鄒 斌 吳廣國

(1. 中央民族大學理學院,北京 100081; 2. 北京景山學校,北京 100006)

科學思維是物理學科核心素養(yǎng)的重要組成部分．[1]如何通過物理理想模型的建構,如何科學合理的分析推理,怎樣基于前人已有研究成果開展符合學術規(guī)范的論證研討,并對不同觀點與結論進行科學檢驗和修正,是需要物理教師在教學過程中深入思考和躬身實踐的重要內(nèi)容．共線三球體是三體問題中較為簡單的理想模型,本文擬通過對該問題的分析求解,幫助學生正確理解經(jīng)典物理學中彈性碰撞內(nèi)容,并結合分析過程,淺談如何對學生進行科學思維方法的訓練．

以2020年北京高考物理試卷第13題(共線三球體問題,或稱為三球牛頓擺問題)為例進行分析．已知編號分別為1號、2號和3號的三個完全相同的小鋼球懸掛在同一豎直空間平面的同一高度處,初始時刻三只小球恰好能接觸并且保持懸線平行,如圖1所示．并且該體系中各懸線始終處于繃緊狀態(tài),各球之間都是對心正碰．

圖1 共線三球體示意圖

當1號球移到高度h后從靜止狀態(tài)釋放,經(jīng)過一系列碰撞后,可以觀測到2號球靜止,而3號球可以達到與1號球初始時相同的高度h．該題A選項創(chuàng)新性地提出,如果將中間的2號球換成質(zhì)量不同的小鋼球,并再次重復該碰撞實驗,問考生3號球是否還能擺至高度h．

從該題所給條件可以判斷出,三個完全相同的小鋼球在最低點碰撞過程需要滿足機械能守恒和動量守恒(即碰撞過程為彈性碰撞),否則3號球是不能擺到h高度的．分析該選項通常的思路是,在保證對心正碰的前提下,如果2號球的質(zhì)量發(fā)生了改變,1號球和2號球的碰撞(后文記為“碰撞1”)會導致1號球碰后速度不為零．根據(jù)機械能守恒,2號球和3號球碰(后文記為“碰撞2”)后,3號球就不能獲得足夠的初動能,從而不能擺至高度h．因此似乎可以排除該題的A選項．

問題是,這樣的思路是否可靠?在2號球質(zhì)量改變后,該共線三球體問題是否只進行了1和2球之間及2和3球之間的兩次碰撞?3號小鋼球有沒有可能從1號和2號球那里獲得全部的動量(機械能),依然擺到h高度呢?

盡管該問題涉及到三個質(zhì)點的運動和相互作用,但是這三個質(zhì)點在各自最低點是共線的,我們可以反復利用二體彈性碰撞的思路逐次進行求解．需要指出的是,在理論上共線三球體問題中各球的碰撞次序是有爭論的,各球遞次發(fā)生碰撞和同時發(fā)生碰撞,其理論計算結果顯然是不同的．[2]不過,陳小兵等人考慮小鋼球的形變和密度參數(shù),利用彈性體中的縱波關系給出碰撞作用力的傳播速率為5.04×103m/s．[3]即使在毫秒時間間隔量級下,該數(shù)值也遠大于小鋼球的線度,因此實際發(fā)生的碰撞應認為是各球依次進行了碰撞．本文采用遞次彈性碰撞的假設進行后續(xù)討論．

1號球從高度h處擺至最低點與2號球發(fā)生體系的第一次彈性碰撞(記為“碰撞1”),碰撞前后動量守恒和機械能守恒,有

v1+0=v1(1)+αv2(1)，

(1)

(2)

聯(lián)立(1)式和(2)式得到

(3)

(4)

2號球與1號球碰撞后,與3號球發(fā)生第一次彈性碰撞,這是該體系的第二次碰撞,記為“碰撞2”．2號和3號球碰撞前后動量和機械能守恒,即

αv2(1)+0=αv2(2)+v3(2)，

(5)

(6)

聯(lián)立(5)、(6)兩式,有

(7)

(8)

1 關于時間間隔的討論

本文上述理論模型中,各球之間的碰撞為彈性碰撞,時間間隔極短．問題是從1號球擺到最低點發(fā)生碰撞前開始,到3號球開始以v3(2)速率作圓周運動為止,經(jīng)歷的時間間隔具體有多長呢?“時間間隔極短”的提法有何依據(jù)呢?

