（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

在自然界中，系統(tǒng)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)由當(dāng)前狀態(tài)和過(guò)去狀態(tài)共同決定，這類(lèi)系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)滯系統(tǒng)[1]。隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展和擴(kuò)大，以及基于相量測(cè)量單元（phasor measurement unit，PMU）的廣域量測(cè)技術(shù)（wide area measurement system，WAMS）的應(yīng)用[2]，導(dǎo)致信號(hào)傳輸?shù)木嚯x變遠(yuǎn)，然后產(chǎn)生延時(shí)，影響電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，研究時(shí)滯對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響以及獲取對(duì)應(yīng)的時(shí)滯上界，有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，廣大國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)推導(dǎo)的研究已經(jīng)取得了許多成果。積分不等式被廣泛地應(yīng)用于時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的推導(dǎo)中，主要有Jensen不等式、Wirtinger 不等式等。文獻(xiàn)[3]指出，獲取更大的時(shí)滯上界主要采取兩種方法：其一為構(gòu)建合適的L-K（Lyapunov-Krasovskii）泛函，其二為運(yùn)用保守性更低的方法來(lái)處理泛函求導(dǎo)后產(chǎn)生的積分項(xiàng)。文獻(xiàn)[4]在Wirtinger 不等式的基礎(chǔ)上，提出了一種新的積分不等式，它比以往的更為嚴(yán)密，求得的時(shí)滯上界更大，并且可以用來(lái)對(duì)含有離散分布時(shí)滯的線性系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[5]選用單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)為算例系統(tǒng)，分析出勵(lì)磁放大系數(shù)中的擾動(dòng)項(xiàng)與系統(tǒng)時(shí)滯上界之間的變化關(guān)系，并且通過(guò)引用自由權(quán)矩陣積分不等式的方法來(lái)得到更大的時(shí)滯上界。文獻(xiàn)[6]討論了含擾動(dòng)的時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定裕度求解方法，提出了雙層優(yōu)化的追蹤算法，可用于求解含擾動(dòng)的時(shí)滯電力系統(tǒng)的時(shí)滯上界。文獻(xiàn)[7]提出了一種新的改進(jìn)型積分不等式，其中包含了Jensen 不等式，穩(wěn)定性判據(jù)結(jié)論得到了很大的提高。文獻(xiàn)[8]在考慮廣域電力系統(tǒng)多條回路存在時(shí)滯的情況下，建立了含有多個(gè)時(shí)滯的系統(tǒng)模型，在構(gòu)建L-K 泛函時(shí)舍掉了一些冗余項(xiàng)，然后加入二重積分項(xiàng)使系統(tǒng)保守性大大降低。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一個(gè)含區(qū)間變時(shí)滯的廣域電力系統(tǒng)控制器，采用擴(kuò)展型積分不等式和凸組合等方法來(lái)降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性。文獻(xiàn)[10]根據(jù)廣域電力系統(tǒng)測(cè)量的一些特點(diǎn)，考慮到本地信號(hào)傳輸時(shí)沒(méi)有時(shí)滯，而區(qū)域間的信號(hào)傳輸有多個(gè)時(shí)滯，建立了含有多個(gè)時(shí)滯的電力系統(tǒng)模型，并根據(jù)Lyapunov 理論和線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）理論求出系統(tǒng)能承受的時(shí)滯上界。文獻(xiàn)[11]先取得二次型積分項(xiàng)的極大值，再采用“時(shí)滯分割”的思想來(lái)獲取穩(wěn)定性判據(jù)，其計(jì)算效率更高，獲得的結(jié)果也更好。文獻(xiàn)[12]通過(guò)Pade 近似方法，可以將時(shí)滯部分轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，然后建立含時(shí)滯的電力系統(tǒng)線性化模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)阻尼控制器，能有效地減小系統(tǒng)時(shí)滯對(duì)阻尼控制效果的影響。文獻(xiàn)[13]對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)提出一個(gè)基于廣義自由權(quán)矩陣的積分不等式，得到了較大的時(shí)滯上界。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于改進(jìn)自由權(quán)矩陣的時(shí)滯上界求取方法，在求解導(dǎo)函數(shù)時(shí)加入了一些必要的松散項(xiàng)，使得系統(tǒng)保守性降低。文獻(xiàn)[15-16]研究了時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在處理泛函導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的積分項(xiàng)時(shí)，采用的方法過(guò)于保守，導(dǎo)致所求的時(shí)滯上界較低。

本文通過(guò)引入一個(gè)關(guān)于時(shí)變時(shí)滯的二次函數(shù)，以典型的二階系統(tǒng)和四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例，再構(gòu)建出新的Lyapunov 泛函，引用文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[7]的積分不等式和二次型穩(wěn)定性判定方法，使得時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性明顯降低。最后，通過(guò)仿真實(shí)例，說(shuō)明采用本文方法得到的穩(wěn)定裕度具有更低的保守性，證明所提方法的可行性和優(yōu)越性。

標(biāo)號(hào)注釋?zhuān)篟n×m表示n×m階矩陣空間；上標(biāo)-1為矩陣的逆，T 為矩陣轉(zhuǎn)置；R＞0 表示矩陣R對(duì)稱(chēng)且正定；I表示合適維度的單位矩陣，0 表示零矩陣；sym{X}=X+XT。

