李林妍, 舒 級, 李 輝, 白欠欠
(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 可視化計算與虛擬現(xiàn)實四川省重點實驗室,四川 成都610066)
近十多年來,分?jǐn)?shù)階微積分理論受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,特別是從實際問題抽象出來的分?jǐn)?shù)階偏微分方程成為大家的研究熱點,在化學(xué)、物理、生物、人口動力學(xué)和金融等領(lǐng)域都有涉及,一些含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程能更好地描述復(fù)雜現(xiàn)象和復(fù)雜系統(tǒng),包括分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程[1-3]、分 數(shù) 階Landau-Lifshitz方 程[4]、分 數(shù) 階Landau-Lifshitz-Maxwell 方 程[5]、分 數(shù) 階Ginzburg-Landau方程[6-11]和分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程[12-13].
研究如下帶記憶項的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程
其初邊值條件分別為
其中,O為R3上帶有光滑邊界?O的有界區(qū)域,α∈(0,1),ε為正常數(shù),u(x,t)是未知函數(shù),μ是一個非負(fù)記憶核,f是非線性項,k(·)∈L2loc(R,L2(O)),h(·)∈H2α,W是概率空間上的雙邊實值Winner過程.在本文中,u的動力學(xué)行為依賴于擴(kuò)散項過去的歷史,即
當(dāng)α∈(0,1)時,稱(-Δ)α為分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子.在有界區(qū)域O上,分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子有不同的定義,包括積分分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和譜分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子兩種定義.當(dāng)α=1時,-Δ是標(biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯算子.文獻(xiàn)[14-19]提出拉回隨機(jī)吸引子的概念,是確定系統(tǒng)的整體吸引子的推廣[20-23],很好地刻畫了隨機(jī)動力系統(tǒng)的長時間行為.近年來,許多學(xué)者已深入研究帶有標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子的隨機(jī)方程的隨機(jī)吸引子,比如自治方程[19,22,24-44]和非自治方程[12,38,45-50].特別地,文獻(xiàn)[51]證明了(1)式的隨機(jī)吸引子的存在性.當(dāng)α∈(0,1)時,目前只有幾篇文獻(xiàn)討論了隨機(jī)分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的漸近行為[7,12,52].注意到,當(dāng)?shù)龋?3]用譜分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義證明了方程(1)隨機(jī)吸引子的存在性.受文獻(xiàn)[12,53]的啟發(fā),本文將用積分分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義來研究方程(1)在時的隨機(jī)吸引子的存在性和上半連續(xù)性.另外,當(dāng)有記憶項時,由于包含現(xiàn)象過去的全部歷史,不能證明方程(1)產(chǎn)生的隨機(jī)動力系統(tǒng)的緊性,但是,可以通過分解方法證明其漸近緊性,從而得到緊隨機(jī)吸收集的存在性.
最后,為了方便起見,全文用c或者C表示正常數(shù),特別地,用c(·)或C(·)表示與·有關(guān)的正常數(shù),這些常數(shù)可能不同.
方程(10)-(12)能產(chǎn)生一個連續(xù)的隨機(jī)動力系統(tǒng).
由于(4)式給出的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子(-Δ)α是非局部算子,類似于文獻(xiàn)[51],可將(2)式中條件x∈?O換為x∈R3\O,即對α∈(0,1),有
其中非線性函數(shù)f滿足
對(46)式右邊第一項,由于φτ-t∈D(τ-t,θ-tω)(∈D)及z(ω)是緩增的,于是存在T(τ,ω,D,ε)>0使得對所有t>T(τ,ω,D,ε),有
對(46)式右邊第二項,由(34)式知
接下來證kε是緩增的,即kε∈D.由(50)式可得
由(35)式可知
又r(ω)及z(ω)均是緩增的,則根據(jù)(52)式可得Rε是緩增的,即
由(8)及(88)式得
證明 由文獻(xiàn)[39]中的定理3.2、(82)和(86)式及引理4.1,結(jié)論成立.
致謝 四川師范大學(xué)2019年研究生優(yōu)秀論文培育基金項目(201903-12)和四川省可視化計算與虛擬現(xiàn)實重點實驗室對本文予以資助,謹(jǐn)致謝意!