羅世瑤

[摘? 要] “喝咖啡問題”是五年級下冊“分?jǐn)?shù)的加法和減法”的改編例題，在“基于現(xiàn)實(shí)情境下的問題解決”研究背景下，筆者對本課例從“閱讀理解，問題表征”“制定計(jì)劃，畫圖分析”“變式練習(xí)，抓住本質(zhì)”三個(gè)大環(huán)節(jié)中展開教學(xué)實(shí)踐，以圖引導(dǎo)學(xué)生形成解決現(xiàn)實(shí)問題的一般步驟，掌握解題策略，促進(jìn)其“問題解決能力”。

[關(guān)鍵詞] 喝咖啡問題;基于現(xiàn)實(shí)情境;問題解決

■一、設(shè)計(jì)理念

“喝咖啡問題”是五年級下冊第六單元“分?jǐn)?shù)的加法和減法”的最后一個(gè)例題，是學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)加減法之后學(xué)習(xí)的，并為六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義與算理做鋪墊。但是由于原題目“喝牛奶問題”有點(diǎn)不太符合現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際，而且原題中的混合奶與原來的純牛奶相比沒什么太大區(qū)別，對學(xué)生的理解可能產(chǎn)生較大的干擾，為了讓學(xué)生更容易理解，筆者進(jìn)行了例題的情境改編。同時(shí)基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情特點(diǎn)，筆者認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)并不是讓學(xué)生掌握這類問題的具體解題方法（因?yàn)樵诹昙墪r(shí)會具體學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的相關(guān)知識），而是讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，體會解題策略，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，故筆者確立了如下的學(xué)科教學(xué)目標(biāo)：（1）借助畫圖，理解形如“求■的■是■”的問題，體會畫圖策略在理解、分析、解決問題中的作用。（2）經(jīng)歷解決問題的全過程，通過將新情境轉(zhuǎn)化成會做的情境，感悟“變中找不變”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

本課例是在“基于現(xiàn)實(shí)情境下的問題解決”的研究背景下進(jìn)行的，希望運(yùn)用波利亞《怎樣解題》理論，通過實(shí)踐研究，指導(dǎo)學(xué)生形成解決現(xiàn)實(shí)問題的一般步驟，掌握解題策略，提高解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

在教學(xué)中，具體表現(xiàn)為：在學(xué)習(xí)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解現(xiàn)實(shí)情境下的問題，基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)或操作畫圖對問題進(jìn)行表征;以表征和分析問題為線索，引導(dǎo)學(xué)生制定解題計(jì)劃，分析出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式;以分析問題和解決問題策略的學(xué)習(xí)為線索，鼓勵學(xué)生選擇合適的策略進(jìn)行解答;對問題的解答進(jìn)行檢驗(yàn)，鼓勵學(xué)生逐步形成評價(jià)與反思的意識。這些并非孤立地存在，而是在問題解決的過程中各有側(cè)重、時(shí)有交織。基于上述考慮，筆者展開了教學(xué)實(shí)踐?！龆?、教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 有序閱讀理解，對問題情境進(jìn)行表征

“喝咖啡問題”是基于現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)問題，與生活聯(lián)系比較緊密，學(xué)生在剛接觸這個(gè)問題的時(shí)候，可能會比較難以理解，故首先引導(dǎo)學(xué)生對問題情境進(jìn)行表征很有必要，會直接影響到后面是否能將生活問題順利轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。

（1）閱讀題目，有序整理。

出示情境：一杯純咖啡，樂樂喝了半杯后，覺得有些苦，就兌滿了牛奶。他又喝了半杯。樂樂一共喝了多少杯純咖啡？多少杯牛奶？

師：這道題目講了一件什么事情？能用數(shù)學(xué)語言有序地概括一下嗎？

生：第一次喝了■杯純咖啡，第二次兌滿了牛奶，又喝了■杯。

（2）畫圖分析，表征題意。

談話：我們可以運(yùn)用學(xué)過的方法來分析、理解題意，如綜合法、分析法，還有特殊方法——畫圖法。你能用畫圖的方法清晰表示出兩次喝咖啡的過程嗎？

學(xué)生匯報(bào)后展示：

=

設(shè)計(jì)意圖：在出示“喝咖啡問題”后，沒有立刻讓學(xué)生嘗試畫圖表征，而是先引導(dǎo)學(xué)生有序地梳理題目中的信息與所求問題，初步理解題目的意思，并對其進(jìn)行了初步整理。接著再通過畫圖表征兩次喝牛奶的過程，使得題目更具可視化。

