谷曉培，劉建新

(天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300072)

0 引 言

從較大型民用客機(jī)的發(fā)展到高超聲速飛行器的研制過程中，人們發(fā)現(xiàn)層流邊界層和湍流邊界層的熱傳導(dǎo)系數(shù)和所產(chǎn)生的摩擦阻力相差很多。正確預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置對飛行器的設(shè)計(jì)具有重要的意義。通過前人對轉(zhuǎn)捩問題的研究，一般認(rèn)為，轉(zhuǎn)捩是由流動(dòng)中的擾動(dòng)失穩(wěn)導(dǎo)致的，主要可以分為三個(gè)具有不同特征的階段：感受階段、層流中擾動(dòng)的演化階段、以及轉(zhuǎn)捩階段[1-2]。而感受性階段作為轉(zhuǎn)捩過程的第一個(gè)階段，決定了引起轉(zhuǎn)捩的不穩(wěn)定波的初始條件，包括頻率、幅值和相位。因此，要從科學(xué)意義上研究清楚轉(zhuǎn)捩過程，準(zhǔn)確預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置，邊界層的感受性是關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)。除了感受性階段，線性穩(wěn)定性階段作為轉(zhuǎn)捩過程中相對尺度最長的階段也格外重要。在工程中可以使用eN方法來估計(jì)轉(zhuǎn)捩位置就是利用了線性穩(wěn)定性的這一特征。

已有研究[3]表明，在超聲速邊界層中存在著多個(gè)不穩(wěn)定特征模態(tài)，如Mack第一、第二模態(tài)。不同的模態(tài)之間可能相互轉(zhuǎn)化，而且有些模態(tài)的相速度接近于來流速度或者來流中聲波的傳播速度，這意味著這些模態(tài)可能與來流中渦波、熵波和聲波有緊密的聯(lián)系，因此超聲速邊界層的感受性問題比較復(fù)雜。其中Fedorov等[4-6]研究了超聲速邊界層對來流中快、慢聲波的感受性，提出了“同步”的概念來解釋高超聲速邊界層中的感受性過程。Fedorov和Khokhlov將邊界層前緣的離散模態(tài)分為快模態(tài)和慢模態(tài)。根據(jù)邊界層前緣感受性理論，來流中的快、慢聲波可以分別激發(fā)快、慢模態(tài)。他們對無黏穩(wěn)定性進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，第二模態(tài)波的產(chǎn)生與快、慢模態(tài)的同步點(diǎn)有關(guān)。即在某些條件下，當(dāng)快、慢模態(tài)發(fā)展到下游的某一位置，可能會(huì)具有相同的相速度，這個(gè)位置即為“同步點(diǎn)”。因?yàn)楸碚骺焖僮兓牟〝?shù)實(shí)部相同，而波數(shù)的虛部αi＜＜1，兩個(gè)模態(tài)由于基本流的弱平行效應(yīng)耦合起來，從而導(dǎo)致模態(tài)轉(zhuǎn)化。這就意味著在流場中需要同時(shí)存在快、慢模態(tài)。事實(shí)上，即便入口只引入一個(gè)模態(tài)的擾動(dòng)也可以依靠非平行性激發(fā)出第二模態(tài)。從物理上來講，一個(gè)模態(tài)在非平行流中傳播時(shí)，其形狀函數(shù)會(huì)偏離局部特征函數(shù)，由此產(chǎn)生的畸變會(huì)在另一個(gè)模態(tài)的特征函數(shù)上的投影一般不為零，這樣的散射效應(yīng)會(huì)將一個(gè)模態(tài)的部分能量轉(zhuǎn)化到另一個(gè)模態(tài)。因此，Mack第二模態(tài)的激發(fā)實(shí)際上是上游快、慢模態(tài)共同作用的結(jié)果，單一地考慮其中一個(gè)模態(tài)無法正確地刻畫Mack第二模態(tài)的生成。

在工程中，通常使用基于線性穩(wěn)定性理論即eN方法來進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測[7]，即通過計(jì)算不穩(wěn)定波的線性增長倍數(shù)來預(yù)測轉(zhuǎn)捩。使用這一方法時(shí)，需要確定積分式的起始位置坐標(biāo)x0。經(jīng)典的eN方法只計(jì)算擾動(dòng)的增長而不考慮擾動(dòng)的衰減。因此積分起始位置就是擾動(dòng)增長開始的位置。在一個(gè)二維流場中，給定一個(gè)展向波數(shù)β，則在頻率和流向坐標(biāo)x所組成的面內(nèi)可以找到一條中性曲線。曲線上的每一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于某一頻率的擾動(dòng)，其積分的起始位置就是與該頻率對應(yīng)的中性曲線下支的位置。

