李 曄， 丁圓蘋

（河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院，鄭州 450002）

灰色系統(tǒng)理論自20世紀(jì)80年代創(chuàng)立以來，因其適用于“小樣本、貧信息”特征的數(shù)據(jù)建模而受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注. 灰色預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要分支之一［1］，由于其只需要少量數(shù)據(jù)便可實(shí)現(xiàn)預(yù)測的特點(diǎn)，已被廣泛運(yùn)用到工程、醫(yī)療、農(nóng)業(yè)等多個(gè)領(lǐng)域［2-4］.

傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型以實(shí)數(shù)作為研究對(duì)象，然而隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，人們面臨的系統(tǒng)變得更加復(fù)雜，受認(rèn)知程度所限，越來越多的數(shù)據(jù)不能以確切的數(shù)值表達(dá)，而區(qū)間灰數(shù)的表示方法則更符合人們對(duì)系統(tǒng)內(nèi)數(shù)據(jù)的把握和認(rèn)知［5］. 因此，建立面向區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測模型已成為學(xué)者們的研究熱點(diǎn)之一. 現(xiàn)有文獻(xiàn)中，學(xué)者們利用“區(qū)間灰數(shù)白化”的思想，通過信息分解法［6-7］、幾何坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法［8-9］、灰色屬性法［10-13］將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)序列，然后對(duì)實(shí)數(shù)序列建立灰色預(yù)測模型，再反推得到區(qū)間灰數(shù)上下界的模擬值和預(yù)測值. 但是，上述研究均是在灰數(shù)取值分布信息未知的前提下進(jìn)行的.

在灰色系統(tǒng)理論中，作為描述一個(gè)灰數(shù)對(duì)其取值范圍內(nèi)不同數(shù)值“偏愛程度”的白化權(quán)函數(shù)，在區(qū)間灰數(shù)預(yù)測中受到了學(xué)者們的深入研究. 文獻(xiàn)［14］定義了白化權(quán)函數(shù)已知的核與灰度，對(duì)已有研究中的核和灰度進(jìn)行了拓展；文獻(xiàn)［15］在典型白化權(quán)函數(shù)已知的前提下，將區(qū)間灰數(shù)序列所蘊(yùn)含的信息轉(zhuǎn)換為面積和中點(diǎn)坐標(biāo)等實(shí)數(shù)序列，然后對(duì)實(shí)數(shù)序列建立灰色預(yù)測模型，有效解決了白化權(quán)函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測問題；文獻(xiàn)［16］在文獻(xiàn)［15］的基礎(chǔ)上對(duì)區(qū)間灰數(shù)的白化過程進(jìn)行了優(yōu)化，提出了含有遺傳算法的白化權(quán)函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型；文獻(xiàn)［17］建立了三角白化權(quán)函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型，并將其運(yùn)用到黃河寧蒙河段巴彥高勒站的凌期日均流量預(yù)測；文獻(xiàn)［18］以灰色異構(gòu)序列為建模對(duì)象，提出了白化權(quán)函數(shù)已知的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測模型，并將其運(yùn)用到災(zāi)害應(yīng)急物資需求預(yù)測. 前述文獻(xiàn)均是白化權(quán)函數(shù)已知的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型，運(yùn)用白化權(quán)函數(shù)對(duì)區(qū)間灰數(shù)的分布信息進(jìn)行了補(bǔ)充，有效提高了模型的預(yù)測精度.

現(xiàn)實(shí)生活中大量的不確定性信息符合某種規(guī)律分布，而正態(tài)分布是存在最為廣泛的一種，具有普適性［19］.由于其可以用來描述不確定信息的取值概率情況，可被視為一種特殊的白化權(quán)函數(shù)，并運(yùn)用到區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型. 文獻(xiàn)［19］通過正態(tài)分布隨機(jī)函數(shù)實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列的信息等效轉(zhuǎn)換，然后對(duì)正態(tài)分布隨機(jī)白化序列進(jìn)行建模；文獻(xiàn)［20］結(jié)合區(qū)間灰數(shù)上下界與正態(tài)分布參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及實(shí)數(shù)序列之間存在相互影響和相互制約的特點(diǎn)，建立區(qū)間灰數(shù)MGM（1，2）預(yù)測模型. 基于此，本文將以正態(tài)分布作為區(qū)間灰數(shù)的取值信息補(bǔ)充，構(gòu)建正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型.

