蔣佳琪 徐日慶 俞建霖 陳文祥 詹曉波 汪悅 裘志堅(jiān) 成廣謀

(1．浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058；2. 浙江省城市地下空間開(kāi)發(fā)工程技術(shù)研究中心，浙江 杭州 310058；3. 宏潤(rùn)建設(shè)集團(tuán)股份有限公司，浙江 杭州 310000；4. 中天建設(shè)集團(tuán)有限公司，浙江 杭州 310008；5. 杭州市地鐵集團(tuán)有限責(zé)任公司，浙江 杭州 310020)

大量真三軸試驗(yàn)結(jié)果表明中主應(yīng)力σ2對(duì)于巖土類(lèi)工程材料(黏土、砂土以及巖石等)的強(qiáng)度均有著顯著影響[1- 3]。天然土體及巖石等大多處于三維應(yīng)力狀態(tài)，許多強(qiáng)度模型均試圖反映這一特征。然而一些經(jīng)典的強(qiáng)度理論諸如Drucker-Prager準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則以及Mohr-Coulomb準(zhǔn)則明顯在這方面存在劣勢(shì)，而以SMP(Spatially Mobilized Plane)強(qiáng)度理論為代表的三剪應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則不僅能表征三維應(yīng)力狀態(tài)，而且在應(yīng)力空間內(nèi)連續(xù)可微，便于數(shù)值計(jì)算[4]。

近年來(lái)，眾多學(xué)者致力于巖土類(lèi)材料偏平面強(qiáng)度特性的相關(guān)研究，以建立符合三維應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度準(zhǔn)則[5- 9]。為實(shí)現(xiàn)這一目的，較為常見(jiàn)的方法包括：1) 在經(jīng)典強(qiáng)度準(zhǔn)則基礎(chǔ)上加以拓展，Mortara[10]曾提出并發(fā)展了一種廣義的SMP準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則同時(shí)還涵蓋了Lade-Duncan準(zhǔn)則，使其在偏平面中具有更加廣義的形狀表達(dá)；2)g(θ)法，即構(gòu)建獨(dú)立的偏平面角隅函數(shù)g(θ)，本文所采用的也屬于該種方法；3)轉(zhuǎn)換應(yīng)力法[11- 14]。

1 蛋形函數(shù)的基本性質(zhì)

蛋形函數(shù)最早由任放等[15]提出并應(yīng)用于巖土類(lèi)材料的屈服理論中，后又由徐日慶等[16]進(jìn)一步發(fā)展至邊界面模型。其基本表達(dá)式可以概括為

(1)

圖1 蛋形屈服面(子午面)

一般地，參數(shù)a≥1，并且從圖1中可以看到蛋形屈服面頂點(diǎn)多數(shù)情況下不位于坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)a=1時(shí)，屈服面頂點(diǎn)則會(huì)退化至坐標(biāo)原點(diǎn)，這種情形下屈服函數(shù)難以模擬巖土類(lèi)材料的抗拉性能或者說(shuō)是膠結(jié)特性。因此，一些強(qiáng)度理論都針對(duì)這方面做了改進(jìn)[17- 19]。從力學(xué)的角度看，蛋形屈服函數(shù)中參數(shù)a就是一個(gè)可以描述材料抗拉性能的參數(shù)，其值受到材料抗拉與抗壓強(qiáng)度之比的影響，當(dāng)考慮巖土類(lèi)材料的抗拉性能時(shí)需有a>1。參數(shù)b>0，描述的則是材料的抗剪能力。參數(shù)a、b均可以通過(guò)室內(nèi)三軸試驗(yàn)結(jié)果擬合得到[20]。

2.1 g(θ)法

(2)

式中，φ為巖土類(lèi)材料的內(nèi)摩擦角。

Bardet[24]曾經(jīng)指出，作為獨(dú)立的角隅函數(shù)，g(θ)一般需要滿(mǎn)足以下3個(gè)條件：

鑒于蛋形函數(shù)的前述基本性質(zhì)及該函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且呈外凸?fàn)?，這就使得蛋形函數(shù)具有成為角隅函數(shù)的潛力，下面就此進(jìn)行具體的論證。

2.2 基于蛋形函數(shù)的g(θ)法實(shí)現(xiàn)

圖2 平面上蛋形屈服函數(shù)示意圖

需要說(shuō)明一點(diǎn)，根據(jù)θ定義，當(dāng)σ1>σ2>σ3時(shí)，洛德角的范圍為-30°～30°。為了方便討論，將θ的范圍重新定義在0°～60°，這樣做對(duì)整體的研究結(jié)論并無(wú)任何實(shí)質(zhì)影響。