2 系統(tǒng)建模

一般情況下，時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)模型可用如下微分方程組表示：

式（1）～（4）中：ω為發(fā)電機(jī)功角；

ωB為發(fā)電機(jī)角速度；

M為慣性時(shí)間常數(shù)；

D為阻尼系數(shù)；

Pm為原動(dòng)機(jī)輸出電磁功率；

T′d0為發(fā)電機(jī)定子開(kāi)路時(shí)間常數(shù)；

E′為電抗后電勢(shì)；

xd為發(fā)電機(jī)穩(wěn)態(tài)電抗；

x′d為發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗；

KA為勵(lì)磁回路放大系數(shù)；

TA為自動(dòng)調(diào)節(jié)器的時(shí)間常數(shù)；

Efd為線路勵(lì)磁電勢(shì)；

Efd0為勵(lì)磁電勢(shì)的參考值；

Vref為機(jī)端電壓參考值；

Id為縱軸輸出電流，且

其中，V0為無(wú)窮大母線端電壓，xe為線路電抗，δ為系統(tǒng)額定角速度；

PG為發(fā)電機(jī)輸出功率，且

VG為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓，且

將式（1）～（4）進(jìn)行線性化處理，可以得到如下含時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)模型：

d(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足

A、Ad為系統(tǒng)矩陣。

引理1定義x在區(qū)間[α,β]→Rn上是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)對(duì)稱(chēng)矩陣，N1,N2,N3∈R4n×n時(shí)，則有以下不等式成立[4]：

其中，τ=β-α；

引理2考慮二次函數(shù)f(x)=a2x2+a1x+a0，其中x∈[h1,h2]，a2,a1,a0∈R。對(duì)于給定一個(gè)非負(fù)整數(shù)N，假設(shè)i=1,2,…,2N，滿(mǎn)足以下條件[17]：

Ⅰ）f(h1)＜0，

Ⅱ）f(h2)＜0，

則f(x)＜0。

注釋文獻(xiàn)[7]給出的條件僅使用一條切線約束二次函數(shù)，引理2 與文獻(xiàn)[7]的方法相比較，使用了2N+1 條切線約束二次函數(shù)，隨著N的增加，引理2給出的條件保守性越低。

3 主要結(jié)論

本節(jié)先給出以下向量和矩陣的定義：

下面給出本文定理：

定理1給定標(biāo)量μ1＜μ2＜1，h＞0，如果存在矩陣任意矩陣N1、N2、N3、M1、M2、M3∈R9n×n，對(duì)于滿(mǎn)足約束條件0≤d(t)≤h、μ1≤≤μ2時(shí)，使得LMIs(10)～LMIs(12)有可行解，則系統(tǒng)（8）是漸近穩(wěn)定的。

這里i=1,2，且式（10）～（12）中：

其中：

證明構(gòu)建如下Lyapunov-Krasovskii 泛函：

對(duì)式（13）求導(dǎo)，可得：

式（14）中：

然后把式（14）中[t-h,t]分為[t-h,t-d(t)]和[t-d(t),t]兩個(gè)區(qū)間，再對(duì)兩個(gè)區(qū)間分別運(yùn)用引理1 可得：

式（15）中：

結(jié)合式（14）和（15）可得：

應(yīng)用引理2，當(dāng)N=0 時(shí)，結(jié)合Schur 補(bǔ)定理，得到式（10）～（12）。如果存在矩陣，，，，任意矩陣N1、N2、N3、M1、M2、M3∈R9n×n，當(dāng)滿(mǎn)足約束條件0≤d(t)≤h，μ1≤≤μ2，且式（10）～（12）成立時(shí)，則。再根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，得到系統(tǒng)（8）為漸近穩(wěn)定的，證畢。

4 算例分析

4.1 典型二階系統(tǒng)

本節(jié)采用典型的二階時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，并將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[7]、[13]和[15]中的結(jié)果進(jìn)行比較，取μ=μ2=-μ1時(shí)，得到在不同μ值下時(shí)滯上界的大小，如表1所示。

表1 不同μ 值時(shí)求得的時(shí)滯上界Table 1 Upper bound of time delay for different valuess

分析表1中的數(shù)據(jù)可知，根據(jù)定理1 得到的不同μ值下的時(shí)滯上界比相關(guān)文獻(xiàn)得出的數(shù)據(jù)大，即定理1 可以得到更大的時(shí)滯上界，說(shuō)明相比已有研究，本文給出的方法獲得的結(jié)果具有一定的優(yōu)越性。

4.2 四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本節(jié)采用四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，并將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[14]～[16]的結(jié)果進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Four-generator eleven-bus power system

接下來(lái)采用文獻(xiàn)[15]中降維后的狀態(tài)矩陣A、時(shí)滯矩陣Ad進(jìn)行仿真分析獲得結(jié)果，A、Ad描述如下：

根據(jù)定理1，當(dāng)μ=0 時(shí)，得到如表2所示結(jié)果，從表中數(shù)據(jù)可以得知，本文方法所得時(shí)滯上界相比其他文獻(xiàn)的時(shí)滯上界更大、保守性更小，進(jìn)一步說(shuō)明了本文方法的可行性和優(yōu)越性。

表2 不同方法獲得的四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的時(shí)滯上界Table 2 Upper bound of time delay obtained by this method with other literature methods

5 結(jié)語(yǔ)

本研究以典型的二階系統(tǒng)和四機(jī)十一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例，研究了含時(shí)變時(shí)滯的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。首先，建立含有時(shí)變時(shí)滯的廣域電力系統(tǒng)模型，構(gòu)建出新型L-K 泛函；然后，通過(guò)引入一個(gè)關(guān)于時(shí)變時(shí)滯的二次函數(shù)和積分不等式，得到一種保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)；最后，通過(guò)仿真分析，并與已有文獻(xiàn)方法比較，得知本文給出的方法能夠獲得更大的時(shí)滯上界，說(shuō)明了本文方法的可行性和優(yōu)越性。