（北京交通大學土木建筑工程學院 北京 100044）

0 前言

在研究Magnus效應對排球運動軌跡的影響，文獻[1-4]對Magnus效應在球類運動中的應用做過分析，文獻[5]對排球運動軌跡的影響進行了討論，但前者更多的是對足球、乒乓球等進行研究，而后者在分析描述排球運動軌跡時，往往不考慮Magnus效應，研究的內容比較片面，不能了解到Magnus效應對排球運動軌跡的影響。本文將對此問題加以討論。

1 Magnus效應與初速度對排球運動軌跡的影響

當上旋球、下旋球、不轉球三種球的初速度水平分量相同時，此時需考慮初速度對排球飛行時間的影響：根據(jù)運動學知，初速度豎直方向的分量向上或向下，將會延長或縮短排球在空中飛行的時間。因此增加排球在空中飛行時間的因素有上旋球和初速度向上，能夠減少飛行時間的因素有下旋球和初速度向下。由于排球旋轉所產生的影響與排球的初速度相互制約，將有可能出現(xiàn)排球落至點的不同，下面分情況討論。

1.1 Magnus效應和初速度對排球飛行時間的影響均相同

由上述分析可知，排球以初速度向上的下旋球發(fā)出與不旋轉相比落點較遠；與之相反，排球以初速度向下的上旋球發(fā)出與不旋轉相比落點較近。這兩種情況與初速度相等時，在Magnus效應影響下的排球運行軌跡類似，如圖1所示。

圖1：初速度相等時Magnus效應的影響

1.2 Magnus效應遠小于初速度對排球飛行時間的影響

由于Magnus效應遠小于初速度對排球飛行時間的影響，則可以忽略馬格努斯力對排球在空中飛行時間的影響。在初速度水平分量相等的情況下，根據(jù)運動學可知，初速度方向向上的排球在空中飛行時間較長，落點較遠，容易出界，初速度方向向下的排球飛行時間較短，落點較近，容易打網。排球可能的飛行軌跡如圖2所示。

圖2：Magnus效應小于初速度的影響

1.3 Magnus效應遠大于初速度對排球飛行時間的影響

由于Magnus效應遠大于初速度對排球飛行時間的影響，則可以忽略初速度大小對排球在空中飛行時間的影響。在Magnus效應的影響下，上旋球落點較近，下旋球落點較遠。排球可能的飛行軌跡如圖3所示。

圖3：Magnus效應大于初速度的影響

綜上分析：由于受到向上的馬格努斯力，下旋球的曲線軌跡較為平緩，上旋球彎曲弧度較大。

2 排球被擊打過程中的力學分析

排球質量0.26kg，半徑0.11m，假設運動員助跑摸高3m，以研究發(fā)下旋球為例。

排球的動力學方程為：

上式是一個二階隱式微分方程組，利用龍格-庫塔(Runge-Kutta)算法，求其數(shù)值解，并繪制出排球飛行過程中的軌跡圖。

2.1 初速度v0對排球運動軌跡的影響

為對比不同初速度排球的運動軌跡，旋轉角速度 =20 rad/s，擊球角度 =20°時，分別選取初速度 v0為 15m/s，16m/s，17m/s，18m/s，21m/s，24m/s，27m/s，30m/s，繪制出不同初速度情況下排球的運動軌跡圖，如圖4所示。

圖4：不同初速度對排球運動軌跡的影響

從圖4得出，排球的初速度越大，其運行軌跡的弧度越小。在x=9m處，其中女子排球球網高2.24m，若保證排球過網，其運行至球網處的高度至少2.24m。當排球被擊打出去后，能夠保證其過網且落至在安全區(qū)域內初速度范圍：18m/s≤v0≤27m/s。

2.2 擊球角度 對排球運動軌跡的影響

為對比不同擊球角度時排球的運動軌跡，當初速度速度v0=20m/s，旋轉角速度=20 rad/s，分別選取擊球角度 為10°，15°，20°，30°，40°，45°，50°，繪制出不同擊球角度情況下排球的運動軌跡圖，如圖5所示。

圖5：擊打角度對排球運動軌跡的影響

排球只受重力作用時，屬于平拋運動類型。根據(jù)平拋運動知識可知，在只受重力作用且擊打排球速度保持不變的情況下，擊球角度決定了豎直高度和水平位移。排球除了受重力作用影響，還需考慮空氣阻力和Magnus效應的影響。當擊打排球速度保持不變時，由圖5可得出擊球角度越大，豎直高度越大，水平位移越大；擊球角度越小，豎直高度越小，水平位移越小。排球被擊打出去后，既能使排球過網，又能落置在安全區(qū)域內的擊球角度范圍：10°≤α≤45°。

2.3 旋轉速度對排球運動軌跡的影響

為對比不同旋轉角速度時排球的運動軌跡，取初速度速度v0=20m/s，擊球角度 =20°，分別選取旋轉角速度 為5，10，15，20，25，30（單位rad/s），繪制出不同旋轉角速度情況下排球的運動軌跡圖，如圖6所示。

圖6：不同旋轉速度對排球運動軌跡的影響

從圖6可得出，排球旋轉速度越大，水平位移越大，運行軌跡的弧度越小。根據(jù)馬格努斯原理可知，當排球有旋轉時，會受到Magnus效應的影響，將會延緩或加速排球落地時間。排球被擊打出去后，能夠保證其過網且落至安全區(qū)域旋轉角速度范圍：5 rad/s≤ω≤12.5 rad/s。

3 總結

通過研究Magnus效應與初速度對排球運動軌跡的影響，得出發(fā)球的落點呈現(xiàn)出多點分布，將會導致接發(fā)球運動員對排球落至點的判斷、移動等接發(fā)球技術提出更高要求，從而提高了得分幾率。當擊球角度相同時，排球落至安全區(qū)域初速度取值范圍更大，所需初速度也更大；當初速度相同時，由于受到空氣阻力和Magnus效應的影響，排球的水平距離會隨著擊球角度的增大而增大。