王友利，劉 飛，董洪全，王曉慧

（1.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西太原030024；2.重慶長(zhǎng)安汽車股份有限公司汽車工程研究院，重慶401133）

機(jī)械設(shè)計(jì)中零件的幾何尺寸、尺寸的標(biāo)注模式和尺寸公差直接影響機(jī)械產(chǎn)品的精度及制造成本。除了確定零件的幾何尺寸和公差外，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)零件尺寸標(biāo)注的合理性和正確性也作了大量研究。如：Dori等［1］通過(guò)對(duì)尺寸標(biāo)注問(wèn)題的求解，提出了2條驗(yàn)證尺寸標(biāo)注方案合理性的依據(jù)；Yue等［2］提出了基于零件CSG（constructive solid geometry，構(gòu)造立體幾何）模型的尺寸標(biāo)注方法，對(duì)零件表面的形體和邊界之間的關(guān)系進(jìn)行分析，得到需要標(biāo)注的尺寸；Chen等［3‐4］提出了基于特征提取的機(jī)械零件和圓柱面位置尺寸的智能標(biāo)注方法；賀金華等［5‐6］對(duì)零件尺寸標(biāo)注的完整性、合理性進(jìn)行了探討；張樹(shù)有等［7］將非關(guān)聯(lián)尺寸間的干涉處理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為干涉偶集中所有尺寸狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)換問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)非關(guān)聯(lián)尺寸的自適應(yīng)處理；于海燕等［8］提出了一個(gè)快速標(biāo)注尺寸的方案，實(shí)現(xiàn)了工程圖樣的智能化尺寸標(biāo)注；陸國(guó)棟等［9‐10］引入分治思想，提出在三維空間分治中解決尺寸標(biāo)注的合理性、完整性問(wèn)題，在二維空間分治中解決尺寸標(biāo)注的正確性、清晰性問(wèn)題，并研究了由“一圖”“一樹(shù)”“二鏈”構(gòu)成的面向工程圖樣的智能理解關(guān)系模型；張聞雷等［11］提出了零件尺寸自動(dòng)標(biāo)注算法和知識(shí)表達(dá)法，設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)了零件尺寸自動(dòng)標(biāo)注系統(tǒng)。在利用裝配尺寸鏈進(jìn)行零件尺寸標(biāo)注方面，很多學(xué)者也進(jìn)行了研究。如：劉嘉敏等［12］提出了一種建立機(jī)械裝配的有向功能圖的建模方法，為零件尺寸的自動(dòng)標(biāo)注提供數(shù)據(jù)信息；曾堅(jiān)陽(yáng)等［13］根據(jù)尺寸的作用，對(duì)尺寸功能語(yǔ)義進(jìn)行分類，建立了三維尺寸模型以實(shí)現(xiàn)尺寸標(biāo)注的合理性和完整性；王恒等［14］通過(guò)定義裝配性能特征，利用圖論，構(gòu)建了特征與尺寸、裝配約束關(guān)系與裝配關(guān)系的傳遞圖，獲取了尺寸鏈圖和尺寸方程，為零件尺寸標(biāo)注模式的建立提供了新思路；王曉慧等［15‐16］提出用裝配尺寸式和裝配尺寸路徑圖來(lái)描述裝配尺寸與尺寸標(biāo)注模式的關(guān)系；王友利等［17］提出建立裝配尺寸的最短路徑圖來(lái)確定零件尺寸的標(biāo)注模式和尺寸模型。

以上研究對(duì)零件尺寸標(biāo)注設(shè)計(jì)起到了一定的作用，但未建立零件尺寸標(biāo)注與機(jī)械產(chǎn)品功用及整體尺寸之間的關(guān)系，導(dǎo)致產(chǎn)品的精度由于零件尺寸基準(zhǔn)選擇不合適或零件尺寸公差設(shè)計(jì)不合理而達(dá)不到要求。本文基于零件尺寸與裝配體尺寸之間的關(guān)系，建立裝配尺寸聯(lián)系路徑圖和最短路徑生成樹(shù)，以期實(shí)現(xiàn)裝配體中所有零件尺寸標(biāo)注的合理設(shè)計(jì)。

1 裝配尺寸聯(lián)系路徑圖和功能尺寸最短路徑生成樹(shù)理論

機(jī)械產(chǎn)品中零件尺寸可能的標(biāo)注模式有多種。假設(shè)某零件有n個(gè)端面，若把每一個(gè)端面映射為圖的一個(gè)頂點(diǎn)，把每一個(gè)尺寸標(biāo)注映射為圖的一條邊，那么按照完備圖生成樹(shù)理論，這個(gè)零件可能的尺寸標(biāo)注模式有 nn‐2種［18］。