因此，綜合高超聲速邊界層中的感受性過程和傳統(tǒng)的eN轉(zhuǎn)捩預(yù)測方法，在研究問題中需要考慮以下兩點(diǎn)：第一點(diǎn)，流場的非平行性特征。在高超聲速邊界層中，流動(dòng)具有非平行性，而在使用線性流動(dòng)穩(wěn)定性理論（LST）的方法[8]來研究穩(wěn)定性時(shí)，一般需要做平行流假設(shè)，即假設(shè)邊界層厚度不變，將小擾動(dòng)設(shè)成行進(jìn)波的形式來進(jìn)行計(jì)算。這在大雷諾數(shù)的情況下，帶來的誤差并不大，但是在當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)較小的區(qū)域，平行性假設(shè)會(huì)引入較大的誤差。第二點(diǎn)，快模態(tài)、慢模態(tài)的感受性機(jī)制。即快、慢模態(tài)所激發(fā)出的第二模態(tài)可能受感受性機(jī)制的細(xì)節(jié)差別導(dǎo)致中性曲線下支存在差異，由此會(huì)影響到eN積分中積分起始點(diǎn)即中性曲線下支的確定。

為研究以上問題，本文將在考慮流場的非平行性前提下，利用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）方法及其伴隨方法開展研究，以期在考慮感受性過程的前提下對Mack模態(tài)中性曲線下支的確定問題進(jìn)行探討，并在此基礎(chǔ)上給出確定中性曲線下支的方法。

1 馬赫數(shù)4.5工況下考慮平板邊界層感受性的中性曲線下支研究

為了研究考慮感受性的中性曲線下支確定問題，本節(jié)以Ma= 4.5的可壓縮平板邊界層為研究對象，以Blasius相似性解為基本流，以入口處邊界層動(dòng)量厚度為無量綱長度，采用線化N-S方程（LNS）和線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）方法分別對邊界層內(nèi)快、慢模態(tài)激發(fā)第二模態(tài)不穩(wěn)定波的過程進(jìn)行研究。首先計(jì)算出離散模態(tài)擾動(dòng)的演化過程，然后通過對結(jié)果的處理，得到中性曲線的下支。計(jì)算參數(shù)表1所示。這里采用了兩種不同的數(shù)值模擬方法—LNS方程和LPSE方程。其中對于本文所研究的小擾動(dòng)問題來說，LNS方程[9]可以完全替代N-S方程，并且求解效率也要高很多。因此本文選用LNS方程的結(jié)果作為基本參照對象，更多的相關(guān)LNS方程的推導(dǎo)以及驗(yàn)證可以參考文獻(xiàn)[9]。下一小節(jié)主要就LPSE方程加以介紹。

表1 算例1的主要計(jì)算參數(shù)Table 1 Main calculation parameters of Case 1

1.1 線性拋物化穩(wěn)定性方程

線化拋物線穩(wěn)定性方程（LPSE）是一種有效的描述小擾動(dòng)線性演化的方法[10]。這種方法由于可以考慮邊界層的非平行效應(yīng)，因此計(jì)算較為精確。同時(shí)，對于小擾動(dòng)問題來說，其對擾動(dòng)演化的預(yù)測與N-S方程一致，但具有更高的效率，其系數(shù)矩陣元素的具體表達(dá)式見周恒等的著作。

考慮可壓縮邊界層，從有量綱的完全N-S方程出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)奶卣髁繉⑵溥M(jìn)行無量綱化，可以得到無量綱的N-S方程。

將方程中的瞬時(shí)量設(shè)為定常基本流與擾動(dòng)量的和：

對于空間模式來說，由于邊界層厚度沿流向是緩慢變化的，基本流沿流向也是緩變的。因此，T-S波的形狀函數(shù)和流向波數(shù)也是沿流向緩變的。假設(shè)展向波數(shù)不變，則擾動(dòng)可以寫成下列形式：

將式（3）代入到線性擾動(dòng)方程，去掉方程中二階以上小量，將其拋物化，即可得到線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）：

壁面處使用無滑移邊界條件和適當(dāng)?shù)臏囟葪l件，使用等溫條件時(shí)為：

使用絕熱條件時(shí)為：

邊界層外的自由流條件為：

在進(jìn)行LPSE的具體求解時(shí)，方程（4）中有兩個(gè)未知函數(shù)，即形狀函數(shù)和波數(shù)α，一個(gè)方程不足以解兩個(gè)量，所以需要補(bǔ)充一個(gè)條件。本文選用式（8）作為補(bǔ)充條件，其物理意義是形狀函數(shù)代表的擾動(dòng)動(dòng)能沿流向不變。在實(shí)際應(yīng)用式（8）作為補(bǔ)充條件時(shí)，需要對波數(shù)α進(jìn)行迭代求解，即用式（9）計(jì)算出一個(gè)新的流向波數(shù)αnew，判斷新舊流向波數(shù)之間是否滿足預(yù)設(shè)精度，若不滿足，則將αnew代回方程（4）中求出新的解，如此反復(fù)迭代，直至預(yù)設(shè)精度滿足補(bǔ)充條件為止。

其中，E為擾動(dòng)能量；上標(biāo)“c”表示復(fù)共軛。

由以上推導(dǎo)可知，LPSE方程給出的解實(shí)際上對應(yīng)于式（3）中的形函數(shù)以及相位函數(shù)。二者共同構(gòu)成了邊界層內(nèi)迭代求擾動(dòng)的演化過程。LPSE并沒有直接給出擾動(dòng)的增長率。因此，還需要給出求解增長率的方法。這里我們注意到，考慮到流場的非平行性，此時(shí)增長率αe在定義的過程中需要包括流向波數(shù)以及形函數(shù)沿流向變化的部分[11]，即：

