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        具有路段容量限制的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配

        2021-05-13 13:27:42俞禮軍
        關(guān)鍵詞:廣義全局路段

        俞禮軍

        (華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣東 廣州 510640)

        基于給定起點(diǎn)-目的地交通需求并按照一定的擇路原則確定運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中路段平衡流量的問(wèn)題通常稱為交通分配問(wèn)題(TAP),其是運(yùn)輸系統(tǒng)分析中的經(jīng)典問(wèn)題。文獻(xiàn)[1]中Wardrop提出的用戶均衡(UE)和系統(tǒng)最優(yōu)(SO)是交通分配中常見(jiàn)的基本原則。Beckmann等[2]最早提出滿足UE原理的凸數(shù)學(xué)規(guī)劃Beckmann模型。LeBlanc等[3]首次將經(jīng)典的Frank-Wolfe算法用在小型網(wǎng)絡(luò)上。Beckmann模型與經(jīng)典SO模型屬于無(wú)路段容量約束的凸規(guī)劃模型。這兩類經(jīng)典模型一直是重要的研究對(duì)象。其中UE模型(Beckmann模型)相對(duì)于SO模型體現(xiàn)一定的自由競(jìng)爭(zhēng)內(nèi)涵且其對(duì)應(yīng)的算法做些微改造即可用于SO模型,因而成為絕大多數(shù)研究者關(guān)注的對(duì)象。Beckmann模型與SO模型使用的絕大多數(shù)路段阻抗函數(shù),包括著名的BPR函數(shù),都屬于多項(xiàng)式函數(shù)。求解基于此類多項(xiàng)式路段阻抗函數(shù)的Beckmann模型或系統(tǒng)最優(yōu)(SO)模型,其平衡解可能包含相當(dāng)多的過(guò)飽和路段,極端情況下得到的個(gè)別路段流量是容量的2~3倍。超過(guò)通行能力的高流量路段是不切實(shí)際的,這樣的計(jì)算結(jié)果對(duì)于在第一線上的從業(yè)者當(dāng)然是不能令人滿意的。從理論和實(shí)踐上考慮,路段上的流量不應(yīng)高于其通行能力。Daganzo[4- 5]使用漸進(jìn)函數(shù)的方法來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題,即設(shè)計(jì)一種路段阻抗函數(shù),當(dāng)流量趨于通行能力時(shí),時(shí)間就趨于無(wú)窮大。Boyce等[6]認(rèn)為路段旅行時(shí)間數(shù)值異常大的結(jié)果有違現(xiàn)實(shí)。為克服此問(wèn)題,一個(gè)很自然的想法就是在Beckmann模型中添加路段流量小于等于其通行能力的約束,如此則得到與經(jīng)典意義上的Wardrop均衡狀態(tài)不同的結(jié)果。研究者針對(duì)此新模型定義了一種新的用戶均衡狀態(tài)。不同于帶流量約束的Beckmann模型,含通行能力約束下的SO模型的交通分配結(jié)果與經(jīng)典SO原則可能是不同的,而目前尚未有關(guān)于此問(wèn)題的深入研究成果。故此,在路段容量限制條件下建立新的SO模型是有意義的工作。

        另一方面,目前理論與實(shí)踐中得到大量應(yīng)用的BPR路段阻抗函數(shù)屬于阻抗是流量增函數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)?;诖祟愖杩购瘮?shù)的Beckmann模型與SO模型是凸規(guī)劃模型。對(duì)于具有路段容量約束且阻抗是流量增函數(shù)的路段,阻抗函數(shù)的UE均衡模型可以采用四種類型的收斂算法來(lái)求解Beckmann模型:內(nèi)部和外部懲罰函數(shù)方法[7]、拉格朗日乘數(shù)方法[8]、拉格朗日對(duì)偶方法[9]和對(duì)偶上升方法[10]。阻抗若不是流量增函數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù),則對(duì)應(yīng)的具有路段容量約束的SO模型可能不是凸規(guī)劃模型。例如,在節(jié)假日或者交通流事故等原因而受到交通管制條件下的交通流,盡管可以用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)描述,但其流量阻抗之間并不具有阻抗是流量增函數(shù)的特性,構(gòu)建的廣義SO模型通常是非凸模型。用于處理具有路段容量約束的凸UE均衡模型算法很難推廣到具有一般多項(xiàng)式阻抗函數(shù)和路段容量限制的非凸廣義SO模型。為此,有必要探求能夠求解具有一般多項(xiàng)式阻抗函數(shù)的廣義SO模型的方法。