零件尺寸標(biāo)注、裝配尺寸聯(lián)系路徑圖和最短路徑生成樹(shù)如圖1所示。假定零件軸向有5個(gè)面，將每個(gè)面用1，2，3，4，5表示為完備圖的一個(gè)頂點(diǎn)，如圖1（a）所示，則生成樹(shù)的數(shù)量為53=125棵，零件可能的尺寸標(biāo)注模式有53=125種，其中某一種可能的標(biāo)注模式如圖1（b）所示。

圖1 零件尺寸標(biāo)注、裝配尺寸聯(lián)系路徑圖和最短路徑生成樹(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of part dimension marking,assembly dimension connection path diagram and the functional dimension shortest path spanning tree

裝配體由多個(gè)零件裝配而成。零件之間通過(guò)裝配基準(zhǔn)面發(fā)生關(guān)系。裝配體中零件的尺寸關(guān)系也是通過(guò)裝配基準(zhǔn)面產(chǎn)生的。假設(shè)某一個(gè)裝配體由零件A、B、C、D 組成，其中零件A有4個(gè)面，零件B有5個(gè)面，零件C有5個(gè)面，零件D有6個(gè)面，將每個(gè)零件的每個(gè)面用數(shù)字加零件代號(hào)表示，如1A、2A、3B、5C等，則每個(gè)零件的可能標(biāo)注模式如圖1（c）中的方框所示。裝配體軸向正常定位，2個(gè)零件之間只有1個(gè)裝配基準(zhǔn)面。假定3A面和4B面是零件A和零件B的裝配基準(zhǔn)面，則將這2個(gè)零件的裝配基準(zhǔn)面簡(jiǎn)化為1個(gè)面，在面上標(biāo)上該2個(gè)零件的代號(hào)，則該裝配基準(zhǔn)面表示為3A4B。同理，假定零件4A面和5D面是零件A和零件D的裝配基準(zhǔn)面，則對(duì)應(yīng)的裝配基準(zhǔn)面表示為4A5D。通過(guò)裝配基準(zhǔn)面，將零件尺寸與裝配尺寸建立關(guān)系，如圖1（c）所示。圖中包含了裝配體中所有零件的面，也就包含了每個(gè)零件所有可能的尺寸標(biāo)注模式，同時(shí)蘊(yùn)含了裝配體中所有尺寸關(guān)系，故將此圖稱為裝配尺寸聯(lián)系路徑圖。裝配尺寸聯(lián)系路徑圖清晰地顯示了裝配體中各個(gè)尺寸的形成路徑與零件尺寸可能標(biāo)注的關(guān)系。

將裝配體中滿足功能約束關(guān)系的尺寸，即滿足零件強(qiáng)度和剛度要求的尺寸、工藝凸臺(tái)的尺寸以及裝配精度和運(yùn)動(dòng)等所要求的空間尺寸，定義為裝配體的功能尺寸［15］。從滿足裝配體功能出發(fā)，基于裝配尺寸聯(lián)系路徑圖，可以找到唯一一條確定的滿足裝配體某一功能尺寸的最短路徑。假定零件5C面與2D面之間的尺寸為該裝配體功能要求第1的尺寸，則從圖1（c）中可搜索出一條唯一確定的最短路徑。因此若能獲得一棵滿足所有功能尺寸最短路徑的生成樹(shù)，則可獲得零件最優(yōu)尺寸標(biāo)注模式。然而裝配體中功能尺寸眾多，不可能保證所有功能尺寸的形成路徑都最短，因此，應(yīng)按裝配精度要求高低的順序，盡可能使各功能尺寸對(duì)應(yīng)的形成路徑最短，則此時(shí)生成的最短路徑樹(shù)其實(shí)是一棵多目標(biāo)多約束的最短路徑生成樹(shù)，如圖1（d）所示。該最短路徑生成樹(shù)確定了裝配體中所有零件尺寸合理的標(biāo)注模式。

2 基于最短路徑理論的零件功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的建立

為描述裝配體中各個(gè)面的特征，用數(shù)字表示裝配體每個(gè)面在水平方向從左至右的序號(hào)，用字母表示零件的代號(hào)，采用數(shù)字加字母的標(biāo)識(shí)符來(lái)表示裝配體中的各個(gè)面［15］。如4AD表示一個(gè)裝配基準(zhǔn)面，4表示序號(hào)，AD表示這個(gè)面既屬于零件A，又屬于零件D。圖2所示為對(duì)開(kāi)齒輪箱的裝配簡(jiǎn)圖，其中，A與B為上下對(duì)稱的結(jié)構(gòu)相同的零件。只研究水平方向的尺寸，因此在要素描述中省略零件B，則最終的要素描述如裝配圖上所示，其裝配尺寸聯(lián)系路徑圖如圖3所示。

圖2 對(duì)開(kāi)齒輪箱裝配簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of assembly of opposite gearbox

