累托最優(yōu)解之間沒有差別 ? ? ?關(guān)系。

1.2 帕累托所有最優(yōu)解組成的集合成為帕累托最優(yōu)解集

（2）

定義關(guān)節(jié)構(gòu)型空間：

（3）

式（3）中，C1為移動關(guān)節(jié)構(gòu)型空間，C2到C7為六自由度機械手各轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)空間構(gòu)型，C8為旋轉(zhuǎn)空間構(gòu)型，當(dāng)殼體運動時，冗余噴涂機器人將會呈現(xiàn)出曲面流形的結(jié)構(gòu)，它包括了冗余機器人的全部逆解。

定義位置關(guān)節(jié)構(gòu)型空間：

（4）

定義位置關(guān)節(jié)工作空間流形：

（5）

式（5）中，low是從基座標(biāo)系原點到冗余噴涂機器人腕點的矢量，，Cwl為位置關(guān)節(jié) ? ? ?流形。

定義姿態(tài)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間：

（6）

定義姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形：

（7）

式（7）中，代表末端工具坐標(biāo)系的姿態(tài)，，表示為姿態(tài)工作空間 ? ? ?流形。

2 ?流形分析優(yōu)化

基于冗余噴涂機械手解流形的局部線性嵌入優(yōu)化算法有如下表達(dá)。

以右上臂形位置關(guān)節(jié)空間仿真流形為例簡述流形優(yōu)化的基本過程：

（1）給定樣本數(shù)據(jù)集，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)點的歐氏距離找到每個點的k個相鄰空間，Ti為樣本數(shù)據(jù)點的k個鄰域下標(biāo)集合。

（2） 得重構(gòu)權(quán)值矩陣：

（8）

權(quán)值集中體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)點θt對θi在重構(gòu)數(shù)據(jù)點時的貢獻(xiàn)大小，如果θt不是θi的鄰近數(shù)據(jù)點，則=0。所以重構(gòu)權(quán)值矩陣W是以最小二乘算法最小化每一個樣本數(shù)據(jù)點的重構(gòu)誤差來實現(xiàn)的。針對樣本點的旋轉(zhuǎn)特點和縮放特性可以保持重構(gòu)權(quán)值矩陣保持不變，為了能使重構(gòu)權(quán)值矩陣的平移數(shù)據(jù)保持不變，對所有θi進(jìn)行權(quán)值約束：

（9）

利用拉格朗日乘子算法可以得到重構(gòu)權(quán)值矩陣W的封閉解。

（3）低維嵌入θ'的求解，算法要求其低維嵌入及其鄰近點可以反映θ空間中相對應(yīng)樣本數(shù)據(jù)點的重構(gòu)權(quán)值關(guān)系，即最小化損失函數(shù)：

（10）

針對加入約束：

（11）

可得：

（12）

式（12）中屬于n×n矩陣，要使代價函數(shù)取最小值，低維嵌入θ'應(yīng)該取M的特征值對應(yīng)的特征向量：

（13）

3 ?流形仿真驗證

冗余噴涂機器人在各個臂形標(biāo)志下都有其不同的靈活工作空間，不同的靈活工作空間對應(yīng)不同的優(yōu)化解流形，從而其帕累托優(yōu)化解集也不一樣，考慮到右上臂形一般是噴涂冗余機器人在實際噴涂工作中所處的臂形，所以該文針對右上臂型分別在位置空間和姿態(tài)空間做了相應(yīng)的自運動流形仿真，分別見圖1、圖2。

為了驗證所得流形的正確性，該文利用進(jìn)氣道旋轉(zhuǎn)殼體進(jìn)行仿真來驗證所得結(jié)論的正確性，進(jìn)氣道旋轉(zhuǎn)殼體具有非常復(fù)雜的曲面外形，對逆解流形的計算精度有很高要求，如仿真點位和實際點位高度吻合，則證明算法是可信的，如果誤差較大則仿真曲線將會偏離實際曲線較大，具體見圖3，冗余噴涂機器人期望軌跡和仿真軌跡高度吻合，充分證明所得運動學(xué)逆解流形是正確的。

5 ?結(jié)論

本文針對冗余噴涂機器人關(guān)節(jié)空間所得位置逆解和姿態(tài)逆解，基于帕累托解集最優(yōu)化理論提出一種流形優(yōu)化算法，所有優(yōu)化逆解構(gòu)成機器人解空間的帕累托優(yōu)化解集，流形優(yōu)化方法主要目的在于發(fā)現(xiàn)嵌入在高維數(shù)據(jù)空間中的低維流形結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)原始幾何特性保持不變。通過仿真得到最優(yōu)解集的位置關(guān)節(jié)流形和姿態(tài)關(guān)節(jié)流形。最后以噴涂殼體為例進(jìn)行仿真驗證了所用方法的合理性。

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