        應(yīng)當(dāng)指出,基于路段流量為變量的經(jīng)典SO模型是嚴(yán)格凸規(guī)劃問(wèn)題,而基于路徑流量為變量的經(jīng)典SO問(wèn)題是不嚴(yán)格凸的,即路徑流量解不是唯一的[1]。實(shí)際應(yīng)用中每個(gè)OD對(duì)的可行路徑通常在4到7條之間[11],業(yè)者常常根據(jù)已有信息指定每個(gè)OD對(duì)的路徑并基于對(duì)應(yīng)的路徑變量求解經(jīng)典的SO問(wèn)題,期望同時(shí)得到多個(gè)路徑流量解以便根據(jù)實(shí)際情況采取必要措施實(shí)現(xiàn)特定交通流的引導(dǎo)。對(duì)于這樣的問(wèn)題,經(jīng)典方法較難穩(wěn)定地得到多組解。特別的,對(duì)基于路徑流量為變量的非凸廣義SO模型,采用經(jīng)典凸優(yōu)化算法求解是異常困難的,若此類非凸SO模型有多組最優(yōu)解,針對(duì)凸規(guī)劃的經(jīng)典算法不能處理此類問(wèn)題。

        綜上所述,具有一般的多項(xiàng)式阻抗函數(shù)和路段容量約束的廣義SO問(wèn)題尚未解決。據(jù)作者所知,對(duì)于解決具有一般的多項(xiàng)式阻抗函數(shù)的廣義SO問(wèn)題的障礙來(lái)自以下事實(shí):在經(jīng)典定義與模型框架下,僅將一般的多項(xiàng)式阻抗函數(shù)與路段容量約束添加到任何標(biāo)準(zhǔn)SO模型中,無(wú)法獲得相應(yīng)等效SO條件,同時(shí)也缺乏求解非凸問(wèn)題的算法。為此,本文針對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)最優(yōu)(SO)模型的局限性,建立具有可分離的一般多項(xiàng)式阻抗函數(shù)和路段容量限制的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配模型并新定義廣義SO原則,該定義要求經(jīng)典SO模型與廣義SO模型的解都應(yīng)滿足廣義SO原則。關(guān)于廣義SO模型解的存在性是廣義SO問(wèn)題中的一個(gè)大的挑戰(zhàn)。一般情況下建立的廣義SO模型不必然是凸模型。本文首先指出在非空、緊凸集上定義的擴(kuò)展SO模型具有至少一個(gè)全局最優(yōu)解,即所提出的模型滿足廣義SO原則。隨后提出一個(gè)問(wèn)題:在解存在的情況下如何求新模型的解。根據(jù)廣義SO模型的特征,采用基于矩半定規(guī)劃的算法獲得廣義SO模型的全局最優(yōu)解。對(duì)于指定路徑并基于對(duì)應(yīng)路徑流量的廣義SO模型,若其存在多組路徑最優(yōu)解,則采用本文方法可以獲得多組路徑流量全局最優(yōu)解。

        1 問(wèn)題描述與模型

        1.1 符號(hào)與假設(shè)

        對(duì)整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)做以下假設(shè):

        (1)網(wǎng)絡(luò)是強(qiáng)連通的,即任一OD對(duì)之間至少有一條路徑連接;

        (2) 任意一個(gè)路段a的流量za都不超過(guò)路段的最大流量限制Ca,即za≤Ca,a∈A;

        (3)每一條路段a∈A有一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的實(shí)系數(shù)非負(fù)多項(xiàng)式路段阻抗函數(shù)且該路段阻抗函數(shù)是關(guān)于該路段流量的函數(shù),即ta(za);

        (4)O-D需求為正常數(shù),OD需求可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò),即模型有可行解。

        1.2 模型

        在上述假設(shè)下,對(duì)應(yīng)的帶路段容量限制的系統(tǒng)最優(yōu)交通分配問(wèn)題可以由如下非線性規(guī)劃模型描述:

