姚 堯 李文華,2 王曉杰,2 王 槿,2 潘崇佩,2 文小青,2

(南開(kāi)大學(xué)1物理科學(xué)學(xué)院;2基礎(chǔ)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,天津 300071)

第32屆青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(International Youth Physicist's Tournament,IYPT)的第12道題目“Gyroscope Teslameter”內(nèi)容為:A spinning gyroscope made from a conducting,but non-ferromagnetic material slows down when placed in a magnetic field.Investigate how the deceleration depends on relevant parameters。即研究一個(gè)非鐵磁性導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)并減速的問(wèn)題。題目中涉及的裝置與電磁渦流制動(dòng)[1-3]裝置原理類似,對(duì)應(yīng)于基礎(chǔ)物理內(nèi)容中的楞次定律和法拉第電磁感應(yīng)定律知識(shí)點(diǎn)。特斯拉計(jì)涉及基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中磁場(chǎng)的測(cè)量。磁場(chǎng)的測(cè)量有很多方法,包括磁針?lè)?、電磁感?yīng)法、半導(dǎo)體(霍爾效應(yīng))探測(cè)法、核磁共振探測(cè)法、超導(dǎo)效應(yīng)法、磁光效應(yīng)法等[4]。

本文通過(guò)求解體系所滿足的麥克斯韋方程,解釋了影響其運(yùn)動(dòng)的相關(guān)因素,并用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了驗(yàn)證和解釋,最后并將此原理用于制造一個(gè)陀螺儀特斯拉計(jì)。

1 理論分析

1.1 背景原理

試想如圖1(a)所示,當(dāng)一個(gè)閉合線圈被恒力F牽引著遠(yuǎn)離磁場(chǎng)區(qū)域時(shí),由法拉第定律[5]可知,線圈上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε:

其中ΦB為穿過(guò)線圈的磁通量,B為磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。如果線圈的速度為v,則

在線圈中同時(shí)會(huì)有感應(yīng)電流i產(chǎn)生,此時(shí)導(dǎo)線在磁場(chǎng)中會(huì)受到安培力為

安培力的合力與其運(yùn)動(dòng)方向相反,此時(shí)外力F對(duì)系統(tǒng)所做的功一部分轉(zhuǎn)化為線圈的動(dòng)能,一部分轉(zhuǎn)化為線圈中的焦耳熱能。如果將閉合線圈換成一塊普通導(dǎo)體板(圖1(b)),有磁場(chǎng)覆蓋區(qū)域的導(dǎo)體板可劃分為并排放置的導(dǎo)線,其在遠(yuǎn)離磁場(chǎng)時(shí)會(huì)做切割磁感線運(yùn)動(dòng),從而在導(dǎo)體板內(nèi)形成閉合回路的路徑上產(chǎn)生感應(yīng)電流,但由于平板內(nèi)電流沒(méi)有固定導(dǎo)線形狀的限制,會(huì)呈渦旋狀存在。導(dǎo)體板的運(yùn)動(dòng)也會(huì)類似于閉合線圈在磁場(chǎng)中的情形,因受到安培力的作用運(yùn)動(dòng)受阻,從能量的角度考慮,在不考慮外力作用時(shí),導(dǎo)體板的動(dòng)能將全部轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體板內(nèi)的焦耳熱能。

圖1 線圈和導(dǎo)體板切割磁感線

1.2 模型建立

圖2 陀螺儀在磁場(chǎng)中的模型

對(duì)比導(dǎo)體板運(yùn)動(dòng)情況,一個(gè)旋轉(zhuǎn)的陀螺儀在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可以被簡(jiǎn)化為一個(gè)導(dǎo)體圓盤在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)的模型。整體可分為兩種情況,一種是導(dǎo)體圓盤完全被磁場(chǎng)B=B(x,t)覆蓋,如圖2(a)所示,此時(shí)導(dǎo)體圓盤可被看做由沿半徑方向排列的金屬棒組成,由方程(2)可知,圓盤上會(huì)產(chǎn)生由圓心指向邊緣的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),但是沒(méi)有接通外部電路,并不會(huì)產(chǎn)生感生電流,因此也不會(huì)受到磁場(chǎng)的安培力作用,圓盤的運(yùn)動(dòng)不受磁場(chǎng)的影響。再有一種情況就是磁場(chǎng)B(x,t)部分覆蓋導(dǎo)體圓盤(圖2(b)),不同于前一種情況,導(dǎo)體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),一部分在磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),一部分在磁場(chǎng)外作為外接電阻,形成閉合電路,從而在導(dǎo)體中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流。此時(shí)導(dǎo)體盤會(huì)受到與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的安培力而減速直至停止,即在忽略外界摩擦等阻力的情況下導(dǎo)體圓盤的動(dòng)能完全轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體盤中的焦耳熱能。所以只有在導(dǎo)體圓盤部分處于磁場(chǎng)中時(shí),才會(huì)因產(chǎn)生渦旋電流而使動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱直至停止轉(zhuǎn)動(dòng)。

