李明明， 王東強(qiáng)， 陳坤旭， 董學(xué)武， 于賀春， 姜海芹

(中原工學(xué)院機(jī)電學(xué)院， 鄭州 451191)

鼠籠彈性支承在各類航空發(fā)動(dòng)機(jī)中使用較廣泛，其用途為調(diào)節(jié)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速?gòu)亩鴮?shí)現(xiàn)減振[1]。鼠籠剛度對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的性能影響較大，若其剛度達(dá)不到設(shè)計(jì)要求則可能引起發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生過大的振動(dòng)，從而對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)造成嚴(yán)重的破壞[2]。鼠籠彈性支承在工作過程中也常會(huì)因?yàn)檫^大的集中應(yīng)力而出現(xiàn)疲勞裂紋甚至鼠條斷裂，從而引發(fā)重大事故[3-4]。為了提高發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及其動(dòng)力學(xué)特性研究的可靠性，對(duì)鼠籠結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化從而得到鼠籠剛度準(zhǔn)確值以及最大程度降低鼠籠的最大應(yīng)力是非常有必要的。

目前，中外較多學(xué)者對(duì)帶有彈性阻尼支承結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究[5-13]。對(duì)于鼠籠彈性支承剛度的研究，多是剛度值的理論計(jì)算以及試驗(yàn)測(cè)試。如徐方程等[14]通過試驗(yàn)和有限元軟件對(duì)6個(gè)不同結(jié)構(gòu)鼠籠彈性支承的靜剛度分別進(jìn)行了測(cè)試和計(jì)算，分析了其靜剛度的影響因素。張萍等[15]提出了一種通過求解鼠籠式彈性支承的第一階固有頻率，從而計(jì)算鼠籠式彈性支承剛度的新方法；付才高等[16]發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)鼠籠彈性支承受到了重力和不平衡力作用，并推導(dǎo)了傳統(tǒng)的鼠籠彈性支承剛度的計(jì)算公式；徐寧[17]采用參數(shù)公式和有限元兩種方法對(duì)鼠籠剛度進(jìn)行了理論分析，并通過試驗(yàn)得到了剛度隨鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，對(duì)鼠籠式彈性支承的剛度計(jì)算公式進(jìn)行了修正；彭京徽等[18]通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試了鼠籠彈性支承的剛度，基于有限元法計(jì)算了鼠籠彈性支承的剛度，分析了其影響因素，并考慮了鼠條截面為梯形而非矩形，重新推導(dǎo)了鼠籠彈性支承剛度的計(jì)算公式。關(guān)于鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究較少。文獻(xiàn)[3]建立了鼠籠彈性支承剛度優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，基于MATLAB的遺傳算法軟件包進(jìn)行了優(yōu)化，此方法可大幅度縮短設(shè)計(jì)時(shí)間，但其精確度完全取決于計(jì)算公式的精確性，由于計(jì)算公式未考慮鼠條根部圓角等因素，故計(jì)算精度較低；文獻(xiàn)[19]基于參數(shù)化建模思想, 提出了分步優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，運(yùn)用了有限元優(yōu)化技術(shù)，避開了計(jì)算公式帶來的誤差，但鼠籠剛度的設(shè)計(jì)精度仍需進(jìn)一步提高，設(shè)計(jì)過程中需多次迭代，設(shè)計(jì)時(shí)間也仍需進(jìn)一步縮短。

鑒于此，現(xiàn)提出一種具有高精度和高效率的鼠籠結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。首先，建立帶有非線性約束的鼠籠結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，基于該模型運(yùn)用有效集算法對(duì)鼠籠結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化；然后，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果建立鼠籠參數(shù)化有限元模型，通過關(guān)聯(lián)性分析，挑選出對(duì)鼠籠剛度較敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)，考慮到遺傳算法不易陷入局部最優(yōu)的特點(diǎn)，采用遺傳算法對(duì)結(jié)構(gòu)做進(jìn)一步優(yōu)化。