        (1)

        上述模型也可以寫(xiě)成如下等價(jià)的路段-節(jié)點(diǎn)模型[12]:

        (2)

        經(jīng)典SO模型屬于凸規(guī)劃模型,而上述模型(1)、(2)不必然是凸規(guī)劃模型。模型(1)、(2)的約束集為非空、緊致凸集[12],模型目標(biāo)函數(shù)均為非負(fù)多項(xiàng)式,由Weierstrass定理知道,緊集上的多項(xiàng)式函數(shù)必然存在全局最優(yōu)解[13- 14],即存在使系統(tǒng)的總交通時(shí)間全局最小的交通流分布。

        廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配:路段流量有容量約束或無(wú)容量約束條件下交通量按照某種方式分配以使系統(tǒng)的總交通時(shí)間全局最小。

        按照廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配定義可知,經(jīng)典SO模型與新模型的解都應(yīng)滿足擴(kuò)展廣義交通系統(tǒng)最優(yōu)條件,即廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配定義是經(jīng)典系統(tǒng)最優(yōu)交通分配定義的擴(kuò)展。

        對(duì)于非凸規(guī)劃模型,采用經(jīng)典方法獲得全局最優(yōu)解通常是非常困難的。近年來(lái),半定規(guī)劃(SDP)[15]的凸松弛方法已經(jīng)成為優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。對(duì)于非凸優(yōu)化問(wèn)題,如果凸松弛可以提供與原始問(wèn)題的解等效的結(jié)果,則可以通過(guò)解決該松弛問(wèn)題來(lái)獲得原問(wèn)題的全局最優(yōu)解。本文基于矩理論將上述模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的矩半定規(guī)劃(MSDP)模型,從而獲得原問(wèn)題的全局最優(yōu)解。

        為方便介紹與廣義SO模型等價(jià)的矩半定規(guī)劃模型與相應(yīng)計(jì)算方案,又因?yàn)橛胁糠掷碚搧?lái)自代數(shù)幾何且并不顯而易見(jiàn)。故這里扼要給出半定規(guī)劃、多項(xiàng)式函數(shù)與矩相關(guān)的理論。

        常見(jiàn)SDP問(wèn)題指的是具有線性矩陣不等式(LMI)約束的線性目標(biāo)函數(shù)最小化問(wèn)題。LMI問(wèn)題是凸的,可以用內(nèi)點(diǎn)法有效地解決。

        這里采用符號(hào)xα表示一個(gè)單項(xiàng)式,α為復(fù)合序號(hào),α=[α1,…,αn]T∈Nn(包含0在內(nèi)的自然數(shù)),任意一個(gè)單項(xiàng)式可以表示為

        (3)

        采用記號(hào)|α|表示xα的階次

        (4)

        多項(xiàng)式函數(shù)中的每個(gè)單項(xiàng)式均可用一個(gè)新的變量表示,因而可將一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)為關(guān)于若干單項(xiàng)式(新變量)的線性組合。為便于線性化處理,階次不大于d的多項(xiàng)式,可以定義多項(xiàng)式基向量為

        (5)

        它包含最高階次為d的單項(xiàng)式,所有基都可以形式的表示為xα。

        對(duì)于任意的d階多項(xiàng)式函數(shù)f(x),其線性化表達(dá)式為

        (6)

        式中,fα為xα的系數(shù),[fα]為系數(shù)向量。具體問(wèn)題中,可以將d階函數(shù)寫(xiě)成更高階的表達(dá)形式,這時(shí)高于階次d的單項(xiàng)式系數(shù)設(shè)為 0。

        矩是概率論中的定量測(cè)度[16],有多種用途[17]。矩可以表示為概率測(cè)度μ下的積分。 函數(shù)f(x)的矩函數(shù)L(f)可以寫(xiě)成:

        (7)

        將式(6)代入函數(shù)的矩表達(dá)式(7),可得

        (8)

        式中,yα是對(duì)應(yīng)于單項(xiàng)式xα的矩,即

        (9)