進(jìn)一步簡(jiǎn)化模型,將磁場(chǎng)等效為導(dǎo)體圓盤上方固定一圓形永久磁鐵,如圖3所示,在此基礎(chǔ)上建立兩套右手坐標(biāo)系(1)永磁鐵所在固定坐標(biāo)系:x,y,z;(2)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤所在動(dòng)坐標(biāo)系:x′,y′,z′。

圖3 導(dǎo)體圓盤和永久磁體位置關(guān)系側(cè)視圖

如圖3所示,永磁體半徑為R,置于半徑為a的非鐵磁導(dǎo)體圓盤上方b處,兩個(gè)物體的中心軸線距離為d,導(dǎo)體圓盤的厚度為δ,電導(dǎo)率σ為有限值(即非超導(dǎo)體),且在本文討論范圍內(nèi)δ?a,0＜R≤a/2,R≤d≤a-R。首先考慮導(dǎo)體圓盤相

導(dǎo)體切割磁感線只需考慮以下情況

由導(dǎo)體坐標(biāo)系到磁鐵坐標(biāo)系存在

其中u為導(dǎo)體圓盤的平動(dòng)速度,由式(5)、式(6)可以得到

在導(dǎo)體坐標(biāo)系中定義一個(gè)廣義函數(shù)D′,并且其與導(dǎo)體的表面電流K存在如下關(guān)系

則由方程(8)可以得到

再回到磁鐵的坐標(biāo)系,在柱坐標(biāo)系下由方程(10)可得

為求解方程(11)引入磁矢量勢(shì)A,且

其中μr=1,j=jz(x,y)z為體電流密度。只有在r=R且表面極薄的一層才不為零,同樣jz也被限制在厚度遠(yuǎn)小于R的范圍內(nèi),因此由式(11)和式(12)可得

進(jìn)而可以得到由矢量勢(shì)Az所在場(chǎng)強(qiáng)的單位長(zhǎng)度的自由能W和注入到導(dǎo)體盤上的功率P存在如下關(guān)系

當(dāng)考慮導(dǎo)體圓盤繞固定軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)切割磁感線時(shí),建立如圖4所示的坐標(biāo)關(guān)系,則存在

圖4 導(dǎo)體圓盤繞定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系

此時(shí)對(duì)方程(12)和方程(13)進(jìn)行求解可以得到

通過(guò)式(16)以及阻力矩滿足的能量關(guān)系Tb=P/ω可以得到導(dǎo)體圓盤受到磁場(chǎng)的阻止力矩為

由式(21)可以看出在其他量固定的情況下,導(dǎo)體盤受到的電磁制動(dòng)力矩與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)速度ω正相關(guān),即圓盤的轉(zhuǎn)速越大,所受的電磁制動(dòng)力矩越大,隨著制動(dòng)力矩的作用,轉(zhuǎn)速減小,制動(dòng)力矩隨著減小,直至導(dǎo)體圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。在固定初始轉(zhuǎn)速ω和其他參量時(shí),改變永磁體與導(dǎo)體圓盤中心的距離d,電磁制動(dòng)力矩會(huì)存在一個(gè)極大值Tbmax。

在不考慮導(dǎo)體圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)減速時(shí)存在的內(nèi)摩擦力矩時(shí),其所受到的總制動(dòng)力矩為