由此還可以看出,盡管本文中1號、2號和3號小鋼球有各自的懸線,各小球會繞各自懸點作圓周運動,但是時間間隔極短,在討論問題時不需要考慮機械能中動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化．并且上述論證過程也同時說明,本文所提到的碰撞滿足文獻[7]所要求的彈性碰撞條件．

此外,在這么短時間內(nèi)的碰撞過程采用動量守恒或角動量守恒的觀點進行計算,其結果是一致的．

2 關于α取值范圍的3種情形

(1) 當α=1時,顯然有v1(1)=v2(2)=0,v3(2)=v1．即經(jīng)過”碰撞1”和“碰撞2”后,1號球和2號球先后靜止,3號球獲得了1號球的全部動量．這種情形就是題目中給的已知條件．

(2) 當α>1時,考慮到(1+α)2>4α,有v1(1)<0,v1>v3(2)>v2(2)>0．也就是說體系兩次碰撞后,1號球向左運動,2號球和3號球向右運動,并且3號球擺動更快．由于3號球的速度小于v1,在“碰撞2”發(fā)生后3號球無法擺到高度h．該情形對應前文中提到的通常解決思路．

(3) 當0<α<1時,v1(1)>0,v2(2)<0,v3(2)>0,即此時1號球繼續(xù)向右運動,而2號球向左,3號球向右．1號球和2號球?qū)l(fā)生第二次碰撞(記為碰撞3)．下面我們主要討論0<α<1的情況．

3 0<α<1情形的深入探討

1號小球和2號小球的“碰撞3”過程依然滿足動量守恒和機械能守恒,寫為

v1(1)+αv2(2)=v1(3)+αv2(3).

(9)

(10)

將(3)式和(7)式代入上述兩式,先消去v1(3),后聯(lián)立(9)和(10)式求得

(11)

(12)

也就是說,在0<α<1情形下,考慮到各次碰撞時間極短,2號球?qū)⒃俅巫飞?號球,并與之發(fā)生第二次共線彈性碰撞(記為碰撞4)．

2號小球和3號小球的“碰撞4”過程動量守恒和機械能守恒可分別表示為

αv2(3)+v3(2)=αv2(4)+v3(4)，

(13)

(14)

需要指出,3號球第二次碰撞前速度大小取的是其第一次碰后速率,這是由于考慮兩次碰撞(碰撞2和碰撞4)之間的時間間隔極短,3號球可認為作勻速直線運動,以下討論思路與此相類似．

將(8)式和(11)式代入并消去v3(4),可以得到

(15)

(16)

由(15)式和(16)式相減,可以得到

2]v1>0.

且有v3(4)>0．因此在“碰撞4”發(fā)生后,3號小球繼續(xù)向右擺動,并且速率大于2號小球的速率．

如果令v3(4)=v1,則要求-4α(α+3)(α-1)=(1+α)4,經(jīng)整理有

α4+8α3+14α2-8α+1=0.

(α2+4α-1)2=0.

圖2給出了2號球與3號球發(fā)生的前四次彈性碰撞后(也是與1號球發(fā)生了四次碰撞),要使3號球獲得全部動量(機械能),其質(zhì)量比α的取值情況．這里α的數(shù)值分別為1.0000、0.2361、0.1099和0.0642,其解析表達式見上文．由圖2可以明顯看出來,隨著碰撞次數(shù)的增加,α的取值會衰減．可以預見,隨著碰撞次數(shù)的增加,滿足條件的α值將會趨近于零．

綜上所述,共線三球體系統(tǒng)(三球牛頓擺系統(tǒng))的2號球質(zhì)量較大時,3號球肯定不能上擺到高度h處．但是,當2號鋼球質(zhì)量較小,且滿足特定數(shù)值時(如圖2所示),位于中間的2號球?qū)⑴c1號球和3號球發(fā)生若干次碰撞．最終通過2號球的能量傳遞,3號鋼球獲得該共線三球體系統(tǒng)的全部動量(機械能),從而有可能擺到高度h處．需要指出的是,只有α值為上述特殊取值,并且碰撞發(fā)生在遞次彈性對心正碰撞體系這一嚴格限定性條件下,理論上3號球才能上擺到與1號球相同的初始高度．在一般情況下3號球還是無法擺至高度h的,因此題目中的A選項依然是要被排除的．

圖2 不同碰撞次數(shù)情況下3號球能到達高度h處的α取值

本文對一類特殊的共線三球體系統(tǒng)(兩端球質(zhì)量相同,中間球質(zhì)量有變化)進行分析討論,可以很清楚地展示出如何借鑒他人的計算結果引入遞次碰撞的假設,如何論證各次碰撞時間間隔極短,從而建立本文的計算模型;針對通常的分析思路,本文也給出了如何進行普通物理與初等數(shù)學水平下的理論檢驗和數(shù)據(jù)修正;本文還較為詳細地展示了在彈性碰撞的前提下,通過動量守恒定律和機械能守恒定律的反復使用,如何進行推理和論證,從而得到右側(cè)鋼球也有可能達到相同高度地結論．此外,在引導學生一步步思考和論證共線三球體問題過程中,教師需要適當引申說明多體碰撞問題是當前機械工程、航空航天等關鍵領域的重要研究課題,這也是物理課程教學落實“立德樹人”根本任務的重要一環(huán)．