梅夢(mèng)玲， 周菊玲， 董翠玲

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830017）

變點(diǎn)（change point）指的是某一位置或時(shí)刻在此前后觀測(cè)值或數(shù)據(jù)遵循兩個(gè)不同的模型. 變點(diǎn)問題是近幾年統(tǒng)計(jì)方向研究中比較熱門的話題，主要應(yīng)用于質(zhì)量控制、水文統(tǒng)計(jì)、金融經(jīng)濟(jì)、地震預(yù)測(cè)等領(lǐng)域. 目前變點(diǎn)分析方法主要有極大似然法、最小二乘法、貝葉斯法和非參數(shù)方法等. 關(guān)于變點(diǎn)問題，國內(nèi)外的學(xué)者進(jìn)行了深入研究，James B J［1］在1992 年對(duì)多元正態(tài)分布位置參數(shù)的變點(diǎn)用似然比檢驗(yàn)做了假設(shè)檢驗(yàn)；Kokoszka 和Leipus［2］在1998 年用累積和方法檢測(cè)了ARCH 模型中的均值變點(diǎn)，證明了CUSUM 統(tǒng)計(jì)量的一致性；陳希孺［3］在1988 年研究了序列中只有一個(gè)變點(diǎn)的情況；1991年陳希孺［4］還在變點(diǎn)系列文章中介紹了基本理論及其常用的方法，如最小二乘法、局部比較法、Bayes法等，并對(duì)這些方法進(jìn)行了舉例說明. 近些年來，關(guān)于隨機(jī)截尾試驗(yàn)的研究比較多，帶有不完全信息隨機(jī)截尾試驗(yàn)（random censoring test with incomplete information，簡(jiǎn)稱IIRCT）由Elperin T I，Gertsbakh I B［5］首次研究，后來又有許多學(xué)者對(duì)IIRCT下壽命分布的參數(shù)估計(jì)問題進(jìn)行了深入研究［6-11］. 指數(shù)分布是概率統(tǒng)計(jì)中一種重要的分布，關(guān)于指數(shù)變點(diǎn)問題的研究也有很多，胡興［12］研究了完全數(shù)據(jù)下單參數(shù)指數(shù)族分布參數(shù)單變點(diǎn)的貝葉斯估計(jì)；彭秋曦［13］研究了左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布單變點(diǎn)和多變點(diǎn)的Bayes估計(jì)；黃月蘭［14］使用了最小二乘法、極大似然法和貝葉斯法三種方法對(duì)指數(shù)分布變點(diǎn)問題進(jìn)行研究；王黎明［15］研究了雙參數(shù)指數(shù)分布的變點(diǎn)問題. 變點(diǎn)問題在實(shí)際應(yīng)用中也很廣泛，雷鳴等［16］、馮娜［17］、周影輝等［18］研究了不同情況下上證指數(shù)的變點(diǎn)問題；廖遠(yuǎn)甦［19］利用方差多變點(diǎn)分析技術(shù)對(duì)SARS疫情的研究；許歡［20］基于ASAMC算法對(duì)氣象數(shù)據(jù)的變點(diǎn)進(jìn)行估計(jì). 本文主要是通過添加缺失數(shù)據(jù)，得到完全似然函數(shù)，然后基于MCMC方法研究了IIRCT下指數(shù)分布的多變點(diǎn)模型的參數(shù)估計(jì)問題.

1 連續(xù)型壽命IIRCT下指數(shù)的似然函數(shù)

2 指數(shù)分布的完全數(shù)據(jù)似然函數(shù)

3 多變點(diǎn)模型的滿條件分布及Gibbs抽樣

指數(shù)分布多變點(diǎn)模型如下：

當(dāng)αi=1，βi=1時(shí)，

當(dāng)αi=0時(shí)，

利用逆變換法可以產(chǎn)生z1i，利用篩選法產(chǎn)生z2i，由于λ1，λ2，λ3的滿條件分布是伽馬分布，所以這三個(gè)參數(shù)可以直接利用Gibbs抽樣，而k1，k2的滿條件分布比較復(fù)雜，不能直接用Gibbs抽樣，所以利用Metropolis-Hastings算法進(jìn)行抽樣.

下面給出MCMC方法的具體步驟.

其中：m=1,2;j=1,2,3 .

4 隨機(jī)模擬

令n=200，取真實(shí)值（k1，k2，λ1，λ2，λ3）=（50，150，3，8，5），取λ1，λ2，λ3的先驗(yàn)分布分別為gamma（6，2），gamma（8，1.2），gamma（15，2.6）. yi服從指數(shù)分布，且參數(shù)為0.5，假設(shè)顯示概率a=0.8，取M=20 000，B=10 000.參數(shù)的貝葉斯估計(jì)見表1.

表1 參數(shù)k1,k2,λ1,λ2,λ3 的貝葉斯估計(jì)Tab.1 Bayesian estimation of parameters k1,k2,λ1,λ2,λ3

變點(diǎn)位置參數(shù)的Gibbs抽樣迭代過程見圖1和圖2.

圖1 參數(shù)k1 的Gibbs抽樣迭代過程Fig.1 Gibbs sampling iteration process of parameter k1

圖2 參數(shù)k2 的Gibbs抽樣迭代過程Fig.2 Gibbs sampling iteration process of parameter k2

Gibbs 抽樣收斂性判斷最常用的方法是同時(shí)產(chǎn)生多條markov 鏈，MCMC 收斂性判斷的常用方法是抽樣時(shí)出入兩組初始值產(chǎn)生兩條鏈，當(dāng)抽樣收斂時(shí)迭代重合. 在模擬過程中，輸入兩組初始值分別進(jìn)行10 000次迭代，k1、k2的兩條迭代鏈如圖3和圖4

圖3 k1 的多層迭代鏈軌跡Fig.3 Multiple iterative chain trajectory of k1

圖4 k2 的多層迭代鏈軌跡Fig.4 Multiple iterative chain trajectory of k2

由表可得參數(shù)估計(jì)的相對(duì)誤差不超過6%，MC誤差也較小，故整體上參數(shù)估計(jì)的精度較高，Gibbs抽樣迭代值波動(dòng)較小，估計(jì)效果較好. 由圖3和圖4可以看出參數(shù)的兩條迭代鏈都分別趨于重合，這說明由MCMC算法產(chǎn)生的馬爾科夫鏈?zhǔn)諗?