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        ?

        關(guān)于一致超圖直積的循環(huán)指數(shù)

        2021-05-18 02:36:24范益政田夢宇
        關(guān)鍵詞:定義

        范益政,田夢宇

        (安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

        文獻(xiàn)[1-2]獨(dú)立地引入了張量的特征值.文獻(xiàn)[3]引入一致超圖的鄰接張量表示, 并推廣了簡單圖上的若干譜結(jié)論.

        定義1

        設(shè)

        G

        n

        個點(diǎn)

        v

        ,

        v

        ,…,

        v

        上的

        m

        -一致超圖, 其鄰接張量定義為

        m

        n

        維張量(

        G

        )=(

        a

        ), 其中

        根據(jù)非負(fù)張量的Perron-Frobenius定理, 如果為不可約或弱不可約非負(fù)張量, 則它的譜半徑

        ρ

        ()是的特征值, 并且對應(yīng)唯一的正特征向量(在相差一個常數(shù)倍意義下), 且有

        (1)

        在文獻(xiàn)[9]中, 作者定義了一般張量的譜對稱性, 并利用張量的廣義跡給出了循環(huán)指數(shù)的顯式表示.

        定義2

        設(shè)為張量,

        l

        為正整數(shù).稱為譜

        l

        -對稱的, 如果

        (2)

        滿足式(2)的最大正整數(shù)

        l

        稱為的循環(huán)指數(shù), 記為

        c

        ().一致超圖

        G

        稱為是譜

        l

        -對稱的, 如果其鄰接張量(

        G

        )是譜

        l

        -對稱的;

        G

        的循環(huán)指數(shù)定義為其鄰接張量(

        G

        )的循環(huán)指數(shù), 記為

        c

        (

        G

        ). 文獻(xiàn)[3]提出研究

        m

        -一致超圖的譜

        m

        -對稱性. 文獻(xiàn)[10]應(yīng)用張量的廣義跡給出

        m

        階張量的譜

        m

        -對稱的刻畫. 文獻(xiàn)[11]提出研究

        m

        -一致超圖的對稱譜問題 (即譜2-對稱問題). 文獻(xiàn)[12]完全刻畫了超圖的對稱譜問題. 文獻(xiàn)[13]刻畫了

        m

        -一致超圖的對稱

        H

        -譜問題. 論文主要研究超圖直積的譜對稱性, 證明

        G

        ×

        H

        是譜[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]-對稱的, 從而[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]|

        c

        (

        G

        ×

        H

        ), 其中[

        a

        ,

        b

        ]記正整數(shù)

        a

        ,

        b

        的最小公倍數(shù).

        1 預(yù)備知識

        設(shè)=(

        a

        )為

        m

        n

        維張量. 若的所有元素

        a

        在其指標(biāo)的任意置換下仍保持不變, 則稱為對稱張量; 若的所有元素

        a

        都非負(fù), 則稱為非負(fù)張量. 定義的關(guān)聯(lián)有向圖

        D

        ()如下: 其點(diǎn)集為{1,2,…,

        n

        },弧集為{(

        i

        ,

        i

        ),…,(

        i

        ,

        i

        )|

        a

        ≠0}.

        D

        ()可能包含環(huán)和多重弧. 張量稱為是弱不可約的, 如果

        D

        ()是強(qiáng)連通的.

        (

        x

        -1)=∑,…,∈[]

        a

        x

        x

        ,

        i

        ∈[

        n

        ].定義

        m

        n

        維單位張量為=(

        i

        ), 其中, 當(dāng)

        i

        =

        i

        =…=

        i

        ∈[

        n

        ]時,

        i

        =1; 否則

        i

        =0.

        張量的特征多項式

        φ

        (

        λ

        )定義為多項式系統(tǒng)(

        λ

        -)

        x

        -1的結(jié)式, 見文獻(xiàn)[1,14-15]. 易見,

        λ

        是的特征值當(dāng)且僅當(dāng)它是

        φ

        (

        λ

        )的根. 張量的譜定義為

        φ

        (

        λ

        )的根的多重集, 記為Spec(). 張量的譜半徑定義為的所有特征值的最大模, 記為

        ρ

        ().

        文獻(xiàn)[16]引入同階張量的直積的概念, 并給出若干譜結(jié)論.

        定義4

        設(shè)和為

        m

        階且維數(shù)分別為

        n

        ,

        n

        的張量. 直積?定義為

        m

        n

        n

        維的張量, 其元素為(?)(,)(,)…(,)=

        a

        b

        ,其中:元素的下標(biāo)取集合[

        n

        ]×[

        n

        ]的字典序.設(shè)

        G

        =(

        V

        ,

        E

        )為一個超圖. 超圖

        G

        的一個長為

        t

        的鏈定義為如下點(diǎn)邊交錯序列

        v

        e

        v

        e

        e

        v

        , 其中

        v

        v

        +1且{

        v

        ,

        v

        +1}?

        e

        ,

        i

        =0,1,…,

        t

        -1. 超圖

        G

        稱為是連通的, 如果它的任意兩點(diǎn)都有一條鏈連接. 假設(shè)

        G

        m

        -一致超圖, 則其鄰接張量(

        G

        )是非負(fù)對稱的, 且它是弱不可約當(dāng)且僅當(dāng)

        G

        是連通的. 論文中, 一致超圖

        G

        的譜、譜半徑、特征值和特征向量均指其鄰接張量的相應(yīng)定義. 一致超圖

        G

        的譜半徑記為

        ρ

        (

        G

        ).