I為導(dǎo)體圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與討論

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

我們按著圖3所示的簡(jiǎn)化模型,對(duì)導(dǎo)體圓盤在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)中所用裝置如圖5所示,其中導(dǎo)體圓盤裝置采用市場(chǎng)上購(gòu)買的簡(jiǎn)易單軸陀螺儀,圓盤材質(zhì)為黃銅,電導(dǎo)率取σ=5.7×107S/m[7],厚度δ=0.769cm,半徑a=2.45cm,質(zhì)量m=133.45g,經(jīng)固定后,黃銅圓盤可繞豎直的中心軸自由旋轉(zhuǎn)。所用永磁體直徑 為2R=0.95cm,厚度h=0.48cm。利用高斯計(jì)(HC803)對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量。采用高速相機(jī)(Photron FASTCAM Mini UX50,2000fps)對(duì)導(dǎo)體圓盤的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行拍攝。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

2.2.1 內(nèi)摩擦力矩修正

實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到如果給定陀螺儀一個(gè)初始轉(zhuǎn)速,在無(wú)外界磁場(chǎng)時(shí),轉(zhuǎn)速也會(huì)減慢,需考慮陀螺儀內(nèi)摩擦力矩的作用。在無(wú)外磁場(chǎng)時(shí),式(22)可以表示為

由參考文獻(xiàn)[8]可知,對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)體系,在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中所受的阻力矩主要來(lái)自于轉(zhuǎn)軸軸承處的摩擦力矩和體系所受到的空氣阻力矩,且二者均與角速度ω有關(guān),即Tf=Tf(ω)?？紤]到本實(shí)驗(yàn)中所用單軸陀螺儀的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且?guī)缀纬叽巛^小,故將Tf在較短時(shí)間內(nèi)近似作為常量處理,則對(duì)式(23)兩邊積分可得

實(shí)驗(yàn)中,我們先移去永磁體,直接測(cè)量導(dǎo)體圓盤的自然減速過(guò)程,得到如圖6所示的轉(zhuǎn)速ω的衰減數(shù)據(jù)。

圖6 內(nèi)摩擦力矩作用下的轉(zhuǎn)速衰減

導(dǎo)體圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=ma2=4.005×10-5kg·m2,由轉(zhuǎn)速衰減的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到衰減系數(shù)為1.136rad/s2,可得陀螺儀的內(nèi)摩擦力矩Tf=4.55×10-5N·m。

考慮了內(nèi)摩擦力矩之后,在有外界磁場(chǎng)時(shí),式(22)可以表示為

解此方程可以得到

其中

2.2.2 磁場(chǎng)的修正

當(dāng)我們使用特斯拉計(jì)測(cè)量圖4中圓形陰影區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)時(shí),發(fā)現(xiàn)磁感應(yīng)強(qiáng)度在中心部分近似保持均勻,隨著距離中心O越來(lái)越遠(yuǎn),磁感應(yīng)強(qiáng)度的衰減越明顯。由磁偶極子的磁感應(yīng)強(qiáng)度衰減規(guī)律[6]以及實(shí)際測(cè)量中所用特斯拉計(jì)探頭的大小(2～3mm),我們以圖7所示磁場(chǎng)分布對(duì)導(dǎo)體圓盤上的磁場(chǎng)進(jìn)行修正。即當(dāng)距圓心O的距離r≤r0時(shí),B=B0,當(dāng)距中心距離r＞r0時(shí),B(r)∝B0/r3,r0=1.5mm。對(duì)z向磁場(chǎng)進(jìn)行修正后,式(27)變?yōu)?

圖7 磁場(chǎng)衰減示意圖

2.2.3 實(shí)驗(yàn)探究

由前面的討論可知,導(dǎo)體圓盤在磁場(chǎng)制動(dòng)力矩和內(nèi)摩擦力矩的共同作用下,轉(zhuǎn)速變化遵循指數(shù)衰減規(guī)律,衰減的快慢完全由式(26)指數(shù)項(xiàng)系數(shù)k來(lái)決定,此時(shí)內(nèi)摩擦力矩項(xiàng)可視為常數(shù)項(xiàng),則導(dǎo)體圓盤轉(zhuǎn)速的變化可簡(jiǎn)化為

