葉昱成 梁小沖 蔣 昕

(四川大學(xué)物理學(xué)院,四川 成都 610200)

費(fèi)爾德常數(shù)是晶體和溶液的特性常數(shù)之一,其主要應(yīng)用于磁光效應(yīng)之中。目前測(cè)量費(fèi)爾德常數(shù)的主要方法有偏振激光測(cè)量法、解析譜法等?？挛魃⒐绞欠▏?guó)數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)媒質(zhì)的折射率與真空中入射光的波長(zhǎng)的數(shù)學(xué)關(guān)系。由此可以提出一種在分光計(jì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上利用柯西色散原理測(cè)量費(fèi)爾德常數(shù)的新方法[1-3],通過分光計(jì)測(cè)量汞燈發(fā)出的光線在三棱鏡及三棱鏡容器中發(fā)生色散時(shí),每種特征譜線對(duì)應(yīng)的折射率,進(jìn)而計(jì)算出晶體的費(fèi)爾德常數(shù)。此方法實(shí)驗(yàn)周期短,成本較低,可適應(yīng)于多種環(huán)境下,使得測(cè)量更加簡(jiǎn)便[4]。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1845年,M.Faraday 觀察到,一束線偏振光在磁場(chǎng)的作用下,偏振光的振動(dòng)面將發(fā)生旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角ψ與樣品長(zhǎng)度D和磁感應(yīng)強(qiáng)度B成正比,比例系數(shù)V稱為費(fèi)爾德常數(shù)[5],

費(fèi)爾德常數(shù)與偏振光波長(zhǎng)、材料性質(zhì)和磁場(chǎng)方向有關(guān),描述了特定材料的法拉第磁光效應(yīng)的強(qiáng)度[6]。

1.1 費(fèi)爾德常數(shù)與光波波長(zhǎng)的關(guān)系推導(dǎo)

由波動(dòng)光學(xué)中的結(jié)論[17]

其中,nL,nR分別為特征譜線中的左旋、右旋偏振光在材料中的折射率。

設(shè)介質(zhì)中原子的軌道電子具有磁矩[16]

式中L為軌道角動(dòng)量。

在磁場(chǎng)B中,一個(gè)電子磁矩有勢(shì)能Ep為[7]

式中Laxis是電子軌道角動(dòng)量的軸向分量。

當(dāng)平面偏振光通過磁場(chǎng)B作用在折射率為n的樣品介質(zhì)上,光子使電子由基態(tài)激發(fā)到高能態(tài)。處于激發(fā)態(tài)的電子吸收光子的角動(dòng)量,動(dòng)能沒有改變,而勢(shì)能則增加ΔEp,其大小為[7]

上式中的正負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于左旋光和右旋光。

因?yàn)楣庾泳哂心芰?ω,故樣品介質(zhì)對(duì)光的折射率n是?ω和ΔEp函數(shù)。左旋光量子的能量E為

同理,對(duì)右旋光量子有

忽略小量,將式(4)、式(5)代入式(2),得到

與式(1)比較得到

根據(jù)泰勒展開前柯西色散公式

將式(9)代入式(7)中

1.2 費(fèi)爾德常數(shù)的測(cè)量方法

在得到式(10)后,需要開始測(cè)定同一物質(zhì)四個(gè)不同波長(zhǎng)下的折射率n(λ),然后擬合出柯西色散公式并求出色散系數(shù),進(jìn)而求得待測(cè)物質(zhì)的費(fèi)爾德常數(shù)[8]。

如圖1所示,汞燈光源發(fā)出的光以入射角i1入射到三棱鏡的一個(gè)光學(xué)表面,經(jīng)三棱鏡折射后從三棱鏡的另一個(gè)光學(xué)表面射出并發(fā)生色散,入射光和出射光之間的夾角稱為偏向角δ。當(dāng)棱鏡頂角A′一定時(shí),偏向角δ的大小隨入射角i1的變化而變化?？梢宰C明對(duì)同一種波長(zhǎng)的光譜線,當(dāng)i1=i4時(shí),δ最小,這時(shí)的偏向角稱為最小偏向角δmin[9-12]。當(dāng)i1=i4時(shí),由幾何關(guān)系得出

