趙海濱，田亞男

（1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819；2.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819）

滑?？刂破骶哂许憫?yīng)速度快、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏和物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于非線性系統(tǒng)控制[1]。傳統(tǒng)的滑?？刂破鳎€(wěn)態(tài)誤差不能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，從而提出了終端滑模控制的概念。終端滑模控制器能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，而且對(duì)建模不確定和外部干擾信號(hào)具有魯棒性?？焖俳K端滑?？刂破鞯氖諗克俣确浅？欤窃诮咏胶鉅顟B(tài)時(shí)存在奇異問題[2]。本文將快速終端滑模控制器和線性滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，設(shè)計(jì)了組合滑?？刂破?，并采用組合滑模控制器進(jìn)行二階Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制。

本文以二階Duffing 混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用組合滑?？刂破鬟M(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量快速收斂到零。采用Simulink 軟件建立仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。組合滑?？刂破髂軌蜻M(jìn)行不同初始狀態(tài)Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制，能夠避免奇異問題，具有非?？斓氖諗克俣?。

1 二階非線性系統(tǒng)

二階Duffing 混沌系統(tǒng)常用于微弱信號(hào)的檢測(cè)[3]，是典型的二階非線性系統(tǒng)。對(duì)于Duffing 混沌系統(tǒng)的控制，已經(jīng)提出很多方法[4-5]。Duffing 混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為

其中，x1和x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，t 為時(shí)間，a、b、d 和ω 為常數(shù)。當(dāng)a=0.4，b=-1.1，d=1.5，ω=1.7 時(shí)，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

根據(jù)Duffing 混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，采用Simulink 軟件進(jìn)行仿真，采用變步長(zhǎng)的ode45 算法，最大步長(zhǎng)為0.001 秒。Duffing 混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為x1（0）=0.2，x2（0）=0.3，系統(tǒng)的仿真時(shí)間設(shè)定為300 秒。

Duffing 混沌系統(tǒng)仿真后，狀態(tài)變量x1和x2的二維相圖，如圖1 所示，狀態(tài)變量x1和x2的響應(yīng)曲線，如圖2 所示，只顯示前100 秒。由圖1 和圖2，可以觀察到Duffing系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖1 狀態(tài)變量x1和x2的二維相圖

圖2 狀態(tài)變量x1和x2的響應(yīng)曲線

2 組合滑?？刂破?/h2>

通過快速終端滑?？刂破骱途€性滑?？刂破髟O(shè)計(jì)組合滑?？刂破?，采用組合滑?？刂破鬟M(jìn)行二階Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制。在快速終端滑模控制器中，設(shè)計(jì)的快速終端滑模面為

其中，c1，c2和r 為常數(shù)，且c1>0，c2>0，0

在快速終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中，采用的指數(shù)趨近律為

其中，k1和k2為常數(shù)，且k1>0，k2>0。

采用快速終端滑模面和指數(shù)趨近律，設(shè)計(jì)的快速終端滑模控制器為

在線性滑?？刂破髦校捎玫木€性滑模面為

其中，c3為常數(shù)，且c3>0。

在線性滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中，采用的指數(shù)趨近律為

采用線性滑模面和指數(shù)趨近律，設(shè)計(jì)的線性滑?？刂破鳛?/p>

雖然快速終端滑?？刂破鞯氖諗克俣缺容^快，但是由于r-1<0，在x1=0 和x2≠0 時(shí)快速終端滑?？刂破鞔嬖谄娈悊栴}。首先采用快速終端滑?？刂破鬟M(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制，當(dāng)|x1|燮δ 時(shí)，切換為線性滑?？刂破??？焖俳K端滑模控制器和線性滑?？刂破鞯那袚Q規(guī)則為

其中，u 為組合滑?？刂破?，δ 為常數(shù)，且δ>0。

組合滑?？刂破鞯那袚Q函數(shù)表示為

根據(jù)組合滑模控制器的切換規(guī)則，當(dāng)采用快速終端滑?？刂破鲿r(shí)，m=1，當(dāng)采用線性滑?？刂破鲿r(shí)，m=2。

在快速終端滑?？刂破骱途€性滑?？刂破髦?，都存在符號(hào)函數(shù)，會(huì)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。本文采用雙曲正切函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，用于削弱抖振。雙曲正切函數(shù)的表達(dá)式為

其中，μ 為常數(shù)，且μ>0。本文設(shè)定為μ=0.001。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

Simulink 軟件非常適合進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真[6]。采用Simulink 軟件進(jìn)行組合滑?？刂品抡鎸?shí)驗(yàn)，建立的仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如圖3 所示。在Simulink 軟件中采用變步長(zhǎng)的ode45 算法進(jìn)行常微分方程的數(shù)值求解[7-8]。Duffing混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1（0）=1.5，x2（0）=0.6。在快速終端滑模面中，參數(shù)設(shè)定為c1=2，c2=2.5，r=0.6。在指數(shù)趨近律中，參數(shù)設(shè)定為k1=4，k2=0.6。在切換規(guī)則中，參數(shù)設(shè)定為δ=0.05。

采用組合滑模控制器進(jìn)行Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制，仿真時(shí)間設(shè)置為4 秒，狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，如圖4 所示，組合滑?？刂破鞯捻憫?yīng)曲線，如圖5 所示。切換函數(shù)的響應(yīng)曲線，如圖6 所示。圖6 中在0.91 秒時(shí)，將快速終端滑模控制器切換為線性滑?？刂破鳌?/p>

數(shù)值仿真結(jié)果表明，組合滑?？刂破髂軌蜻M(jìn)行不同初始狀態(tài)二階Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量快速收斂到零。

圖3 組合滑?？刂品抡鎸?shí)驗(yàn)系統(tǒng)

4 結(jié)論

本文將快速終端滑?？刂破骱途€性滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，設(shè)計(jì)了組合滑模控制器，通過切換規(guī)則進(jìn)行快速終端滑模控制器和線性滑?？刂破鞯那袚Q。采用組合滑?？刂破鬟M(jìn)行二階Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制。通過Simulink 軟件建立仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，并進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明，組合滑?？刂破髂軌蜻M(jìn)行不同初始狀態(tài)Duffing 混沌系統(tǒng)的平衡控制，狀態(tài)變量快速收斂到零。

圖4 Duffing 混沌狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線

圖5 組合滑?？刂破鞯捻憫?yīng)曲線

圖6 切換函數(shù)的響應(yīng)曲線