        令y0,…,0=1。

        式(8)將函數(shù)f(x)的矩函數(shù)表示為關(guān)于矩變量yα的線性組合,它是矩半定規(guī)劃方法的重要組成部分。

        將模型(1)或(2)的約束寫(xiě)成不等式形式,借用上述關(guān)于多項(xiàng)式的符號(hào)表示,將相應(yīng)的SO模型表示為具有以下形式的多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題:

        (10)

        式中,多項(xiàng)式gi(x)為約束函數(shù),giα為單項(xiàng)式xα的系數(shù)。

        矩半定規(guī)劃(MSDP) 松弛處理方法的思路是,將式(10)中的多項(xiàng)式目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于矩變量的線性關(guān)系式的目標(biāo)函數(shù)以及關(guān)于矩變量的半正定矩陣約束,從而對(duì)多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題(10)建立等價(jià)的凸半定規(guī)劃松弛模型。

        為了建立模型(10)的SDP松弛模型,以下依次給出矩變量的LMI約束與不等式約束的LMI表示。

        基于向量[x]s,可以定義對(duì)應(yīng)的s階矩矩陣Ms(y):

        (11)

        Ms(α1,α2)=L(xα1xα2)=yα1+α2

        (12)

        式中:α1,α2∈Nn是其行序號(hào)和列序號(hào),|α1|,|α2|≤s;矩陣Ms(y)是對(duì)稱的。

        矩矩陣Ms(y)由所有矩變量yα組成,在矩變量空間,矩陣Ms(y)為正半定矩陣[13],即

        Ms(y)0

        (13)

        有了Ms(y)不難給出一組對(duì)稱矩陣,寫(xiě)出其LMI表示形式。

        給定多項(xiàng)式函數(shù)g(x)不等式約束,可以由階次不大于2s的部分矩變量yα定義(構(gòu)建)一個(gè)與g(x)相關(guān)的矩變量局部矩陣來(lái)刻畫(huà)原優(yōu)化問(wèn)題的約束關(guān)系。一般采用部分矩變量yα(|α|≤2s)定義與多項(xiàng)式函數(shù)g(x)相關(guān)的局部化矩矩陣Ms′(gy)為

        Ms′(gy)=L(g)Ms′(y),s′

        (14)

        (15)

        (16)

        式中,L(g)是g(x)的矩函數(shù),其表示為矩變量的線性組合;Ms′(y)為s′階矩矩陣;為保證L(g)Ms′(y)所得矩變量的最高階次不大于2s,要求s′>s。

        約束g(x)≥0與矩陣Ms′(gy)正半定是等價(jià)關(guān)系[13],即

        g(x)≥0?Ms′(gy)0

        (17)

        式(13)是一個(gè)LMI約束,其揭示了矩變量之間的關(guān)系。式(17)表明不等式約束可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI形式。根據(jù)矩表達(dá)式(7)和半正定矩陣關(guān)系式(13)、(17),可以得到廣義系統(tǒng)最優(yōu)模型(10)的等價(jià)SDP松弛模型(18)

        (18)

        原則上,模型(18)為標(biāo)準(zhǔn)的 SDP 問(wèn)題,對(duì)于一般規(guī)模的問(wèn)題,調(diào)用諸如SeDuMi[18]、SDPT3[19]等任意一款SDP計(jì)算軟件包均可求得模型(18)中的各個(gè)矩變量的解。

        階數(shù)s可以設(shè)置為1,2,3,…。為了求出原問(wèn)題的全局最優(yōu)解,需要一個(gè)全局最優(yōu)的充分條件。已有研究回答了這個(gè)問(wèn)題。即

        定理[20]:設(shè)y*為模型(18)的最優(yōu)矩解,當(dāng)矩矩陣的秩滿足如下條件:

        rank(Ms(y*))=rank(Ms-1(y*))=k

        (19)

        則模型(18)的目標(biāo)值與原問(wèn)題的全局最優(yōu)值f*相等。其中秩k表示原問(wèn)題具有k個(gè)全局最優(yōu)解。

        根據(jù)上述定理可以求得全局最優(yōu)的矩量解。至此還剩一個(gè)問(wèn)題有待解決,即如何由該概率測(cè)度下所對(duì)應(yīng)的矩量解求得原問(wèn)題的全局最優(yōu)解。若矩量矩陣的秩為1,對(duì)應(yīng)原問(wèn)題的全局最優(yōu)解x*是唯一的,根據(jù)矩矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),x*可從M1(y*)的第1行(第1列)直接得到。若矩矩陣的秩為k且k大于1,則原問(wèn)題有k個(gè)全局最優(yōu)解。此時(shí)采用三階段方法求解[21]:矩矩陣的奇異值分解;構(gòu)造提取等式;采用特征值法求解精確最優(yōu)解。