1 鼠籠彈性支承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

鼠籠彈性支承用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，其安裝時(shí)一端固定于機(jī)匣軸承座上，一端懸臂，其內(nèi)部放置用于支承轉(zhuǎn)子的軸承，懸臂端機(jī)匣內(nèi)常安裝鋼環(huán)，通過鋼環(huán)與懸臂端的間隙可達(dá)到降振效果[16]。鼠籠式彈性支承的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，套筒上呈偶數(shù)分布若干鼠條，通過調(diào)節(jié)鼠條的長(zhǎng)度、寬度、厚度以及數(shù)量可以實(shí)現(xiàn)鼠籠彈性支承剛度的調(diào)整，由于加工過程需保證兩個(gè)加工平面平行，故鼠條的截面為梯形。

b為籠條寬度；h為籠條厚度；L為籠條長(zhǎng)度

文獻(xiàn)[3]給出了考慮各籠條截面主彎曲方向與籠條受力方向不平行特點(diǎn)的柔度、疲勞應(yīng)力參數(shù)化計(jì)算公式，雖然該公式未考慮鼠籠的梯形截面等因素，但考慮到公式的簡(jiǎn)便性，較易建立鼠籠優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，故采用該公式進(jìn)行初始優(yōu)化，另外考慮到加工裝配的便利性，所有的鼠條寬度之和應(yīng)不大于其周長(zhǎng)的一半[19]，公式為

(1)

(2)

(3)

式中：k為鼠籠剛度；σ為鼠籠應(yīng)力；N為籠條數(shù)量；E為鼠籠彈性模量；u為加載時(shí)鼠籠變形量；D為軸承外徑。鼠籠優(yōu)化問題為鼠籠彈性支承在滿足剛度要求以及加工要求的條件下，其疲勞應(yīng)力值最小。因此，鼠籠的優(yōu)化目標(biāo)為疲勞應(yīng)力最小，約束條件為剛度要求以及加工要求，建立帶非線性約束的鼠籠彈性支承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(4)

x2x4≤πD/2

(5)

s.t.Li≤xi≤Hi,i=1,2,3,4

(6)

(7)

式中：x1為籠條厚度；x2為籠條寬度；x3為籠條長(zhǎng)度；x4為籠條數(shù)目；δ為支承剛度的倒數(shù)；Li、Hi分別為設(shè)計(jì)變量xi的下限和上限。

2 鼠籠彈性支承優(yōu)化策略

雖然利用有限元優(yōu)化方法進(jìn)行鼠籠優(yōu)化能提升設(shè)計(jì)精度，但直接利用該方法優(yōu)化較費(fèi)時(shí)，為了縮短設(shè)計(jì)周期，首先基于建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行初始優(yōu)化，考慮到數(shù)學(xué)模型中的非線性約束，選擇優(yōu)化效率較高的有效集算法為優(yōu)化算法，然后再利用workbench優(yōu)化模塊中的遺傳算法完成鼠籠的進(jìn)一步優(yōu)化。鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程如圖2所示，具體優(yōu)化步驟可概括如下。

圖2 鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖Fig.2 Optimization flow chart of squirrel cage elastic support structure

(1)根據(jù)鼠籠的材料，確定彈性模量E、密度ρ和泊松比μ；再根據(jù)鼠籠具體結(jié)構(gòu)以及安裝工況，確定軸承外徑D和懸臂端允許的最大變形量umax；最后根據(jù)工程需要，確定各設(shè)計(jì)變量的取值范圍、剛度設(shè)計(jì)目標(biāo)值kdesign。

(2)將確定的參數(shù)值代入數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用基于MATLAB的有效集算法工具箱，編寫鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化程序，確定滿足約束的最優(yōu)值。

(3)考慮到加工的便捷性，調(diào)整優(yōu)化結(jié)果數(shù)值，根據(jù)調(diào)整值運(yùn)用SolidWorks建立鼠籠三維模型，將鼠條的長(zhǎng)度、寬度、厚度和數(shù)量進(jìn)行參數(shù)化。

(4)采用SolidWorks與workbench的聯(lián)合仿真方法求解鼠籠彈性支承剛度以及疲勞應(yīng)力，設(shè)定設(shè)計(jì)變量以及優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用spearman方法進(jìn)行設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)聯(lián)性分析，挑選出比較敏感的設(shè)計(jì)變量。

(5)結(jié)合關(guān)聯(lián)性分析結(jié)果，設(shè)定設(shè)計(jì)變量取值范圍，給定優(yōu)化目標(biāo)約束，運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化，輸出最優(yōu)結(jié)果。