        定義5

        設(shè)

        G

        H

        為兩個

        m

        -一致超圖, 則

        G

        H

        的直積, 記為

        G

        ×

        H

        , 具有點(diǎn)集

        V

        (

        G

        ×

        H

        )=

        V

        (

        G

        V

        (

        H

        ),且{(

        i

        ,

        j

        ),…,(

        i

        ,

        j

        )}∈

        E

        (

        G

        ×

        H

        )當(dāng)且僅當(dāng){

        i

        ,…,

        i

        }∈

        E

        (

        G

        )且{

        j

        ,…,

        j

        }∈

        E

        (

        H

        ).

        引理1

        設(shè)

        G

        H

        為兩個

        m

        -一致超圖, 則

        G

        ×

        H

        的鄰接張量為(

        G

        ×

        H

        )=(

        m

        -1)!((

        G

        )?(

        H

        )).如果

        λ

        G

        的對應(yīng)于特征向量

        x

        的特征值,

        μ

        H

        對應(yīng)于特征向量

        y

        的特征值, 則(

        m

        -1)!

        λμ

        G

        ×

        H

        對應(yīng)于特征向量

        x

        ?

        y

        的特征值.

        2 超圖直積的循環(huán)指數(shù)

        設(shè)

        G

        H

        為兩個

        m

        -一致超圖. 該節(jié)主要討論

        G

        ×

        H

        的循環(huán)指數(shù)

        c

        (

        G

        ×

        H

        )與

        G

        H

        的循環(huán)指數(shù)

        c

        (

        G

        )和

        c

        (

        H

        )的聯(lián)系, 證明了[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]|

        c

        (

        G

        ×

        H

        ). 先介紹關(guān)于非負(fù)弱不可約張量的Perron-Frobenius定理, 其中的一個特征值稱為是

        H

        -特征值, 如果它對應(yīng)一個正特征向量.

        定理1

        設(shè)為非負(fù)弱不可約張量, 則譜半徑

        ρ

        ()是的唯一

        H

        -特征值,且對應(yīng)唯一的正特征向量(在相差一個常數(shù)倍意義下).對于

        m

        n

        維張量, 以及兩個

        n

        ×

        n

        的對角矩陣,, 根據(jù)文獻(xiàn)[16]中定義,定義為

        m

        n

        維張量, 其元素為()=

        p

        a

        q

        q

        .如果=, 則稱和-1對角相似, 此時,和-1具有相同的譜.

        定理2

        設(shè)和為

        m

        n

        維實(shí)張量, 且||≤, 即|

        b

        |≤

        a

        ,

        i

        ∈[

        n

        ],

        j

        ∈[

        m

        ]. 則(1)

        ρ

        ()≤

        ρ

        ();

        定理3中的

        k

        即為的循環(huán)指數(shù).

        引理2

        設(shè)為

        m

        階張量. 如果是譜

        l

        -對稱的, 則

        l

        |

        c

        (); 如果還是對稱的, 則

        l

        |

        m

        , 從而

        c

        ()|

        m

        .首先討論超圖直積的連通性. 超圖

        G

        的2-部分圖(2-section), 記為[

        G

        ], 定義為點(diǎn)集

        V

        (

        G

        )上的簡單圖, 其邊集為{{

        u

        ,

        v

        }|

        u

        v

        ,?

        e

        E

        (

        G

        ),{

        u

        ,

        v

        }?

        e

        }, 即兩個點(diǎn)在[

        G

        ]中相鄰當(dāng)且僅當(dāng)它們屬于

        G

        的同一條邊.

        引理3

        設(shè)

        G

        H

        為兩個

        m

        -一致超圖,

        m

        ≥3. 則

        G

        ×

        H

        是連通的當(dāng)且僅當(dāng)

        G

        H

        都是連通的.

        證明

        顯然,

        G

        ×

        H

        是連通的當(dāng)且僅當(dāng)[

        G

        ×

        H

        ]是連通的.根據(jù)文獻(xiàn)[18]的引理6.3,[

        G

        ×

        H

        ]=[

        G

        ]×[

        H

        ]. 根據(jù)文獻(xiàn)[19]的定理1, [

        G

        ]×[

        H

        ]是連通的當(dāng)且僅當(dāng)[

        G

        ]和[

        H

        ]都連通(或等價地,

        G

        H

        都連通), 且至少有一個是非二部圖. 由于

        m

        ≥3, [

        G

        ]和[

        H

        ]都含有

        m

        -團(tuán)(即

        m

        個點(diǎn)上的完全子圖), 因而它們都是非二部的. 因此,

        G

        ×

        H

        是連通的當(dāng)且僅當(dāng)

        G

        H

        都是連通的.