        2 求解方案

        待求解的均衡模型約束均為線性約束,又模型涉及的阻抗函數(shù)均為非負(fù)多項(xiàng)式,因而其約束、目標(biāo)函數(shù)均為多項(xiàng)式。為求解此類均衡問(wèn)題,需將原均衡問(wèn)題模型重新構(gòu)建為不等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題,并基于矩的理論進(jìn)一步將不等式約束的多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)建為關(guān)于矩變量的半定規(guī)劃問(wèn)題?;诰氐睦碚摰玫降陌攵ㄒ?guī)劃的松弛階次s=1,2,…,因而轉(zhuǎn)化后的SDP模型具有層次結(jié)構(gòu)。階s可以取很大的值,變量的數(shù)量隨著s的增加呈指數(shù)增長(zhǎng),這對(duì)于工程研究是不利的。幸運(yùn)的是,已有研究[13]證明了當(dāng)階s增加時(shí),模型(18)的最優(yōu)值逼近原問(wèn)題的全局最小值,一般的,相對(duì)較小的s值就可以達(dá)到全局最小值。

        實(shí)際計(jì)算中,首先令基于矩的SDP模型中的s=1,并采用內(nèi)點(diǎn)法求得對(duì)應(yīng)SDP問(wèn)題的矩解;再判斷矩解是否滿足全局最優(yōu)的充分條件,若不滿足則增大基于矩的SDP模型中的松弛階次,即s=s+1,重新求解直到找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)膕滿足全局最優(yōu)條件;若滿足全局最優(yōu)的充分條件則進(jìn)一步采用三階段方法計(jì)算得到原問(wèn)題的最優(yōu)解[21]。具體實(shí)現(xiàn)方法參看圖1的算法流程圖。

        3 算例

        3.1 算例1

        這里使用如圖2所示的一個(gè)簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)。此網(wǎng)絡(luò)由兩個(gè)結(jié)點(diǎn)以及連接兩結(jié)點(diǎn)的兩條并行的路段(路線)組成。圖中點(diǎn)1和點(diǎn)2分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)。路段1是受到交通管制的交通流;路段 2 是正常使用的道路,其交通流呈現(xiàn)正常的旅行時(shí)間與流量呈現(xiàn)單調(diào)增加的關(guān)系。

        路段1與路段2的時(shí)間阻抗函數(shù)(如圖3所示)由如下兩式給定:

        (20)

        t2(x2)=0.075 85x2+0.85

        (21)

        圖1 基于矩的SDP算法流程

        圖2 簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)

        圖3 路段阻抗函數(shù)

        假定從起點(diǎn)1到終點(diǎn)2的出行需求量是:D12=4輛/min。通行能力為2、4輛/min;假定出行者滿足系統(tǒng)最優(yōu)條件,確定出行者滿足系統(tǒng)最優(yōu)條件的路段流量問(wèn)題可以用下面的模型來(lái)表達(dá):

        (22)

        經(jīng)整理之后,模型(22)轉(zhuǎn)化為

        (23)

        采用本文方法求解得到全局最優(yōu)解:x1=0,x2=4。本算例僅僅屬于示例,由圖4容易看出結(jié)果。事實(shí)上,采用經(jīng)典方法隨初值不同可能得到x1=0或x1=2。若模型中其他不改變,而將x1的約束條件改為0≤x1≤2.035 4,求解模型可以同時(shí)得到兩組解。x1=0,x2=4或x1=2.035 4,x2=1.964 6。

        圖4 目標(biāo)函數(shù)

        3.2 算例2

        圖5 Nguyen and Dupuis網(wǎng)絡(luò)

        表1 Nguyen-Dupuis網(wǎng)絡(luò)路段參數(shù)