1.2 離散模態(tài)的小擾動(dòng)演化的LPSE模擬

在計(jì)算問題之前，首先針對Case1計(jì)算其線性穩(wěn)定性特征，給出其離散模態(tài)的基本情況。圖1和圖2分別給出了Case1條件下用線性穩(wěn)定性理論（LST）計(jì)算得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度的實(shí)部沿流向的變化。從圖中可以看出，在中性曲線的上游，快模態(tài)和慢模態(tài)都是衰減的。相比而言，快模態(tài)的衰減率更小一點(diǎn)。流場此時(shí)主要是快模態(tài)主導(dǎo)流場中的離散模態(tài)。在下游約x= 200位置處，快、慢模態(tài)的相速度接近。該位置為同步點(diǎn)，同步點(diǎn)之后慢模態(tài)連接的是一個(gè)增長很快的第二模態(tài)，而快模態(tài)對應(yīng)為一個(gè)穩(wěn)定的模態(tài)。然而，這里有必要指出的是，LST所給出的結(jié)果對應(yīng)的實(shí)際上是特征值問題的解，即特征值和特征函數(shù)。這也就意味著，這一結(jié)果既沒有考慮流場的非平行特征，也無法計(jì)算流場中兩個(gè)模態(tài)同時(shí)存在的情況。

圖1 Case 1由LST給出的快、慢模態(tài)增長率沿流向分布Fig. 1 Growth rate distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 1

圖2 Case 1由LST給出的快、慢模態(tài)相速度沿流向分布Fig. 2 Phase velocity distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 1

雖然以上給出了線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果，然而依照Fedorov的理論，流場中Mack第二模態(tài)的激發(fā)過程實(shí)際上依賴于流場的非平行性，以及兩個(gè)離散模態(tài)同時(shí)存在并且共同作用的結(jié)果。為此，分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及線化N-S方程（LNS）來計(jì)算離散模態(tài)擾動(dòng)的演化，進(jìn)而確定其中性曲線下支的位置。

在具體計(jì)算時(shí)，選取上游某一位置的LST的離散模態(tài)（即快模態(tài)或者慢模態(tài)）作為初值。具體的入口擾動(dòng)參數(shù)如表2所示。

表2 case1的入口擾動(dòng)參數(shù)Table 2 Entrance disturbance parameters in Case 1

圖3給出了分別用LNS和LPSE方法所計(jì)算出來的預(yù)測結(jié)果?？梢钥闯?，不管入口為慢模態(tài)還是快模態(tài)時(shí)，兩種方法給出的擾動(dòng)演化過程基本相同。不管入口給快模態(tài)還是慢模態(tài)，擾動(dòng)的增長率都有一個(gè)波動(dòng)過程，這主要是由于在流場的下游位置慢模態(tài)占主導(dǎo)地位，而在流場的上游位置是快模態(tài)占主導(dǎo)地位。因此在上游的位置，首先存在著一個(gè)慢模態(tài)到快模態(tài)的模態(tài)動(dòng)態(tài)切換過程，但是隨著擾動(dòng)逐漸向下游演化，下游流場又由慢模態(tài)所主導(dǎo)，因此在流場的更下游主要體現(xiàn)還是慢模態(tài)的擾動(dòng)，快模態(tài)的幅值越來越小，慢模態(tài)的幅值越來越大，進(jìn)而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波，而主導(dǎo)了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)。換句話說，流場中此時(shí)存在著主導(dǎo)模態(tài)切換的過程，所謂波動(dòng)現(xiàn)象其實(shí)對應(yīng)的是流場主導(dǎo)模態(tài)的切換。這一特征在LPSE和LNS的計(jì)算結(jié)果中都可以觀察得到。

圖3 Case 1中不同方法給出的擾動(dòng)波增長率沿流向分布的比較Fig. 3 Comparison of the growth rate distributions along the flow direction given by different methods in Case 1

這也就意味著這兩種方法不同于LST方法，是可以同時(shí)計(jì)算兩個(gè)離散模態(tài)的演化的。同時(shí)還可以注意到，LPSE和LNS方法給出的Mack模態(tài)中性曲線下支位置大致相同，都大約在x= 210的位置處。這也就意味著，對于本文所研究的問題來說，使用LPSE可以得到與N-S方程同樣的結(jié)論，但效率更高。因此，以下的研究中主要使用LPSE來計(jì)算離散模態(tài)擾動(dòng)的演化過程以保證更高的效率。

從圖3中還可以看到，在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，計(jì)算所得到的中性點(diǎn)的位置存在較大差異。其中快模態(tài)演化過程中對應(yīng)的下中性點(diǎn)位置在x= 250；而慢模態(tài)演化過程中對應(yīng)的中性點(diǎn)位置在x= 210。也就是說隨著在入口處給定不同的離散模態(tài)，中性曲線下支的位置是有明顯差異的?？紤]到對于一個(gè)實(shí)際問題，流場中什么樣的擾動(dòng)都存在。此時(shí)，結(jié)合中性曲線的定義，選取更靠前的中性位置作為中性曲線的下支界，也就是說，此時(shí)應(yīng)該選取x= 210作為該問題的中性曲線下支。在此位置之前，不管什么樣的擾動(dòng)，都是衰減的。