        定理4

        設(shè)

        G

        H

        為兩個連通的

        m

        -一致超圖, 且

        G

        ×

        H

        連通. 則

        G

        ×

        H

        是譜[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]-對稱的, 從而[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]|

        c

        (

        G

        ×

        H

        ).

        證明

        由于

        G

        H

        都是連通的, 從而(

        G

        )和(

        H

        )都是弱不可約的. 根據(jù)定理1,

        ρ

        (

        G

        )和

        ρ

        (

        H

        )分別為(

        G

        )和(

        H

        )的特征值, 且分別對應(yīng)于正特征向量

        x

        y

        . 根據(jù)引理1, (

        m

        -1)!

        ρ

        (

        G

        )

        ρ

        (

        H

        )是(

        G

        ×

        H

        )的特征值, 且對應(yīng)于正特征向量

        x

        ?

        y

        . 因此, 根據(jù)定理1, (

        m

        -1)!

        ρ

        (

        G

        )

        ρ

        (

        H

        )是

        G

        ×

        H

        的譜半徑, 即

        ρ

        (

        G

        ×

        H

        )=(

        m

        -1)!

        ρ

        (

        G

        )

        ρ

        (

        H

        ).

        (3)

        設(shè)

        λ

        μ

        分別為(

        G

        )和(

        H

        )的特征值. 根據(jù)引理1, (

        m

        -1)!

        λμ

        G

        ×

        H

        的特征值, 且|(

        m

        -1)!

        λμ

        |=(

        m

        -1)!|

        λ

        |·|

        μ

        |≤(

        m

        -1)!

        ρ

        (

        G

        )

        ρ

        (

        H

        )=

        ρ

        (

        G

        ×

        H

        ).

        (4)

        考慮集合

        S

        ∶={|(

        m

        -1)!

        λμ

        |=

        ρ

        (

        G

        ×

        H

        )∶

        λ

        ∈Spec(

        G

        ),

        μ

        ∈Spec(

        H

        )}.若|(

        m

        -1)!

        λμ

        |=

        ρ

        (

        G

        ×

        H

        ), 根據(jù)式(4), |

        λ

        |=

        ρ

        (

        G

        )且|

        μ

        |=

        ρ

        (

        H

        ). 根據(jù)定理3,可得

        設(shè)

        |

        S

        |=|

        S

        ·

        S

        |=∶

        β

        ,

        [

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]|

        β

        .

        (5)

        因為

        c

        (

        G

        c

        (

        H

        )=[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]·(

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )), 其中(

        a

        ,

        b

        )記正整數(shù)

        a

        ,

        b

        的最大公約數(shù), 故

        S

        ·

        S

        的任一個元素都可以表示為

        β

        |[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )],

        (6)

        推論1

        設(shè)

        G

        H

        為兩個連通的

        m

        -一致超圖, 且

        G

        ×

        H

        連通. 如果

        c

        (

        G

        )=

        m

        或者

        c

        (

        H

        )=

        m

        , 則

        c

        (

        G

        ×

        H

        )=

        m

        .

        證明

        根據(jù)引理2,

        c

        (

        G

        )|

        m

        c

        (

        H

        )|

        m

        . 如果

        c

        (

        G

        )=

        m

        或者

        c

        (

        H

        )=

        m

        , 則[

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]=

        m

        . 根據(jù)定理4, [

        c

        (

        G

        ),

        c

        (

        H

        )]|

        c

        (

        G

        ×

        H

        ), 從而

        m

        |

        c

        (

        G

        ×

        H

        ). 而根據(jù)引理2,

        c

        (

        G

        ×

        H

        )|

        m

        , 故結(jié)論成立.

        推論2

        設(shè)

        G

        為連通

        m

        -一致超圖,

        e

        為僅由有一條邊構(gòu)成的

        m

        -一致超圖, 且

        G

        ×

        e

        連通. 則

        c

        (

        G

        ×

        e

        )=

        m

        .

        證明

        根據(jù)文獻(xiàn)[3]或[10]的結(jié)論,

        c

        (

        e

        )=

        m

        . 故根據(jù)推論1, 結(jié)論成立.在定理4及推論1和2中, 如果

        m

        ≥3, 根據(jù)引理3, 顯然

        G

        ×

        H

        G

        ×

        e

        連通. 在推論2中, 當(dāng)

        m

        =2, 即

        G

        為連通簡單圖, 并且假設(shè)

        G

        為非二部圖, 則根據(jù)文獻(xiàn)[19]的結(jié)論,

        G

        ×

        e

        連通, 此時

        G

        ×

        e

        也是

        G

        的雙覆蓋(double cover). 根據(jù)推論2,

        c

        (

        G

        ×

        e

        )=2, 從而根據(jù)非負(fù)矩陣的Perron-Frobenius定理,

        G

        ×

        e

        為二部圖.

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