(6)為便于加工，對(duì)最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行調(diào)整，將調(diào)整值作為新設(shè)計(jì)變量進(jìn)行輸入，求解出鼠籠剛度以及疲勞應(yīng)力，并與設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，若滿足精度要求，則輸出設(shè)計(jì)變量終止優(yōu)化，若不滿足，則基于此優(yōu)化結(jié)果，重新設(shè)定設(shè)計(jì)變量取值范圍，繼續(xù)優(yōu)化直到得出滿意結(jié)果。

3 算例

為了與已有的鼠籠結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對(duì)比，選取與文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[19]相同的鼠籠彈性支承材料、設(shè)計(jì)變量取值范圍、設(shè)計(jì)值。鼠籠彈性支承的材料為40Cr，其彈性模量為210 000 N/mm2，泊松比為μ=0.3，密度為7 900 kg/m3。設(shè)計(jì)變量取值范圍為鼠條長(zhǎng)度L∈[20,45] mm，鼠條數(shù)量N∈[24,60]，鼠條厚度h∈[3,6] mm，鼠條寬度b∈[3,6] mm。鼠籠剛度設(shè)計(jì)值kdesign=16 670N/mm以及允許的最大應(yīng)力值σmax≤[σ]=200 MPa。根據(jù)鼠籠具體結(jié)構(gòu)以及安裝工況，確定軸承外徑D為100 mm，懸臂端允許的最大變形量umax=0.12 mm。

將上述參數(shù)代入數(shù)學(xué)模型中，運(yùn)用MATLAB工具箱中的非線性優(yōu)化函數(shù)fmincon，選擇有效集算法，根據(jù)數(shù)學(xué)模型編寫優(yōu)化程序，計(jì)算得到鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)最終優(yōu)化結(jié)果為h=3.857 1 mm，b=3 mm，L=45 mm，N=52.359 9，考慮到加工的便捷性，選取結(jié)構(gòu)參數(shù)h=4 mm，b=3 mm，L=45 mm，N=52，得到的剛度和應(yīng)力分別為k=17 975 N/mm，σ=186.666 7 MPa，優(yōu)化函數(shù)迭代情況如圖3所示，函數(shù)僅經(jīng)過三次迭代就達(dá)到了比較穩(wěn)定的數(shù)值，優(yōu)化效率較高。

圖3 各代優(yōu)化函數(shù)值Fig.3 Optimization function values of generations

基于優(yōu)化參數(shù)建立鼠籠彈性支承的有限元模型，對(duì)鼠條的長(zhǎng)度、寬度、厚度和數(shù)量進(jìn)行參數(shù)化，將參數(shù)化有限元模型導(dǎo)入workbench中進(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析。綜合考慮計(jì)算的效率和精度，模型網(wǎng)格劃分如圖4所示，為了使得鼠籠達(dá)到設(shè)計(jì)剛度的同時(shí)變形量也達(dá)到最大，總加載力的大小設(shè)置為F=ukdesign=2 000.4 N?？紤]到鼠籠承受載荷時(shí)，可以近似認(rèn)為軸承外圈下表面與鼠籠內(nèi)表面的接觸面均勻受力，因此在與軸承接觸的鼠籠下表面上每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加大小和方向相同的力[20]。根據(jù)鼠籠的安裝條件，完全約束鼠籠安裝端螺釘孔的自由度，有限元模型的約束和加載方式如圖5所示。計(jì)算得到鼠籠加載變形量以及應(yīng)力如圖6和圖7所示。

圖4 鼠籠有限元網(wǎng)格劃分Fig.4 Squirrel cage finite element mesh division

圖5 有限元模型約束和加載方式Fig.5 Constraint and loading mode of finite element model

圖6 鼠籠加載變形圖Fig.6 Squirrel cage loading deformation diagram

圖7 鼠籠加載應(yīng)力云圖Fig.7 Stress nephogram of squirrel cage loading

根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果，得到鼠籠的剛度k=F/u=11 231 N/mm，應(yīng)力值為189.23 MPa，其剛度值與設(shè)計(jì)值相差較大，因此需要運(yùn)用有限元優(yōu)化方法完成進(jìn)一步優(yōu)化。由于有限元方法不能直接計(jì)算出鼠籠剛度值，因此將優(yōu)化過程中的剛度約束條件轉(zhuǎn)化為對(duì)鼠籠最大變形量的限制[19]。為了提高優(yōu)化效率，首先采用Spearman法進(jìn)行設(shè)計(jì)參數(shù)關(guān)聯(lián)性分析，從而確定對(duì)鼠籠彈性支承最大變形量敏感性較高的設(shè)計(jì)參數(shù)，分析得到參數(shù)關(guān)聯(lián)性云圖如圖8所示。