正因如此，可以得到使用LPSE來確定考慮感受性的中性曲線下支確定方法。首先，使用LST計(jì)算出衰減區(qū)域內(nèi)快模態(tài)和慢模態(tài)兩個(gè)離散模態(tài)；然后，使用LPSE分別計(jì)算兩個(gè)離散模態(tài)向下游的演化過程進(jìn)而確定各自的中性點(diǎn)。最后，比較這兩個(gè)中性點(diǎn)，取更靠近上游的位置作為中性曲線的下支。

通過以上的方法來計(jì)算中性曲線下支是可行的。但是這種方法有一些地方值得商榷。第一，使用LPSE來計(jì)算離散模態(tài)的演化需要事先使用LST來計(jì)算出衰減區(qū)內(nèi)的兩個(gè)離散模態(tài)作為入口邊界條件。然而，由于衰減區(qū)域存在著主要由邊界層外流動(dòng)影響的連續(xù)譜的近中性解，因此無法直接使用冪法來迭代計(jì)算衰減的離散模態(tài)。一種常見的方法是使用迭代法從Mack模態(tài)的增長區(qū)逐漸改變參數(shù)從而計(jì)算出上游衰減區(qū)中的兩個(gè)離散模態(tài)，如圖1。但是這樣意味著相對比較繁復(fù)的尋找衰減區(qū)離散模態(tài)的過程。換句話說，該方法的操作性比較復(fù)雜，入口邊界條件不好給定。第二，在LPSE分別計(jì)算離散模態(tài)演化以確定中性曲線下支的過程中，實(shí)際上是進(jìn)行了兩次LPSE的演化計(jì)算。由于事先并不知道到底是慢模態(tài)還是快模態(tài)的演化可以得到相對位置更靠近上游的中性曲線下支，因此兩個(gè)離散模態(tài)的演化過程都需要進(jìn)行計(jì)算。如果有這樣的方法可以一次性的來確定中性曲線下支，那么其效率應(yīng)該更高。

基于以上所提到的計(jì)算中性曲線方法存在的不足，本文提出了一種結(jié)合線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）及其伴隨（APSE）的方法來計(jì)算非平行邊界層穩(wěn)定性，并以此確定考慮感受性的中性曲線下支的位置的方法。該方法有助于解決前面所提到的非平行效應(yīng)和模態(tài)同步這兩大難點(diǎn)的同時(shí)，還具有高效和易操作的特點(diǎn)。

2 基于伴隨拋物化穩(wěn)定性方程確定中性曲線下支

正如前文所述，基于LPSE來確定中性曲線下支的方法有其待改進(jìn)之處。注意到伴隨方程與原線性方程相比，具有特征值互為共軛關(guān)系的性質(zhì)。利用該性質(zhì)，就可以基于伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）來確定考慮感受性的中性曲線下支。該方法可以有效改善基于LPSE方法的不足。以下將對該方法進(jìn)行介紹，并利用該方法來確定不同工況下的中性曲線下支界的位置。

2.1 伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）的導(dǎo)出

首先來推導(dǎo)伴隨拋物化穩(wěn)定性方程，考慮LPSE方程為：

其中：

為了推導(dǎo)出APSE，需要給出內(nèi)積的定義：

這樣，依據(jù)伴隨算子的定義，可以利用分步積分方法導(dǎo)出線性微分算子L的 伴隨形式L*：

其中，上標(biāo)“*”表示伴隨形式；上標(biāo)“H”表示轉(zhuǎn)置復(fù)共軛；坐標(biāo)x1、x2、x3分別代表流動(dòng)的流向、展向和法向；B.C部分是由于分步積分導(dǎo)致產(chǎn)生的，實(shí)際上是描述伴隨模態(tài)和原模態(tài)在邊界處的恒等關(guān)系。依照伴隨算子的定義，不難有：

通過分步積分，也能推導(dǎo)出線性拋物化穩(wěn)定性方程的伴隨形式：

其中：

其系數(shù)矩陣元素的具體表達(dá)形式見Airiau等的文章[12]。根據(jù)伴隨算子的性質(zhì)，伴隨算子特征值與原算子的特征值互為共軛。這就意味著，在其中一個(gè)問題的特征值已知的情況下，其伴隨問題的特征值不需要再進(jìn)行計(jì)算，只需要帶入前面計(jì)算所求出的特征值即可。同時(shí)，對流項(xiàng)前面的符號決定了流向差分格式方向，因此LPSE問題利用后差從前向后推進(jìn)求解，而APSE問題利用前差從后向前推進(jìn)求解。除此之外，LPSE和APSE的離散格式相同。

這里需要指出的是，由于根據(jù)伴隨算子的性質(zhì)，實(shí)際上是基于APSE和LPSE給出的流向復(fù)波數(shù)α是相同的。但對于擾動(dòng)演化過程來說，除了流向復(fù)波數(shù)α，擾動(dòng)的形函數(shù)變化也是需要被考慮的。因此在使用APSE計(jì)算擾動(dòng)的演化過程中，還需要在使用APSE計(jì)算得到α沿流向不同位置的分布之后，再使用一次LPSE計(jì)算形函數(shù)沿流向的變化。這樣就可以給出擾動(dòng)增長率的分布了。