其中衰減系數(shù)β=k/I。由式(28)可知,k與導(dǎo)體圓盤和永磁體軸心間距離d近似成二次方關(guān)系,其反映磁場(chǎng)制動(dòng)力矩Tb與d間的變化關(guān)系,衰減系數(shù)β亦遵循此規(guī)律。

實(shí)驗(yàn)上通過(guò)固定永磁體與導(dǎo)體圓盤間的豎直距離b,測(cè)得導(dǎo)體圓盤表面磁場(chǎng)區(qū)域中心處磁場(chǎng)大小為Bz0=0.13T,來(lái)探究導(dǎo)體圓盤的轉(zhuǎn)速ω以及衰減系數(shù)β隨著d的變化規(guī)律。在盡量保證初始轉(zhuǎn)速一致的情況下,得到d=0.88,1.00,1.25,1.60,1.75cm 時(shí),導(dǎo)體圓盤的轉(zhuǎn)速變化數(shù)據(jù)如圖8所示。

圖8 永磁體和導(dǎo)體圓盤中心距離d 變化時(shí)圓盤轉(zhuǎn)速變化情況

利用式(29)對(duì)圖8中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到衰減系數(shù)β隨著軸心距離d的變化關(guān)系如圖9所示,其中灰色實(shí)線為由式(28)得到的理論曲線?？梢钥吹剿脤?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論預(yù)期變化趨勢(shì)一致,但在軸心距離d較小和較大時(shí)數(shù)據(jù)有較大偏差。我們推測(cè)可能是導(dǎo)體圓盤的質(zhì)心不在軸心,導(dǎo)致其實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I大于理論的ma2/2,使得實(shí)際的衰減系數(shù)β=k/I會(huì)小于理論計(jì)算值。而在d較小時(shí),由于其初始轉(zhuǎn)速較小,且磁場(chǎng)作用的阻尼衰減作用比d較大時(shí)小,此時(shí)重力矩作用比較明顯,使得實(shí)際衰減系數(shù)偏大。

圖9 導(dǎo)體圓盤轉(zhuǎn)速的衰減系數(shù)β 隨軸心距離d 的變化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論值對(duì)比

由式(27)可知,當(dāng)外界磁場(chǎng)Bz已知時(shí),在特定的位置d處,理論上可以預(yù)測(cè)導(dǎo)體圓盤轉(zhuǎn)速的衰減速率。反之,當(dāng)外界磁場(chǎng)未知時(shí),可根據(jù)圓盤轉(zhuǎn)速的衰減速率來(lái)反推磁場(chǎng)的大小,從而可以得到一個(gè)“陀螺儀特斯拉計(jì)”。即存在

其中I為導(dǎo)體圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,C為與導(dǎo)體圓盤材質(zhì)和尺寸、永磁體尺寸以及兩者軸心間距離相關(guān)的量為:C=利用此原理,我們固定d=1.45cm,利用式(30)得到此時(shí)由衰減系數(shù)反推磁場(chǎng)大小的理論曲線(圖10中灰色實(shí)線所示),與用特斯拉計(jì)測(cè)量得到的磁場(chǎng)大小進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖10所示。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論預(yù)期有較好的一致性。

圖10 由衰減系數(shù)推算得到的磁場(chǎng)強(qiáng)度Bz0

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)第32屆IYPT 賽題中第12 題“陀螺儀特斯拉計(jì)”進(jìn)行了探究。通過(guò)理論分析將磁場(chǎng)中陀螺儀的減速問(wèn)題簡(jiǎn)化為導(dǎo)體圓盤在磁場(chǎng)中的減速,并對(duì)模型的麥克斯韋方程進(jìn)行了求解,通過(guò)解體系的常微分方程得到導(dǎo)體圓盤受到的電磁制動(dòng)力矩及角速度變化,并對(duì)方程的解進(jìn)行了內(nèi)摩擦力矩和磁場(chǎng)的修正。通過(guò)改變軸心距離d,實(shí)驗(yàn)測(cè)得導(dǎo)體圓盤的轉(zhuǎn)速衰減系數(shù),并同理論進(jìn)行比較。最后利用磁場(chǎng)大小與轉(zhuǎn)速衰減系數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系將裝置作為“陀螺儀特斯拉計(jì)”對(duì)永磁體的磁場(chǎng)進(jìn)行了測(cè)量,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論符合的較好。