(3)

(4)

對(duì)隱式方程(4)進(jìn)一步微分并代入dρ/dθ=0，可得3次方程：

(5)

圖3 ρ(θ)在[0,]上的變化趨勢(shì)

可以證明式(5)在(0,1)內(nèi)有且僅有唯一實(shí)數(shù)解x*，對(duì)應(yīng)于θ*。由一元三次方程的Cardano求根公式可知，該解可以表示為

(6)

式中：

(7)

將式(6)代入式(4)聯(lián)立求解最終可以得到：

(8)

及

(9)

(10)

2.3 參數(shù)討論

圖4 參數(shù)β對(duì)于平面強(qiáng)度曲線的影響

根據(jù)Bardet的定義，參數(shù)β可以表示為內(nèi)摩擦角φ的函數(shù)：

(11)

由式(11)可知，當(dāng)內(nèi)摩擦角φ從0°增長(zhǎng)到90°時(shí)，β從1單調(diào)遞減為0.5。據(jù)筆者所知，對(duì)于大部分的巖土類(lèi)材料，其內(nèi)摩擦角一般不超過(guò)45°，對(duì)應(yīng)的β值也一般不小于0.62，這種情況下，對(duì)照?qǐng)D4，蛋形強(qiáng)度包線的凹凸性基本可以得到保證。

圖5 參數(shù)α2對(duì)于平面強(qiáng)度曲線的影響

3 模型驗(yàn)證

3.1 與其他角隅函數(shù)的比較

將本文所提出的蛋形角隅函數(shù)與文獻(xiàn)中已有的部分g(θ)函數(shù)作比較[26- 28]，如圖6所示。所采用的g(θ)表達(dá)式分別如下。

文獻(xiàn)[26]：

圖6 與其他角隅函數(shù)g(θ)的比較

(12)

文獻(xiàn)[27]：

(13)

文獻(xiàn)[28]：

(14)

從圖6中可以看到，只要選取適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛥?shù)，文中模型與其他模型均可得到較好的一致性。

3.2 與真三軸試驗(yàn)結(jié)果的比較

圖7 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)Toyoura砂試驗(yàn)結(jié)果比較分析

圖8 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)粉質(zhì)黏土試驗(yàn)結(jié)果比較分析

圖9 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)上海軟土試驗(yàn)結(jié)果比較分析

尹光志等[32]對(duì)3種復(fù)合巖石的真三軸強(qiáng)度進(jìn)行了試驗(yàn)研究，以其中細(xì)砂巖為例，其6條應(yīng)力路徑所對(duì)應(yīng)的洛德角分別為0°、10.9°、23.4°、36.6°、49.1°、60°，相應(yīng)的比較結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)細(xì)砂巖試驗(yàn)結(jié)果比較分析

在模型使用過(guò)程中，參數(shù)β可根據(jù)材料內(nèi)摩擦角φ由式(11)加以確定，而參數(shù)α2嚴(yán)格來(lái)講需要通過(guò)相關(guān)試驗(yàn)加以標(biāo)定，但考慮其較β而言相對(duì)影響較小，建議取值在0.3～0.6的范圍內(nèi)即可。對(duì)于巖石類(lèi)等的抗拉強(qiáng)度比較大的材料，α2取值可以略大一點(diǎn)。

4 結(jié)論

(2)根據(jù)不同的模型參數(shù)，偏平面蛋形強(qiáng)度包線形狀可以從曲邊多邊形變化至圓形。參數(shù)β越小，角隅函數(shù)就越內(nèi)凹；β越大，強(qiáng)度包線就越外凸。而參數(shù)α2對(duì)于強(qiáng)度包線形態(tài)的影響則與β相反，即α2越小，曲線則越外凸。

(3)從對(duì)不同類(lèi)型巖土類(lèi)材料真三軸試驗(yàn)結(jié)果以及文獻(xiàn)中已有其他強(qiáng)度模型的比較結(jié)果來(lái)看，當(dāng)β相同時(shí)，蛋形強(qiáng)度準(zhǔn)則與其他g(θ)函數(shù)，包括SMP準(zhǔn)則，均較好地反映試驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)α2趨向于0時(shí)，蛋形強(qiáng)度包線與SMP準(zhǔn)則趨于一致；而當(dāng)α2趨向于1時(shí)，蛋形強(qiáng)度包線與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則趨于一致。