由上式解出

圖1 棱鏡色散

設(shè)棱鏡材料對(duì)該波長(zhǎng)的折射率為n,由折射定律sini1=nsini2可得

測(cè)得棱鏡的頂角A′及最小偏向δmin后,即可由式(11)計(jì)算棱鏡材料對(duì)不同波長(zhǎng)的光譜線的折射率n[8-10]。

由實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的不同特征譜線對(duì)應(yīng)的折射角ˉθ,可計(jì)算出偏轉(zhuǎn)角δmin的大小

如圖2所示,分光計(jì)光源發(fā)出的光經(jīng)平行光管后成為平行光;平行光經(jīng)載物臺(tái)上的光學(xué)元件反射、折射或衍射后改變傳播方向;繞中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡,先后接收未經(jīng)過被測(cè)光學(xué)元件改變方向和經(jīng)過被測(cè)光學(xué)元件改變方向后的平行光,由讀數(shù)圓盤讀出兩種情況下望遠(yuǎn)鏡所在位置的角度,即可由式(12)計(jì)算最小偏向角σmin,將計(jì)算結(jié)果代入式(8)計(jì)算出不同波長(zhǎng)的譜線對(duì)應(yīng)的折射率大小,利用此數(shù)據(jù)擬合出柯西色散公式中色散系數(shù)A、B 的數(shù)值大小,繪制出n-λ圖像,并將擬合結(jié)果代入式(10)中計(jì)算出樣品的費(fèi)爾德常數(shù)大小[13]。

圖2 普通分光計(jì)

1.3 液體費(fèi)爾德常數(shù)的測(cè)量

對(duì)于液體費(fèi)爾德常數(shù)的測(cè)量,我們使用一種三棱鏡狀容器來盛裝液體,其測(cè)量光路如圖3所示。

圖3 溶液費(fèi)爾德常數(shù)測(cè)量光路

圖3以單色光入射為例,由于制作三棱鏡杯子的材料折射率為n1=1.515,而一般溶液的折射率n2均小于此值,故考慮溶液折射率小于外側(cè)玻璃的情況,當(dāng)尋找到入射光在溶液中的最小偏向角時(shí),光路如圖3所示。由于此光路具有對(duì)稱關(guān)系,可以得到入射角ia=ie,折射角ib=id,此時(shí)

而從圖3中可以得到角度關(guān)系

溶液費(fèi)爾德常數(shù)的計(jì)算公式可表達(dá)為:

其中,σmin即為此時(shí)的最小偏向角。將式(13)得到的不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的折射率進(jìn)行擬合計(jì)算,可擬合出柯西色散公式中的常數(shù)A、B,進(jìn)而求出費(fèi)爾德常數(shù)的大小。

2 實(shí)驗(yàn)方案及數(shù)據(jù)處理分析

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

圖4

(1) 利用十字叉絲對(duì)準(zhǔn)白光(如圖4(a)所示),讀出此時(shí)入射光對(duì)應(yīng)的角度θ0,將三棱鏡或盛裝液體的三棱鏡容器的頂角置于載物臺(tái)中心附近,先在出射光一側(cè)找到出射光的大致位置,然后轉(zhuǎn)動(dòng)鏡筒,從望遠(yuǎn)鏡中找到汞燈的四條特征譜線(其順為黃、綠、藍(lán)、紫或紫、藍(lán)、綠、黃)[15-17]

(2) 此時(shí)先順時(shí)針調(diào)節(jié)載物臺(tái),使得特征譜線移動(dòng)至最小偏向角的位置[13],然后轉(zhuǎn)動(dòng)目鏡筒,使十字叉絲依次對(duì)準(zhǔn)四條特征譜線(如圖4(b)、(c)所示),并在讀數(shù)圓盤上讀出每種譜線對(duì)應(yīng)的出射角θ′。