模型精度是判別建模有效性的標(biāo)準(zhǔn)之一，為提升灰色預(yù)測模型的建模精度，眾多學(xué)者對(duì)模型初始條件的優(yōu)化進(jìn)行研究. 關(guān)于初始條件優(yōu)化主要有三種方法：①設(shè)置不同的初始值. 文獻(xiàn)［21］在傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型求解初始條件的基礎(chǔ)上，增加修正項(xiàng)ε，對(duì)初始條件進(jìn)行優(yōu)化；文獻(xiàn)［22］結(jié)合“新信息優(yōu)先原理”，將x(1)(n)作為初始值從而求得優(yōu)化的初始條件；文獻(xiàn)［23］在文獻(xiàn)［22］的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，以x(1)(n)+ε 作為初始值求解初始條件. ②構(gòu)建目標(biāo)函數(shù). 文獻(xiàn)［24-25］結(jié)合模型的時(shí)間響應(yīng)式，構(gòu)建誤差平方和最小的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求得最優(yōu)初始條件；為體現(xiàn)初始條件優(yōu)化與模型精度檢驗(yàn)的一致性原則，文獻(xiàn)［26］建立了相對(duì)誤差平方和最小的目標(biāo)函數(shù)對(duì)初始條件進(jìn)行優(yōu)化. ③構(gòu)建初始條件表達(dá)式. 文獻(xiàn)［27］根據(jù)模型的時(shí)間響應(yīng)式，結(jié)合“新信息優(yōu)先原理”，假設(shè)擬合序列經(jīng)過原始點(diǎn)x(1)(1)和x(1)(n)，求得二者對(duì)應(yīng)的初始條件表達(dá)式，并取其均值作為優(yōu)化的初始條件. 前述文獻(xiàn)中的初始條件優(yōu)化方法在一定程度上提高了模型的預(yù)測精度，但均忽略了對(duì)系統(tǒng)數(shù)據(jù)的充分利用，對(duì)于已經(jīng)具有灰信息的區(qū)間灰數(shù)序列造成了信息浪費(fèi)，影響建模精度.

綜上所述，本文基于不確定信息取值概率的正態(tài)分布，以非齊次指數(shù)形式變化的區(qū)間灰數(shù)序列為研究對(duì)象，建立正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）預(yù)測模型. 結(jié)合正態(tài)分布的參數(shù)特征，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)序列，并對(duì)實(shí)數(shù)序列建立NGM（1，1）模型. 鑒于初始條件對(duì)模型精度的影響，受文獻(xiàn)［27］中初始條件優(yōu)化方法的啟發(fā)，在充分利用數(shù)據(jù)信息的前提下，結(jié)合新信息優(yōu)先原理對(duì)初始條件進(jìn)行優(yōu)化，最終反推區(qū)間灰數(shù)上下界的預(yù)測值.

1 基本概念

定義1［19］只知道取值范圍而不知道確切取值的數(shù)稱為灰數(shù)，既有下界xL又有上界xU的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為?∈[xL,xU],xL＜xU.

定義2［19］用來描述一個(gè)灰數(shù)?∈[xL,xU]在其取值范圍[xL,xU]內(nèi)對(duì)不同數(shù)值“偏愛”程度的函數(shù)，稱為區(qū)間灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù). 若“偏愛”程度呈現(xiàn)正態(tài)分布特征，則稱為正態(tài)分布白化權(quán)函數(shù)，如圖1所示.

