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        無限維模李超代數(shù)H和SHO的階化模

        2021-05-12 05:22:52張華雁徐曉寧
        關(guān)鍵詞:子代數(shù)李超代數(shù)

        張華雁,徐曉寧

        (1.遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院,沈陽 110036;2.聊城頤中外國語學(xué)校,山東 聊城 252000)

        0 引言

        李代數(shù)是于19世紀(jì)由挪威數(shù)學(xué)家M.S.Lie創(chuàng)立李群的時候引進(jìn)的數(shù)學(xué)概念。1974年Wess和Zumino為了建立物理學(xué)中相對的費米子和玻色子的統(tǒng)一理論而提出了超對稱性,將普通時空滿足的Poincare李代數(shù)(即非齊次Lorentz代數(shù))擴(kuò)充為超Poincare李代數(shù)。自此李超代數(shù)的研究便有了迅速發(fā)展。根據(jù)基域的不同,將李超代數(shù)分為特征為零的域上的李超代數(shù)和素特征域上的李超代數(shù),即非模李超代數(shù)和模李超代數(shù)。

        文獻(xiàn)[1]研究了δ-李三系的廣義導(dǎo)子。V.G.Kac在1977年完成了特征為零的域上有限維單李超代數(shù)的分類[2]。1998年,V.G.Kac將特征為零的域上無限維單的線性緊致李超代數(shù)進(jìn)行了分類[3]。目前非模李超代數(shù)的研究已經(jīng)取得了系統(tǒng)的研究結(jié)果[2-8],但是模李超代數(shù)的研究結(jié)果尚少。1992年D.Leites,Y.Kochetkov和V.M.Petrogradski開始探究模李超代數(shù)[9-10]。Petrogradski還引入了(p,2p)-結(jié)構(gòu),限制型李超代數(shù)由此產(chǎn)生。1996年Farnsteiner又對限制型李超代數(shù)及Frobenius擴(kuò)張做了進(jìn)一步研究[11-12]。1997年,張永正構(gòu)造出了4類Cartan型模李超代數(shù)W,S,H和K[13]。接著Cartan型模李超代數(shù)HO,SHO,KO和SKO也被構(gòu)造出來[14-17]。同時,這八類單模李超代數(shù)的表示的課題應(yīng)運(yùn)而生[18-22,24-25],本研究主要探究無限維Cartan型模李超代數(shù)H,SHO的階化模。

        1 基本概念

        在本研究中總設(shè)基域F的特征p>2,為非負(fù)整數(shù)集,m表示中任意m個整數(shù)組成的集合,Z2表示整數(shù)模2的剩余類環(huán)。設(shè)U(m)是具有生成元集{xα|α∈m}的F上的除冪代數(shù)。用Λ(n)表示具有n個不定元xm+1,…,xs的外代數(shù),其中s=m+n。令Λ(m,n)=U(m)?Λ(n)。顯然,U(m)的平凡Z2-階化與Λ(n)的自然Z2-階化誘導(dǎo)了Λ(m,n)的一個Z2-階化,使得Λ(m,n)成為一個超代數(shù)。設(shè)f∈U(m),g∈Λ(n),簡記Λ(m,n)中的元素f?g為fg。于是在Λ(m,n)上的乘法運(yùn)算可定義為

        Di(x(α)xu)={x(α-ei)xu(i∈Y0),

        x(α)·(?xu/?xi) (i∈Y1),

        [aDi,dDj]=aDi(b)Dj-(-1)d(dDi)d(bDj)bDj(a)Di,

        其中:a,b∈Λ(m,n);i,j∈Y;Di,Dj∈DerΛ(m,n)。

        設(shè)d=(d1,…,dm)∈m,記中元素xm+1,…,xm+n用X表示,Xi1,…,ir表示X刪去因子xi1,…,xir所得到的元素。令θ=〈i1,…,ir〉,xθ=xi1…xir。首先定義Λ(m,n)上的一個Z-階化為其中Λ(m,n)i=spanF{xαxu‖α|+|u|=i,α∈m,u∈B(n)},同時這個Z-階化可以誘導(dǎo)出W(m,n)的一個Z-階化:其中

        2 混合積及H的階化模

        由于d(Eij)=τ(k)+τ(j),所以

        [Ekj,Eil]=Ekl-(-1)τ(k)+τ(j))(τ(i)+τ(l))Eij。

        引理2.1[23]159若A∈W(m,n)θ,B∈W(m,n)μ,θ,μ∈Z2,設(shè)C=[A,B],則有

        下面介紹李超代數(shù)中的伸張。

        [a?x,b?y]=(-1)d(x)d(b)ab?[x,y],a,b∈Λ(m,n),x,y∈pl(m,n),

        (A?1)(a?x)=A(a)?x,a∈Λ(m,n),x∈pl(m,n),

        因此[A,B]∈Ω,則Ω是W(m,n)的子代數(shù)。仿照文獻(xiàn)[23]我們稱Ω為在W(m,n)中的P-伸張。當(dāng)P為單位陣時我們稱Ω為L在W(m,n)中的伸張。

        顯然W(m,n)就是pl(m,n)在W(m,n)中的伸張。

        設(shè)ρ是pl(m,n)的子代數(shù)L(P)在Z2-階化空間V上的表示,則將ρ擴(kuò)充成李超代數(shù)Λ(m,n)?L(P)在Λ(m,n)?V空間上的表示ρ1。