圖8 參數(shù)關(guān)聯(lián)性云圖Fig.8 Parameter correlation nephogram

根據(jù)圖8可知，嚴(yán)重影響鼠籠的最大變形量的設(shè)計(jì)參數(shù)為鼠條的厚度h和長(zhǎng)度L，厚度對(duì)最大變形量的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)為-0.6，長(zhǎng)度對(duì)最大變形量的線性關(guān)聯(lián)系數(shù)為0.6，均高于其他參數(shù)，因此選擇鼠條的厚度和長(zhǎng)度作為優(yōu)化變量。根據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)的符號(hào)可知，為降低鼠籠最大變形量，應(yīng)增大鼠條厚度和減小鼠條長(zhǎng)度，確定設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍為h∈[4,5] mm，L∈[38,43] mm。以鼠籠的最大變形量和最大應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，為縮短計(jì)算時(shí)間，設(shè)置樣本數(shù)為10，運(yùn)用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)尋優(yōu)，得到優(yōu)化可行點(diǎn)如圖9所示，其數(shù)值如表1所示。

表1 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

圖9 遺傳算法優(yōu)化可行點(diǎn)Fig.9 Feasible point of genetic algorithm optimization

為方便加工，對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行調(diào)整，將調(diào)整值作為輸入?yún)?shù)重新進(jìn)行有限元計(jì)算，通過計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，最終確定設(shè)計(jì)變量的值為h=4.5 mm，L=41 mm，計(jì)算得到鼠籠的最大變形量和最大應(yīng)力如圖10和圖11所示。

圖11 優(yōu)化后鼠籠應(yīng)力云圖Fig.11 Stress nephogram of squirrel cage after optimization

圖10 優(yōu)化后鼠籠變形圖Fig.10 Squirrel cage deformation diagram after optimization

本文優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中遺傳算法和文獻(xiàn)[19]中分步優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比如表2所示。由表2可知，運(yùn)用本文優(yōu)化方法得到的鼠籠剛度精度較高，最大應(yīng)力值較小，由于初始優(yōu)化較大程度縮小了有限元優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化范圍，因此其迭代次數(shù)較少，故優(yōu)化效率也較高。

表2 3種優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

提出了一種鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。首先，運(yùn)用有效集算法對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)尋優(yōu)，然后基于優(yōu)化結(jié)果，采用有限元優(yōu)化方法對(duì)鼠籠結(jié)構(gòu)繼續(xù)優(yōu)化，此方法聯(lián)合了計(jì)算公式優(yōu)化方法和有限元優(yōu)化方法。通過算例對(duì)鼠籠彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的過程中，可以得到以下結(jié)論。

(1)基于建立的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用有效集算法對(duì)鼠籠結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，可以在滿足非線性等式以及不等式的約束的同時(shí)以較快的速度獲得最優(yōu)結(jié)果，但計(jì)算精度較差，運(yùn)用該方法進(jìn)行初始優(yōu)化可較大程度縮小設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化范圍。

(2)基于有效集算法的優(yōu)化結(jié)果，建立參數(shù)化有限元模型，采用參數(shù)關(guān)聯(lián)性分析獲得關(guān)鍵性參數(shù)，運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行鼠籠結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。在計(jì)算公式優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行有限元優(yōu)化，可明顯減少優(yōu)化迭代次數(shù)以及提高優(yōu)化精度。

(3)提出的優(yōu)化方法將計(jì)算公式優(yōu)化的高效率與有限元優(yōu)化的高精度進(jìn)行了結(jié)合，具有較大的實(shí)用價(jià)值，對(duì)鼠籠彈性支承的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的篩選具有指導(dǎo)意義，對(duì)其他結(jié)構(gòu)的優(yōu)化具有一定的參考意義。