圖3 對(duì)開(kāi)齒輪箱裝裝配尺寸聯(lián)系路徑圖Fig.3 Assembly dimension connection path diagram of oppo‐site gearbox

按照裝配尺寸聯(lián)系路徑圖和最短路徑生成樹(shù)理論，確定零件尺寸標(biāo)注的功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的建立方法有2種。下面詳細(xì)介紹對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的2種建立方法。

2.1 功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第1種建立方法

對(duì)開(kāi)齒輪箱裝配體在水平方向有13個(gè)面，則功能尺寸的數(shù)量為12個(gè)。對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第1種建立方法如圖4所示。首先，為保證齒輪軸和軸套的軸向間隙，選取該裝配體精度要求最高的功能尺寸8C9E（文中功能尺寸采用表示面的2個(gè)標(biāo)識(shí)符組合來(lái)表示）。基于其裝配尺寸聯(lián)系路徑圖，搜索出功能尺寸8C9E的一條最短路徑，如圖4（a）所示。接著，按照裝配體的精度要求，選取出排序第2的功能尺寸3C5CD，基于尺寸聯(lián)系路徑圖，搜索出3C5CD的一條最短路徑，添入圖4（a），得到圖4（b）。然后，選取精度要求排序第3及之后的功能尺寸，按照上述操作依次將對(duì)應(yīng)路徑添加到上一路徑樹(shù)中，分別如圖4（c）至圖4（f）所示。當(dāng)確定了功能尺寸8C11C，搜索其最短路徑，并添加到上一路徑樹(shù)圖（圖4（f））中時(shí)，最短路徑樹(shù)圖（圖4（g））已經(jīng)包含了其裝配尺寸聯(lián)系路徑圖中所有的頂點(diǎn)。這樣，最短路徑生成樹(shù)已經(jīng)建立，無(wú)需后續(xù)功能尺寸的路徑搜索。

圖4 對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第1種建立方法Fig.4 The first method of setting up the functional dimension shortest path spanning tree of opposite gearbox

2.2 功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第2種建立方法

對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第2種建立方法與第1種基本相同，不同的是第2種方法將標(biāo)注零件總長(zhǎng)尺寸的頂點(diǎn)直接連接作為已有存在路徑，然后基于裝配尺寸聯(lián)系路徑圖，按照功能尺寸精度要求排序和最短路徑問(wèn)題求解，進(jìn)行功能尺寸的最短路徑搜索，從而生成一棵能直接確定零件尺寸標(biāo)注模式的最短路徑生成樹(shù)。對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第2種建立方法如圖5所示。首先，基于對(duì)開(kāi)齒輪箱的裝配尺寸聯(lián)系路徑圖，將表示零件總長(zhǎng)尺寸路徑的頂點(diǎn)連接，即將同一零件最小序號(hào)和最大序號(hào)的頂點(diǎn)連接起來(lái)，將圖3中相應(yīng)的頂點(diǎn)1A和13A，3C和11C，2D和5CD、9E和12E直接連接，如圖5（a）所示。接著，基于圖3和圖5（a），將各總長(zhǎng)路徑作為功能尺寸最短路徑樹(shù)的已有路徑，按照功能尺寸精度要求的排序和功能尺寸最短路徑的搜索方法，依次建立其功能尺寸的路徑樹(shù)，直到包含其裝配尺寸聯(lián)系路徑圖中的所有頂點(diǎn)，如圖5（f）所示。此后無(wú)需后續(xù)功能尺寸的確定和最短路徑的搜索，最短路徑生成樹(shù)已經(jīng)建立。

圖5 對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的第2種建立方法Fig.5 The second method of setting up the functional dimension shortest path spanning tree of opposite gearbox

3 零件尺寸標(biāo)注模式的確定

零件尺寸的標(biāo)注應(yīng)考慮標(biāo)注習(xí)慣、加工條件等因素。零件總長(zhǎng)尺寸一般須標(biāo)注，即將表示零件總長(zhǎng)尺寸的2個(gè)頂點(diǎn)（即同一字母的最大和最小序號(hào)）直接連接，圖5所示的最短路徑生成樹(shù)已經(jīng)將總長(zhǎng)頂點(diǎn)連接，圖4所示則沒(méi)有連接總長(zhǎng)尺寸，須修正。其修正過(guò)程基于以下2個(gè)規(guī)則［15］：一是尺寸鏈的不封閉性；二是功能尺寸的高精度優(yōu)先。圖4（g）所示的最短路徑生成樹(shù)的修正如圖6所示，其最終確定零件尺寸標(biāo)注的功能尺寸最短路徑生成樹(shù)如圖6（c）所示。