        ρ1(a?x)(b?v)=(-1)d(x)d(b)ab?ρ(x)(v) (a,b∈Λ(m,n),x∈L,v∈V)。

        定義李超代數(shù)H(m,n),要求m為偶數(shù),設(shè)m=2k,令

        定義線性映射DH∶Λ(m,n)→W(m,n)使得對?f∈hg(Λ(m,n))有

        其中:

        fi=σ(i′)(-1)τ(i′)d(f)Di′(f),?f∈Y。

        (1)

        顯然,d(fi)=d(f)+τ(i′),?i∈Y,由式(1)可得

        Di(fj′)=σ(i)σ(j)(-1)τ(i)τ(j)+(τ(i)+(τ(j))θDi(fi′)=0,

        其中i,j∈Y。令H(m,n)=spanF{DH(f)|f∈hgΛ(m,n)}??勺C得H(m,n)是W(m,n)的無限維子代數(shù)。

        則I是pl(m,n)的一個子代數(shù)。

        Y1={Eij′-σ(i)σ(j)Eit′|1≤i≤j≤m},Y2={Eij+Eji|m+1≤i≤j≤s},

        Y3={Eij-σ(i)Eji′|1≤i≤m,m+1≤j≤s},

        引理2.4[23]164對于i,j∈Y,定義ψ(DH(xixj))=σ(j)(-1)τ(j)Tij′是一個線性算子。則ψ是H(m,n)0到L的李超代數(shù)同構(gòu)。

        引理2.5[23]165H(m,n)是L在W(m,n)上的P-伸張。

        由引理2.5可得下述推論:

        它的素根系為

        L={Λ1-Λ2},…,(Λq-1-Λq),(Λq-1+Λq),(Λn+1-Λn+2),…,(Λn+r-1-Λn+r),(Λn+r-Λ1},

        其中:Λi(i=1,2,…,q,n+1,…,n+r)是〈Ell,…,Ess〉的線性函數(shù),使得Λi(Ejj)=δij。其基本權(quán)為

        (2)

        令E1=E1t-Et′1′,E2=E1t′-Et1′,E3=E1t′-Et′1,E4=E1t-Et′1′,通過計算可得以下等式

        (3)

        z=(-1)n2X?ρ(P(E1t-Et1)P-1)ρ(P(E1′t′-Et′1′)P-1)vλ-
        (-1)n2X?ρ(P(E11′-E1′1)P-1)ρ(P(Et′t′-Et′t′)P-1)vλ+
        (-1)n2X?ρ(P(E1t′-Et′1)P-1)ρ(P(Et1′-E1′t)P-1)vλ。

        (4)

        (-1)n2X?(μ2b1btvλ)=(-1)n2bt(1+b1)X?vλ。

        (5)

        首先證明

        (6)

        所以有

        由以上定理2.8和定理2.9可得以下定理。

        3 SHO的階化模

        HO(n,n)={TH(F)|f∈Λ(n,n)},

        這里α∈Z2,可得HO(m,n)是一個單李超代數(shù)。令HO(m,n)i=spanF{xαxu‖α|+|u|=i+2,α∈n,u∈β(n)},則是一個Z-階化的李超代數(shù)。

        對i∈Y,定義線性算子div(f(Di))=(-1)τ(i)d(f)Di(f),這里fDi∈W(m,n),則div是W(n,n)的超導(dǎo)子。置

        S′(n,n)={fDi∈W(n,n)|div(fDi)=0}。

        則S′(n,n)是W(n,n)是的一個Z-階化超導(dǎo)算子,并且其導(dǎo)代數(shù)是一個單李超代數(shù)。定義

        SHO′(n,n)=HO(n,n)∩S′(n,n),

        SHO(n,n)=[SHO′(n,n),SHO′(n,n)]。

        SHO(n,n)i=HO(n,n)i∩SHO(n,n)。

        SJ1={Eij-Ej′i′,Eii-Ei′i′-Ell+El′l′|i,j,l∈Y0,i≠j},

        SJ2={Eij+Ej′i′|i∈Y0,j∈Y1},SJ3={Eij-Ej′i′|i∈Y1,j∈Y0},

        則SJ1∪SJ2∪SJ3是SL的基。

        引理2.13 對任意的i,j∈Y,定義線性映射ψ(xiDj)=Eij。則ψ是SHO0到SL的同構(gòu)映射。

        推論2.14HO∩S′是SL在W上的P-伸張。

        而Eij-(-1)τ(i)τ(j′)+τ(j′)Eji′∈SL,故有

        因為Eij′?SL,因此有

        對i=j(其中i,j∈Y0),有Eij′∈SL。則-Di(fi′)+(-1)τ(i)Di(fi′)=-Di(fi′)+Di(fi′)=0。綜上可得,Ω=SHO′。

        易知SL的標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù)為

        SH=spanF{Eii-Ei′i′-Enn+En′n′|i∈Y0},

        SL的素根系為

        SL={(Λi-Λi+1),(Λi+Λi+1)-(Λk+Λk+1),-(Λk-Λk+1)},

        其中:1≤i≤n-1,n+1≤k≤2n-1,Λi(Ejj)=δij。其基本權(quán)為

        令A(yù)=TH(x2εiXi′),則

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