2.2 APSE求解器的驗(yàn)證

依照上面的公式推導(dǎo)構(gòu)造了APSE的求解器。為了驗(yàn)證該求解器的正確性，選取高超聲速平板邊界層中第二模態(tài)擾動(dòng)的演化[13]作為對象。用LPSE給出的Mack模態(tài)演化過程即增長率的分布作為比較基準(zhǔn)，將利用APSE求解器計(jì)算的所得到的擾動(dòng)增長率與LPSE的結(jié)果進(jìn)行對比，從而對APSE進(jìn)行驗(yàn)證。其中基本流為二維平板邊界層Blasius相似解，自由來流參數(shù)如表3所示，壁面邊界條件為無滑移邊界條件和等溫條件。

表3 算例2的主要計(jì)算參數(shù)Table 3 Main calculation parameters of Case 2

在入口引入第二模態(tài)的增長擾動(dòng)。分別使用LPSE和基于APSE計(jì)算擾動(dòng)演化過程的方法計(jì)算其增長率分布。圖4給出了用不同的方法計(jì)算得到的擾動(dòng)增長率沿流向的變化。APSE給出的第二模態(tài)增長率變化與LPSE的預(yù)測結(jié)果基本一致。這表明用APSE的方法計(jì)算擾動(dòng)的線性增長率是可靠的。

圖4 Case 2中LPSE與APSE增長率對比Fig. 4 Comparison of the growth rates calculated by LPSE and APSE in Case 2

需要額外指出的是，從圖4中可以看到增長率存在微小的差別。這種差別主要是由于在LPSE和APSE計(jì)算過程中，用于迭代求解復(fù)波數(shù)α的范數(shù)存在差異。雖然約定的范數(shù)保證了擾動(dòng)形函數(shù)沿流向的慢變性。但是這種差異會(huì)造成拋物化方程在省略二階小量項(xiàng)的過程中存在一些很小的差別，這種差別造成了即便使用同樣的公式（10）計(jì)算增長率，也不是完全一樣的。

2.3 中性曲線下支的求解過程

首先，在增長區(qū)選取一點(diǎn)x1，給定該位置處伴隨O-S方程的解。接著，以該解為基礎(chǔ)用伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）從下游向上游推進(jìn)求解，一直求解到中性曲線以外的區(qū)域（特征是伴隨PSE給出的特征值虛部為負(fù)，這里可以設(shè)置為-0.005以下水平），然后，在伴隨方程求解的終止點(diǎn)x0的位置處求解一次O-S方程（特征值初值為伴隨方程在該處的特征值的共軛），求出O-S方程的特征函數(shù)。然后以O(shè)-S方程給出特征函數(shù)以及APSE確定的特征值的共軛為基本條件作為LPSE方程的入口計(jì)算LPSE，但在用LPSE進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不需要再計(jì)算特征值，而是直接利用伴隨方程給出的特征值，求解出LPSE的形函數(shù)。最后通過對LPSE給出的擾動(dòng)演化進(jìn)行處理，得到增長率的分布，從而確定某一頻率下擾動(dòng)中性曲線的下支。

2.4 使用APSE在不同工況下確定中性曲線下支界

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)以上求解中性曲線下支界的方法，選取了三種不同的情況進(jìn)行應(yīng)用。由于Mack模態(tài)的激發(fā)源于快模態(tài)和慢模態(tài)的同步作用，那么可以從LST對快、慢模態(tài)演化并同步的過程來刻畫這種激發(fā)過程。這種激發(fā)過程多見于以下三種情況[14-15]：上游快模態(tài)增長或衰減較慢但下游慢模態(tài)與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游慢模態(tài)增長或衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游快模態(tài)增長或者衰減較慢，并且下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連。所選取的三種工況正是對應(yīng)于以上提到的三種情況，其主要計(jì)算參數(shù)見表4。以下則分別針對不同工況討論計(jì)算結(jié)果。

表4 不同工況的主要計(jì)算參數(shù)Table 4 Main calculation parameters of different flow conditions

2.4.1 Case 1

圖1和圖2已經(jīng)分別給出了Case1條件下線性穩(wěn)定性理論得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度的實(shí)部沿流向的變化。從圖中可以看出，根據(jù)LST分析的結(jié)果，在中性曲線的上游，快模態(tài)和慢模態(tài)都是衰減的。相比而言快模態(tài)的衰減率小一點(diǎn)。在下游約x= 200位置處，快、慢模態(tài)的相速度接近，該處為同步點(diǎn)，同步點(diǎn)之后慢模態(tài)連接的是一個(gè)增長很快的第二模態(tài)，而快模態(tài)變?yōu)橐粋€(gè)穩(wěn)定的模態(tài)。顯然，該算例對應(yīng)于上游快模態(tài)增長或衰減較慢但下游慢模態(tài)與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連的情況。

為了給出更為準(zhǔn)確的中性曲線，分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及伴隨（APSE）的方法來計(jì)算。其中，選取上游某一位置的LST的解為初值，用LPSE的方法向下游進(jìn)行演化計(jì)算的入口擾動(dòng)參數(shù)如表2所示。