定義3［19］設(shè)連續(xù)型區(qū)間灰數(shù)?∈[xL,xU]，若真實(shí)值d ∈[xL,xU]的取值概率服從正態(tài)分布，即d～N(μ,σ2)，μ 為數(shù)學(xué)期望，σ2為方差，則稱?∈[xL,xU]為正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù).

圖1 正態(tài)分布白化權(quán)函數(shù)Fig.1 Whitening weight function of normal distribution

為NGM（1，1）模型的白化方程.

其中：a 為發(fā)展系數(shù)；b 為驅(qū)動(dòng)項(xiàng)；c 為灰色作用量；D 為初始條件.

證明 根據(jù)式（2），在白化方程兩側(cè)同乘eat，并進(jìn)行不定積分，即

則白化方程的解為

則灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)式函數(shù)為

由x^(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)得累減還原式為

2 模型構(gòu)建

以區(qū)間灰數(shù)在取值范圍內(nèi)的真實(shí)值取值概率呈正態(tài)分布作為信息補(bǔ)充，結(jié)合正態(tài)分布的參數(shù)特征，將區(qū)間灰數(shù)序列等效轉(zhuǎn)換為核序列和信息擴(kuò)散度序列，以NGM（1，1）模型作為基礎(chǔ)模型對(duì)實(shí)數(shù)序列進(jìn)行建模.由于模型精度受到初始條件的影響，在已有初始條件優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，求得各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初始條件，并結(jié)合新信息優(yōu)先原理對(duì)初始條件賦權(quán)，進(jìn)而構(gòu)建初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型.

2.1 初始條件優(yōu)化

為了充分利用數(shù)據(jù)序列信息，本文考慮1-AGO序列中各個(gè)分量對(duì)預(yù)測模型的影響，在假設(shè)擬合點(diǎn)與原始點(diǎn)重合的情況下，計(jì)算各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初始條件. 此外，基于新信息優(yōu)先原理，賦予新信息對(duì)應(yīng)的初始條件較大的權(quán)重，舊信息對(duì)應(yīng)的初始條件較小的權(quán)重，以初始條件的加權(quán)平均值作為預(yù)測序列優(yōu)化的初始條件，進(jìn)而提升模型的預(yù)測性能.

設(shè)第k 個(gè)初始條件對(duì)應(yīng)的權(quán)重為α(k)，其中

α(k)的變化滿足α(1)＜α(2)＜…＜α(n)，與新信息優(yōu)先原理下的權(quán)重設(shè)置原則一致，具有有效性.

命題1 綜合考慮全部數(shù)據(jù)序列信息，可得優(yōu)化的初始條件為

證明 根據(jù)式（4），可得

即

結(jié)合式（6）及新信息優(yōu)先原理，優(yōu)化的初始條件為

定理3 設(shè)B、Y 如定理1所述，則NGM（1，1）模型的白化方程在初始條件優(yōu)化下的解為

則灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)式函數(shù)為

累減還原式為

2.2 正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型

由定義4可知，結(jié)合正態(tài)分布的參數(shù)特征，對(duì)正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)白化時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)信息的等效轉(zhuǎn)換. 因此，可將正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為核序列和信息擴(kuò)散度序列.

結(jié)合定義5，對(duì)實(shí)數(shù)序列分別建立初始條件優(yōu)化的NGM（1，1）預(yù)測模型，可得其累減還原式分別為：

其中：Dopt、a 和b 為初始條件優(yōu)化的核序列的NGM（1，1）預(yù)測模型的參數(shù)；D′opt、a′和b′為初始條件優(yōu)化的信息擴(kuò)散度序列的NGM（1，1）預(yù)測模型的參數(shù).

根據(jù)定義4，推導(dǎo)還原得到區(qū)間灰數(shù)的上下界，即

2.3 建模步驟

初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型建模步驟如下：

Step1根據(jù)定義4，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為核序列和信息擴(kuò)散度序列；

Step2根據(jù)定義5，分別建立核序列和信息擴(kuò)散度序列的NGM（1，1）模型；

Step3結(jié)合式（6）～（9），對(duì)所建立的兩個(gè)NGM（1，1）模型的初始條件進(jìn)行優(yōu)化；

Step4 根據(jù)式（13）～（14），求得核序列和信息擴(kuò)散度序列的模擬值并推導(dǎo)區(qū)間灰數(shù)上下界.

