孫偉剛

同學(xué)們，函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，它除了包括函數(shù)的概念、正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)等具體知識外，還蘊含著方程與不等式的思想方法。在歷年各地的中考試卷中，函數(shù)內(nèi)容一直是命題的重頭戲，其中尤以考查一次函數(shù)的應(yīng)用為甚。如何規(guī)范而完美地解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題呢？下面老師通過幾個例題予以說明，希望對同學(xué)們有所幫助。

一、圖像型一次函數(shù)的應(yīng)用問題

例1 （2020·陜西）（本題滿分7分）某農(nóng)科所為定點幫扶村免費提供一種優(yōu)質(zhì)瓜苗及大棚栽培技術(shù)。這種瓜苗早期在農(nóng)科所的溫室中生長，長到大約20cm時，移至該村的大棚內(nèi)，沿插桿繼續(xù)向上生長。研究表明，60天內(nèi)，這種瓜苗生長的高度y（cm）與生長時間x（天）之間的關(guān)系大致如圖所示。

（1）求y與x之間的函數(shù)表達式;

（2）當這種瓜苗長到大約80cm時，開始開花結(jié)果，試求這種瓜苗移至大棚后，繼續(xù)生長大約多少天，開始開花結(jié)果。

【考點】求一次函數(shù)表達式、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用。

解：（1）當0≤x≤15時，設(shè)y=kx（k≠0）。由圖像可知當x=15時，y=20，因此20=15k，解得k=[43]，∴y=[43x]。（1分）

當15

因此[15m+b=20，60m+b=170，]

解得[m=103，b=-30，]

∴y=[103x]-30。（3分）

∴y=[43x（0≤x≤15），103x-30（15<x≤60）。]（4分）

（2）當y=80時，得80=[103x]-30，解得x=33。（5分）

33-15=18（天）。（6分）

答：這種瓜苗移至大棚后，繼續(xù)生長大約18天，開始開花結(jié)果。（7分）

【點評】本題以圖像形式考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，題意簡明，但同學(xué)們想得滿分卻不那么容易，還得看解題過程是否規(guī)范。由于圖像給出的是一條折線段，因此解答第（1）問時應(yīng)注意分段，“設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達式并說明x的取值范圍”“列出方程（組）求解”“確定表達式”“作答”等解題環(huán)節(jié)缺一不可，這些都是得分要點。對于第（2）問，審題細致的同學(xué)就有優(yōu)勢，因為他們會發(fā)現(xiàn)題中的關(guān)鍵字眼“繼續(xù)”兩字，從而注意到x=33不是所求的天數(shù)，還需多一步，即33-15=18（天）才是最后的答案。對于審題粗枝大葉的同學(xué)，最后2分很可能會白白扣掉，會而不對，令人惋惜。

二、表格型一次函數(shù)的應(yīng)用問題

例2 （2020·四川樂山）（本題滿分10分）某汽車運輸公司為了滿足市場需要，推出商務(wù)車和轎車對外租賃業(yè)務(wù)。下面是樂山到成都兩種車型的限載人數(shù)和單程租賃價格表：

[車型 每車限載人數(shù)（人） 租金（元/輛） 商務(wù)車 6 300 轎車 4 ]

（1）如果單程租賃2輛商務(wù)車和3輛轎車共需付租金1320元，求一輛轎車的單程租金為多少元。

（2）某公司準備組織34名職工從樂山赴成都參加業(yè)務(wù)培訓(xùn)，擬單程租用商務(wù)車或轎車前往。在不超載的情況下，怎樣設(shè)計租車方案才能使所付租金最少？

【考點】一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用。

解：（1）設(shè)租用一輛轎車的單程租金為x元。

根據(jù)題意，得300×2+3x=1320，（1分）

解得x=240。（2分）

答：租用一輛轎車的單程租金為240元。（3分）

（2）①若只租用商務(wù)車，∵[346]=[523]，

∴只租用商務(wù)車，應(yīng)租6輛，所付租金為300×6=1800（元）。（4分）

②若只租用轎車，∵[344]=8.5，

∴只租用轎車，應(yīng)租9輛，所付租金為240×9=2160（元）。（5分）

③若混和租用兩種車，設(shè)租用商務(wù)車m輛，租用轎車n輛，租金為W元。

根據(jù)題意，得[6m+4n=34，W=300m+240n，]（6分）

由6m+4n=34，得4n=-6m+34，

∴W=300m+60（-6m+34）=-60m+2040。

（8分）

∵-6m+34=4n≥0，∴m≤[173]，

∴1≤m≤5，且m為整數(shù)。

∵W隨m的增大而減小，

∴當m=5時，W有最小值1740，此時n=1。（9分）

綜上，租用商務(wù)車5輛和轎車1輛時，所付租金最少，為1740元。（10分）

【點評】本題以表格形式考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，減少了許多文字的贅述，突出了題干部分，便于同學(xué)們快速理解題意，準確找到解題思路。第（1）問是基礎(chǔ)題，“設(shè)未知數(shù)列出方程”“解方程”“作答”三部分各1分，合乎情理，分分有理。第（2）問需分類討論，三種方案一一求解，但難易程度有所不同，此時應(yīng)挑選簡單的情形先解決，也就是先踩上容易得分的點，只有得到了保底的分，才有底氣去攻克較難的情形。

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學(xué)）