圖5給出了用不同的方法計(jì)算所得到的預(yù)測結(jié)果?？梢钥吹剑琇ST給出的第二模態(tài)中性曲線下支約為x= 220。此時(shí)不管入口給快模態(tài)還是慢模態(tài)，擾動(dòng)的增長率都有一個(gè)波動(dòng)過程，即都對應(yīng)于前面提到的“拍”結(jié)構(gòu)。這主要是由于在流場的下游位置慢模態(tài)占主導(dǎo)地位，而在流場的上游位置是快模態(tài)占主導(dǎo)地位，因此在上游的位置，首先存在著一個(gè)慢模態(tài)到快模態(tài)的模態(tài)動(dòng)態(tài)切換過程，但這個(gè)過程隨著擾動(dòng)逐漸向下游演化，下游流場又由慢模態(tài)所主導(dǎo)。相比入口給快模態(tài)，入口給慢模態(tài)時(shí)能量更容易得到積累，尤其是考慮流動(dòng)的非平行性之后。

圖5 Case1中不同方法給出的擾動(dòng)波增長率沿流向分布的比較Fig. 5 Comparison of the growth rate distributions along the flow direction given by different methods in Case 1

從圖中還可以觀察到當(dāng)在流向位置x= 160之后，慢模態(tài)的增長率就已經(jīng)比快模態(tài)的增長率大了，此時(shí)慢模態(tài)在中性曲線的下支上游就已經(jīng)開始逐漸占據(jù)了主導(dǎo)地位。因此在流場的更下游主要體現(xiàn)還是慢模態(tài)的擾動(dòng)，此時(shí)LPSE給出的Mack模態(tài)中性曲線下支位置約為x= 210。同時(shí)還可以看到在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，向下游進(jìn)行LPSE計(jì)算時(shí)，所得到的中性點(diǎn)的位置存在較大差異。本算例中，在上游離散模態(tài)擾動(dòng)向下游演化的過程中，在流向位置x= 160之后的區(qū)域由于慢模態(tài)具有更大的增長率，快模態(tài)的幅值越來越小，慢模態(tài)的幅值越來越大，進(jìn)而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波。

相比于LPSE的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)用APSE方法來計(jì)算小擾動(dòng)的穩(wěn)定性特征時(shí)，從下游增長的Mack模態(tài)開始跟蹤擾動(dòng)到上游的歷史演化歷程，利用APSE可以跟蹤得到是上游的慢模態(tài)的演化從而主導(dǎo)了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)。此外，從圖中也不難看到在x= 160以前的區(qū)域，APSE的預(yù)測結(jié)果也存在對應(yīng)的“拍”結(jié)構(gòu)，因此該方法也可以很好的描述離散模態(tài)之間的切換過程。經(jīng)過比較，還可以發(fā)現(xiàn)，通過APSE的方法來計(jì)算所得到的增長率的結(jié)果與入口擾動(dòng)選取慢模態(tài)的PSE計(jì)算的演化結(jié)果基本一，所確定得到的中性曲線下支非常接近于LPSE入口選取慢模態(tài)的所得到的結(jié)果。這說明該方法是合適的。

2.4.2 Case 3

圖6和圖7分別給出了Case 3狀態(tài)下線性穩(wěn)定性理論得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度沿流向的變化規(guī)律。從圖中可以看出，在靠近前緣處，慢模態(tài)為增長的第一模態(tài)，快模態(tài)一直是衰減的。在向下游發(fā)展的過程中，慢模態(tài)的相速度增加，而快模態(tài)的相速度減小，在下游約x= 380位置處，快、慢模態(tài)的相速度的實(shí)部接近，這個(gè)位置被稱為同步點(diǎn)，同步點(diǎn)之后慢模態(tài)連接的是一個(gè)增長很快的第二模態(tài)，而快模態(tài)變?yōu)橐粋€(gè)很穩(wěn)定的模態(tài)。顯然，該算例對應(yīng)于上游慢模態(tài)增長或衰減較慢并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連的情況。

圖6 Case 3由LST給出的快、慢模態(tài)增長率沿流向分布Fig. 6 Growth rate distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 3

圖7 Case 3由LST給出的快、慢模態(tài)相速度沿流向分布Fig. 7 Phase velocity distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 3

下面分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）的方法來進(jìn)行計(jì)算和比較。其中，選取上游某一位置LST的解為初值，用LPSE的方法向下游進(jìn)行演化計(jì)算的入口擾動(dòng)參數(shù)如表5所示。