3 算例分析

為證明本文模型的有效性和實(shí)用性，利用所建立的初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型對(duì)某航空公司2008—2018年的航空貨運(yùn)量進(jìn)行模擬和預(yù)測，數(shù)據(jù)源于文獻(xiàn)［29］. 為進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕ＰЧ瑫r(shí)利用文獻(xiàn)［30］中的模型進(jìn)行建模. 原始數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 某航空公司2008—2018年航空貨運(yùn)量Tab.1 The Air cargo volumes of an airline from 2008 to 2018

以2008—2017年的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，對(duì)2018年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，具體步驟如下：Step1根據(jù)定義4，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為核序列和信息擴(kuò)散度序列，得

Step2根據(jù)定義5，分別建立核序列和信息擴(kuò)散度序列的NGM（1，1）模型，并結(jié)合式（8）～（11）對(duì)初始條件進(jìn)行優(yōu)化，得

Step3再根據(jù)式（13）～（14）推導(dǎo)區(qū)間灰數(shù)上下界的模擬值. 具體數(shù)據(jù)見表2.

表2 航空貨運(yùn)量的模擬、預(yù)測值及誤差Tab.2 Simulated values，forecast values and errors of the air cargo volumes

觀察表2，本文模型的上、下界平均相對(duì)誤差分別為2.637%和3.091%，預(yù)測誤差分別為0.754%和0.946%，均明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［30］中的模型. 這主要是由于在建模方法方面，文獻(xiàn)［30］在缺乏區(qū)間灰數(shù)取值分布信息的情況下將區(qū)間灰數(shù)白化為實(shí)數(shù)序列，而本文以“不確定信息廣泛存在正態(tài)分布規(guī)律”作為區(qū)間灰數(shù)的取值信息補(bǔ)充，將區(qū)間灰數(shù)序列等效轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)序列，“正態(tài)分布”取值信息的補(bǔ)充降低了區(qū)間灰數(shù)的灰性，有利于模型精度的提升；在模型選擇方面，文獻(xiàn)［30］選用擬合齊次指數(shù)增長的DGM（1，1）模型，本文選用既適用于齊次指數(shù)增長，也適用于非齊次指數(shù)增長的NGM（1，1）模型，相比較而言，本文選用的模型具有普適性，有利于數(shù)據(jù)變化規(guī)律的挖掘和發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測；在模型優(yōu)化方面，文獻(xiàn)［30］未對(duì)影響建模精度的初始條件進(jìn)行優(yōu)化，而本文結(jié)合新信息優(yōu)先原理對(duì)初始條件進(jìn)行優(yōu)化，從理論上既能提高建模精度又遵循了灰色系統(tǒng)建模的新信息優(yōu)先原則. 綜上所述，本文的建模方法有利于提升模型預(yù)測性能.

4 結(jié)語

區(qū)間灰數(shù)是一種具有灰信息的數(shù)據(jù)，與實(shí)數(shù)建模相比，區(qū)間灰數(shù)建模更為復(fù)雜. 本文在不確定信息廣泛存在正態(tài)分布的背景下，結(jié)合正態(tài)分布的參數(shù)特征，實(shí)現(xiàn)了區(qū)間灰數(shù)序列到實(shí)數(shù)序列的等效轉(zhuǎn)換，并分別建立實(shí)數(shù)序列的NGM（1，1）預(yù)測模型. 鑒于初始條件對(duì)模型精度的影響，充分利用數(shù)據(jù)序列信息及新信息優(yōu)先原理對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化. 最后，將模型應(yīng)用于某航空公司2008—2018年的航空貨運(yùn)量預(yù)測，結(jié)果表明本文所建立的初始條件優(yōu)化的正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)NGM（1，1）模型具有有效性和實(shí)用性.