        表2 Nguyen-Dupuis網(wǎng)絡(luò)OD出行需求

        系統(tǒng)最優(yōu)模型的目標(biāo)函數(shù)為

        (24)

        基于路段流量為變量的經(jīng)典SO模型是嚴(yán)格凸規(guī)劃問(wèn)題,均衡狀態(tài)的路段交通量是唯一的。本算例模型屬于凸規(guī)劃模型。經(jīng)典的交通平衡配流模型路徑流量解通常不唯一。采用經(jīng)典方法與本文方法計(jì)算可得相同的路段交通量如表4所示。本算例為每個(gè)OD對(duì)指定5到8條可行路徑,基于指定路徑采用本文方法計(jì)算路徑流量如表5所示。而采用經(jīng)典方法較難穩(wěn)定地得到多組解。

        如前所述,業(yè)者常常根據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中獲得的經(jīng)驗(yàn)與信息為每個(gè)OD對(duì)指定可行路徑,構(gòu)建、求解基于指定路徑對(duì)應(yīng)的路徑變量為決策變量的廣義SO問(wèn)題。由此得到的多組路徑流量在實(shí)際應(yīng)用中有特殊價(jià)值。據(jù)我們的調(diào)查,目前多數(shù)司機(jī)在使用特定信息系統(tǒng)提供的路徑指引。如何在以時(shí)間作為準(zhǔn)則的系統(tǒng)最優(yōu)的前提下得到多組路徑流量,結(jié)合其他因素為線路指引提供參考對(duì)于特定目的的調(diào)度指揮具有現(xiàn)實(shí)意義。文中提供了一種新方法,豐富了獲取系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)時(shí)的多組路徑流量的手段。尤其對(duì)于基于路徑的非凸廣義SO模型,經(jīng)典算法不能處理此類問(wèn)題,本文方法從理論上給出了獲得全局最優(yōu)解的通用解決方案。

        表3 路段路徑關(guān)聯(lián)關(guān)系

        表4 系統(tǒng)最優(yōu)時(shí)的路段流量

        表5 系統(tǒng)最優(yōu)時(shí)的路徑流量

        4 結(jié)語(yǔ)

        本文中研究具有一般非負(fù)多項(xiàng)式阻抗函數(shù)和路段容量限制的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配問(wèn)題的模型開(kāi)發(fā)和算法設(shè)計(jì)?;跍y(cè)試算例,得到如下結(jié)論:

        1)建立了廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配模型并給出了獲取其全局最優(yōu)解的方法。本文定義的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配原則推廣了經(jīng)典的系統(tǒng)最優(yōu)交通分配原則。文中模型將經(jīng)典SO模型推廣為更為一般的情況,克服了經(jīng)典系統(tǒng)最優(yōu)交通分配模型所必須滿足凸規(guī)劃性質(zhì)的限制。提出的方法可以用來(lái)處理具有一般非負(fù)多項(xiàng)式阻抗的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配問(wèn)題。

        2)兩個(gè)測(cè)試算例的計(jì)算結(jié)果表明,MSDP松弛方法能夠有效求解具有一般非負(fù)多項(xiàng)式阻抗函數(shù)和路段容量限制的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配模型。對(duì)于存在多個(gè)全局最優(yōu)解的廣義系統(tǒng)最優(yōu)交通分配模型,本文算法能夠獲得多個(gè)全局最優(yōu)解。針對(duì)指定路徑并基于對(duì)應(yīng)的路徑變量的SO問(wèn)題,若其存在多個(gè)全局最優(yōu)解,采用本文方法能夠得到多組路徑流量。本文算法從理論上克服了針對(duì)凸規(guī)劃的經(jīng)典算法的局限性,更具有普適性。

        3)本文的模型與算法用于小規(guī)模算例效果良好、符合預(yù)期。當(dāng)應(yīng)用于大規(guī)模問(wèn)題時(shí),MSDP的內(nèi)存消耗過(guò)高,會(huì)出現(xiàn)內(nèi)存溢出情況。筆者在工作中驗(yàn)證了稀疏性的可行性,后續(xù)工作是研究面向問(wèn)題的具體稀疏方法以進(jìn)一步提高性能,這項(xiàng)工作將具有很大的挑戰(zhàn)性。

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