(3) 完成讀數(shù)后,將載物臺(tái)繼續(xù)沿順時(shí)針轉(zhuǎn)過一定角度(5°以上),后將其沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至最小偏向角處,讀出此時(shí)每種譜線對(duì)應(yīng)的出射角θ″,上述順時(shí)針和逆時(shí)針兩次測(cè)量求均值方法的目的是減小最小偏向角的測(cè)量誤差,并消除儀器的回空誤差[5]。

將θ′和θ″求平均值得到的記錄在下方四個(gè)表格中,其中表1、表2、表3、表4分別記錄汞燈發(fā)出的白光在經(jīng)過重火石晶體、水、濃度5%的葡萄糖溶液、濃度10%的葡萄糖溶液后,四種特征譜線對(duì)應(yīng)的出射角。

表1 三棱鏡晶體的四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

表2 水的四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

表3 濃度5%葡萄糖溶液四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

表4 濃度10%葡萄糖溶液四種特征譜線的出射角(θ0=57°57′)

2.2 數(shù)據(jù)處理分析

其中對(duì)于三棱鏡,

A=0.000222218,B=0.000153724

對(duì)于水,

A=0.000868629,B=0.000650003

對(duì)于濃度5%的葡萄糖溶液,

A=0.000841844,B=0.000628817

對(duì)于濃度10%的葡萄糖溶液,

A=0.000922218,B=0.000682626

取波長(zhǎng)為四種光波長(zhǎng)的平均值ˉλ=473.2nm,并將ˉλ,A,B代入式(10)中進(jìn)行計(jì)算,得到三棱鏡和水、濃度為5%、10%葡萄糖溶液的費(fèi)爾德常數(shù)的測(cè)量值分別為

V三棱鏡=898.31′·T-1·cm-1

V水=174.80′·T-1·cm-1

V5%的葡萄糖溶液=87.72′·T-1· cm-1

V10%的葡萄糖溶液=194.49′·T-1· cm-1.由于此分光計(jì)的測(cè)量精度為1′,因此測(cè)量出的費(fèi)爾德常數(shù)實(shí)際精度為0.1′·T-1·cm-1。利用軟件計(jì)算并繪制的不同波長(zhǎng)的光在不同介質(zhì)中的折射率,與其理論曲線進(jìn)行對(duì)比,圖5為三棱鏡、純水和濃度為5%,10%葡萄糖溶液中的柯西色散公式擬合結(jié)果。根據(jù)四種樣品中的測(cè)量數(shù)據(jù),可以利用Origin軟件計(jì)算出測(cè)量結(jié)果的平均相對(duì)誤差,在測(cè)量精度為0.1′·T-1·cm-1時(shí),平均誤差eR＜1.5%。對(duì)比錢小凌利用紅光激光器精確測(cè)量費(fèi)爾德常數(shù)得到的結(jié)果[14],本文提供的測(cè)量方法相對(duì)誤差小于2%。然而,紅光激光器精確測(cè)量費(fèi)爾德常數(shù)的方法對(duì)環(huán)境溫度、亮度等實(shí)驗(yàn)條件要求較高,因此不利于在一般實(shí)驗(yàn)室條件下展開。

3 結(jié)語

實(shí)驗(yàn)測(cè)量過程使用普通分光計(jì),通過四條汞燈特征譜線擬合出柯西經(jīng)驗(yàn)公式,測(cè)量出晶體和溶液費(fèi)爾德常數(shù),得到實(shí)驗(yàn)誤差很小的結(jié)果,極大降低了實(shí)驗(yàn)成本,減少了實(shí)驗(yàn)周期,且自然光對(duì)本實(shí)驗(yàn)影響不大,故實(shí)驗(yàn)可在多種環(huán)境下開展。此實(shí)驗(yàn)中提供的方法不僅可以用于快速測(cè)定費(fèi)爾德常數(shù),也可在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行拓展。