表5 Case 3的入口擾動(dòng)參數(shù)Table 5 Entrance disturbance parameters in Case 3

圖8給出了用不同方法給出的擾動(dòng)增長率的預(yù)測結(jié)果。LST給出的第二模態(tài)中性曲線下支約為x=380。當(dāng)上游入口擾動(dòng)給定為快模態(tài)進(jìn)行LPSE計(jì)算時(shí)，此時(shí)增長率沿流向存在著一個(gè)分布，這是由于在散射作用下，快模態(tài)向慢模態(tài)投影，在兩個(gè)模態(tài)的共同作用下，流場中的擾動(dòng)表現(xiàn)為兩模態(tài)疊加，從而形成的“拍”的效應(yīng)。由于上游慢模態(tài)增長率較大而快模態(tài)增長率較小，因此存在著擾動(dòng)由快模態(tài)向慢模態(tài)轉(zhuǎn)換的過程，但即便如此LPSE給出的中性曲線下支位置約為x= 400；而當(dāng)上游入口擾動(dòng)為慢模態(tài)時(shí)，增長率沿流向分布較為光滑，這是由于此時(shí)慢模態(tài)在上游占主導(dǎo)地位，雖然也存在著慢模態(tài)向快模態(tài)由于散射效應(yīng)的投影，但是流場主要體現(xiàn)還是慢模態(tài)的擾動(dòng)，此時(shí)LPSE給出的Mack中性曲線事實(shí)上與第一模態(tài)中性曲線相接，沒有真正的Mack模態(tài)中性曲線下支，而對應(yīng)于該頻率擾動(dòng)增長率最小值的流向位置在x= 305左右。顯然，在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，向下游進(jìn)行LPSE計(jì)算時(shí)，所得到的中性點(diǎn)的位置存在較大差異。

圖8 Case 3中不同方法給出的擾動(dòng)波增長率沿流向分布的比較Fig. 8 Comparison of the growth rates along the flow direction given by different methods in Case 3

在本算例中，隨著上游離散模態(tài)擾動(dòng)向下游演化，由于慢模態(tài)具有更大的增長率，快模態(tài)的幅值越來越小，慢模態(tài)的幅值越來越大，即慢模態(tài)起主導(dǎo)作用，進(jìn)而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波。相比之下，當(dāng)采用APSE方法來計(jì)算小擾動(dòng)的穩(wěn)定性特征時(shí)，從下游增長的Mack模態(tài)開始跟蹤擾動(dòng)到上游的歷史演化歷程中可以看到，是上游的慢模態(tài)的演化從而主導(dǎo)了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)，并且此時(shí)通過APSE的方法來計(jì)算所得到的增長率的結(jié)果與入口擾動(dòng)選取慢模態(tài)的LST解進(jìn)行LPSE計(jì)算的演化結(jié)果基本一致，所確定得到的中性曲線下支非常接近于入口選取慢模態(tài)進(jìn)行LPSE計(jì)算所得到的結(jié)果。這也就說明本文的方法是合理的。

2.4.3 Case 4

圖9和圖10分別給出了Case 4狀態(tài)下用線性穩(wěn)定性理論（LST）得到的快、慢模態(tài)的增長率和相速度沿流向的變化規(guī)律。從圖中可以看出，在中性曲線的上游，快模態(tài)的衰減率相對更小，是主導(dǎo)流場的離散模態(tài)。同步點(diǎn)大概對應(yīng)于x= 400的位置，同步點(diǎn)之后快模態(tài)連接的是第二模態(tài)，而慢模態(tài)變?yōu)橐粋€(gè)很穩(wěn)定的模態(tài)。顯然，該算例對應(yīng)于上游快模態(tài)增長或衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連的情況。

圖9 Case 4由LST給出的快、慢模態(tài)增長率沿流向分布Fig. 9 Growth rate distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 4

圖10 Case 4由LST給出的快、慢模態(tài)相速度沿流向分布Fig. 10 Phase velocity distribution along the flow direction given by LST for the fast and slow modes in Case 4

與前面的算例類似，依然分別用線性拋物化穩(wěn)定性方程（LPSE）以及伴隨（APSE）的方法來進(jìn)行計(jì)算。其中，選取上游某一位置的LST的解為初值，用LPSE的方法向下游進(jìn)行演化計(jì)算的入口擾動(dòng)參數(shù)如表6所示。

圖11給出了用不同方法計(jì)算得到的擾動(dòng)增長率的預(yù)測結(jié)果。LST給出的第二模態(tài)中性曲線下支約為x= 360。同時(shí)，由LPSE給出的結(jié)果表明，當(dāng)入口擾動(dòng)為快模態(tài)時(shí)，中性曲線下支對應(yīng)于x= 350的位置；而當(dāng)入口擾動(dòng)為慢模態(tài)時(shí)，中性曲線下支對應(yīng)的是x= 380。顯然，在上游某一位置分別選取慢模態(tài)和快模態(tài)的解為初值，向下游進(jìn)行LPSE計(jì)算時(shí)，所得到的中性點(diǎn)的位置存在較大差異。本算例中，隨著上游離散模態(tài)擾動(dòng)向下游演化，由于快模態(tài)具有更大的增長率，慢模態(tài)的幅值越來越小，快模態(tài)的幅值越來越大，即快模態(tài)起主導(dǎo)作用，進(jìn)而激發(fā)第二模態(tài)的不穩(wěn)定波。同樣的，當(dāng)給定上游非主導(dǎo)作用的慢模態(tài)時(shí)，LPSE給出的預(yù)測結(jié)果中依然可以觀察到慢模態(tài)向快模態(tài)的切換過程所產(chǎn)生的“拍”結(jié)構(gòu)。也正是因?yàn)榇嬖谥@樣的切換過程，因此當(dāng)入口給定慢模態(tài)時(shí)所給出的中性曲線下支位置更為靠后。