圖6（c）所示的修正后的最短路徑生成樹(shù)與圖5（f）所示的最短路徑生成樹(shù)是同一顆樹(shù)，可以確定零件唯一合理的尺寸標(biāo)注模式。路徑樹(shù)中包含的同一字母的2個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的2個(gè)要素即為一個(gè)設(shè)計(jì)尺寸，所有含相同字母的要素的連接方式即確定了該零件的標(biāo)注模式。如圖2中零件C（軸）的標(biāo)注模式可以從圖5（f）中抽取出來(lái)，即將含字母C的路徑抽取出來(lái)，便可確定軸的標(biāo)注模式，如圖7所示。其余零件尺寸標(biāo)注模式的獲得方式與此相同，在此省略。

圖6 對(duì)開(kāi)齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的修正Fig.6 Revision of the functional dimension shortest path spanning tree of opposite gearbox

圖7 軸的尺寸標(biāo)注路徑和尺寸標(biāo)注模式Fig.7 Dimension marking path and dimension marking mode of the shaft

比較最短路徑生成樹(shù)的2種建立方法可以發(fā)現(xiàn)：1）2種方法都是基于同一裝配尺寸聯(lián)系路徑圖建立的，2種方法中功能尺寸的排序是相同的，但是須搜索的功能尺寸并不完全相同（圖4中排序第5的功能尺寸12E13A在圖5中不需要搜索），且中間路徑也不同，但是最終建立的最短路徑生成樹(shù)是一樣的。功能尺寸的確定和排序決定了生成樹(shù)的結(jié)構(gòu)，但是在某些時(shí)候，個(gè)別功能尺寸的改變或者排序的改變對(duì)生成樹(shù)的結(jié)構(gòu)沒(méi)有影響（如圖4中需要功能尺寸8C11C，圖5則不需要，也就無(wú)關(guān)后面的排序問(wèn)題）。因此裝配體結(jié)構(gòu)不同，功能尺寸及其排序也不同，其影響是未知的。2）第1種方法中最短路徑樹(shù)的建立須確定的功能尺寸數(shù)量有9個(gè)，第2種為5個(gè)，都比建立尺寸模型時(shí)需要的功能尺寸的數(shù)量（12個(gè)）少。且本例中第2種方法須確定的功能尺寸數(shù)量較少，搜索次數(shù)也較少，則最短路徑生成樹(shù)的建立更高效。對(duì)于其他裝配結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，2種建立方法所需要的功能尺寸數(shù)量和搜索次數(shù)無(wú)法確定，也無(wú)法比較。但是第1種方法須進(jìn)行路徑樹(shù)的修正，且修正過(guò)程較為麻煩，而第2種方法無(wú)須修正，可以直接建立確定零件尺寸標(biāo)注模式的功能尺寸最短路徑生成樹(shù)。由此可知，第2種最短路徑生成樹(shù)的建立方法更好。

4 功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的建立流程

在基于裝配尺寸聯(lián)系路徑圖建立功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的過(guò)程中，在搜索各個(gè)功能尺寸最短路徑搜索時(shí)會(huì)出現(xiàn)以下情況：1）若功能尺寸對(duì)應(yīng)的兩頂點(diǎn)已存在于前面所生成的路徑樹(shù)中，如果兩頂點(diǎn)有路徑連通，則不再對(duì)該功能尺寸進(jìn)行最短路徑搜索；如果兩頂點(diǎn)沒(méi)有路徑連通，則可以從兩頂點(diǎn)中的任一頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行最短路徑搜索。2）若功能尺寸對(duì)應(yīng)的某一頂點(diǎn)已存在前面所生成路徑樹(shù)中，并有路徑存在，則應(yīng)從已存在的路徑出發(fā)進(jìn)行最短路徑搜索。3）若所有頂點(diǎn)已經(jīng)全部存在于生成樹(shù)中，但是還沒(méi)有對(duì)最后一個(gè)或者最后幾個(gè)功能尺寸進(jìn)行搜索，此時(shí)則不再進(jìn)行最短路徑的搜索。

功能尺寸最短路徑生成樹(shù)的建立可通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助實(shí)現(xiàn)。第2種建立方法的流程圖如圖8所示。

圖8 功能尺寸最短路徑生成樹(shù)第2種建立方法的流程Fig.8 The flow diagram of the second method of setting up the functional dimension shortest path spanning tree

5 結(jié)論

在裝配體結(jié)構(gòu)確定的情況下，建立了裝配尺寸聯(lián)系路徑圖。根據(jù)裝配體功能尺寸及其精度要求的排序，基于裝配尺寸聯(lián)系路徑圖和最短路徑生成樹(shù)的建立方法，獲得裝配體功能尺寸最短路徑生成樹(shù)，以確定零件尺寸合理的標(biāo)注模式。對(duì)2種最短路徑生成樹(shù)的建立方法進(jìn)行了比較，為零件尺寸標(biāo)注基準(zhǔn)的設(shè)計(jì)和尺寸標(biāo)注的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)提供了新途徑。