表6 Case 4的入口擾動(dòng)參數(shù)Table 6 Entrance disturbance parameters in Case 4

圖11 Case 4中不同方法給出的擾動(dòng)波增長率沿流向分布的比較Fig. 11 Comparison of the growth rate distributions along the flow direction given by different methods in Case 4

相比而言，當(dāng)采用APSE方法來計(jì)算小擾動(dòng)的穩(wěn)定性特征時(shí)，可以看到從下游增長的Mack模態(tài)開始跟蹤擾動(dòng)到上游的歷史演化歷程，利用APSE可以跟蹤得到是上游的快模態(tài)的演化從而主導(dǎo)了下游的不穩(wěn)定波模態(tài)，并且此時(shí)通過APSE的方法來計(jì)算所得到的增長率的結(jié)果與入口擾動(dòng)選取快模態(tài)的LST解進(jìn)行的PSE計(jì)算的演化結(jié)果基本一致，所確定得到的中性曲線下支非常接近于LPSE入口選取快模態(tài)的所得到的結(jié)果。這也就說明本文的方法可以客觀的給出第二模態(tài)中性曲線下支點(diǎn)的位置。

2.5 對方法和結(jié)果的討論

以上給出了三種基于APSE計(jì)算中性曲線下支的結(jié)果，并且與LPSE的分析進(jìn)行了對比。從對比結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)不管對于哪種情況，APSE都可以取得與LPSE一致的結(jié)果。這說明，本文這種方法是可以用來預(yù)測考慮感受性的中性曲線下支界的。相比LPSE方法而言，APSE只需要直接從Mack模態(tài)增長區(qū)開始向上游計(jì)算，在此過程中需要使用約定范數(shù)來使得伴隨形函數(shù)保證沿流向緩變。在此基礎(chǔ)之上，再利用LPSE計(jì)算時(shí)，只需要直接使用APSE給出的α即可，不再需要迭代過程。這樣比起LPSE方法來看，效率更高，而且有效解決了LPSE解決該方法需要分別計(jì)算快、慢模態(tài)演化的問題。

觀察以上三種情況的對比結(jié)果，我們不難發(fā)現(xiàn)，APSE給出的結(jié)果實(shí)際上始終對應(yīng)于LPSE最終可以更易增長演化到的那一支。這是由于，不管是APSE還是LPSE方法，實(shí)際上給出的都是擾動(dòng)的整體演化過程。在邊界層非平行性的前提下，依靠散射效應(yīng)，實(shí)際上流場中兩種離散模態(tài)是共存的。而LPSE或者APSE則給出了這兩種模態(tài)疊加之后的演化結(jié)果。在這樣的前提下，其演化結(jié)果實(shí)際上反映了流場中整體的對各種擾動(dòng)的促進(jìn)或者抑制能力。因此，當(dāng)使用APSE來從Mack第二模態(tài)開始從下游向上游推進(jìn)計(jì)算時(shí)，它給出的結(jié)果實(shí)際上是捕捉了更容易激發(fā)或者演化到Mack模態(tài)的離散譜。這也就是為什么基于APSE的方法可以準(zhǔn)確地描述出考慮感受性的中性曲線下支界。

3 結(jié) 論

高超聲速邊界層中性曲線下支的確定對于感受性分析以及eN轉(zhuǎn)捩預(yù)測具有一定的意義和價(jià)值。本文首先用LPSE和LNS方法分別對邊界層內(nèi)快、慢模態(tài)激發(fā)第二模態(tài)不穩(wěn)定波的過程進(jìn)行了研究。從計(jì)算結(jié)果上來看，這兩種方法給出的Mack第二模態(tài)中性曲線下支位置一致，但是使用LPSE計(jì)算的效率相對更高。除此以外，我們還發(fā)現(xiàn)在使用LPSE確定中性曲線下支時(shí)，存在著衰減區(qū)離散模態(tài)求解困難以及需要計(jì)算兩個(gè)離散模態(tài)的演化過程才能給出中性曲線下支點(diǎn)的問題。

基于以上LPSE求解時(shí)存在的問題，本文提出了一種基于伴隨拋物化穩(wěn)定性方程（APSE）的方法來確定中性曲線下支。該方法可以考慮流場的非平行性的影響，同時(shí)由于伴隨方程可以引入下游的不穩(wěn)定的Mack模態(tài)擾動(dòng)為入口來進(jìn)行計(jì)算，因此可以有效的改善基于LPSE方法求解時(shí)的不足。由于Mack第二模態(tài)的激發(fā)實(shí)際上源于快模態(tài)和慢模態(tài)的同步作用，從LST對快、慢模態(tài)演化并同步的過程的刻畫多見于以下三種情況：上游快模態(tài)增長或衰減較慢但下游慢模態(tài)與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游慢模態(tài)增長或衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連；上游快模態(tài)增長或者衰減較慢，并且在下游與不穩(wěn)定的Mack模態(tài)相連。因此本文選取了這三種典型的Mack第二模態(tài)生成的過程進(jìn)行了中性曲線下支的計(jì)算。從計(jì)算結(jié)果上來看，該方法給出的中性曲線下支與正確選取上游離散模態(tài)時(shí)，LPSE方法給出的結(jié)果較為吻合。該方法可以進(jìn)行有效的推廣，與eN方法結(jié)合用于高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測問題和穩(wěn)定性分析問題的研究。