2. 制定解題計(jì)劃，選擇合適的策略解答

解決問題的難點(diǎn)與關(guān)鍵是“第二次喝了多少杯純咖啡”，需要引導(dǎo)學(xué)生排除干擾信息，透過表面抓住“加牛奶前后純咖啡的量不變”這一本質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為“求■的■是多少杯”來解決。由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法，無法用分?jǐn)?shù)乘除法的知識來解決，教學(xué)中要突出借助圖示解決問題的策略，通過畫圖幫助學(xué)生直觀理解，并結(jié)合問題制定解決的策略——在新情境下，讓學(xué)生轉(zhuǎn)化成學(xué)過或會做的情境來解決，從而找到解決問題的方法。

（1）找準(zhǔn)關(guān)鍵，制定計(jì)劃。

提問：我們先解決一共喝了幾杯純咖啡，數(shù)量關(guān)系式是什么？

板書：第一次喝了幾杯純咖啡+第二次喝了幾杯純咖啡=一共喝了幾杯純咖啡。

設(shè)疑：根據(jù)解題的數(shù)量關(guān)系式，目前能直接計(jì)算出一共喝了幾杯純咖啡嗎？為什么？

追問：看來第二次喝了幾杯純咖啡是解題的關(guān)鍵，那么我們可以確定解題計(jì)劃：先求……再求……

小結(jié)：在解決問題的時(shí)候，可以先確定解題計(jì)劃。本題的解題計(jì)劃是先求出第二次喝了幾杯純咖啡，再加上第一次喝的。

（2）學(xué)會轉(zhuǎn)化，善用圖示。

方法一：畫圖解決問題之一。

①轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。

提問：第二次喝了的■杯加奶咖啡里包含了什么？所以要求“第二次喝了多少杯純咖啡”，我們可以將其轉(zhuǎn)化為求什么呢？

小結(jié)：要解決關(guān)鍵問題“第二次喝了多少杯純咖啡”，可以將其轉(zhuǎn)化為解決數(shù)學(xué)問題“■杯加奶咖啡的■是多少”。

②畫圖解決“■杯加奶咖啡的■是多少”。

學(xué)生獨(dú)自畫圖，匯報(bào)后提問：為什么第二次喝的純咖啡是■杯？怎么從圖中看出來的？

結(jié)合學(xué)生回答，課件出示圖形：

小結(jié)：■杯加奶咖啡的■是■杯。

方法二：畫圖解決問題之二。

①轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。

展示學(xué)生的另一種畫圖方法：

提問：還有同學(xué)是這樣表示兌滿牛奶后的咖啡的。里面究竟有多少杯純咖啡，多少杯牛奶呢？

小結(jié)：混合前后，咖啡和牛奶的量都不會改變。用數(shù)學(xué)的方式，把咖啡和牛奶分離，讓我們更清晰直觀地看到現(xiàn)在有多少杯咖啡，有多少杯牛奶。

轉(zhuǎn)化：根據(jù)圖示思考，現(xiàn)在剩下了■杯純咖啡，第二次又喝了■杯，則要求“第二次喝了多少杯純咖啡”，也可以轉(zhuǎn)化為求什么？

小結(jié)：要解決關(guān)鍵問題“第二次喝了多少杯純咖啡”，也可以轉(zhuǎn)化為解決數(shù)學(xué)問題“剩下■杯純咖啡的■是多少”。

②畫圖解決“剩下■杯純咖啡的■是多少”。

出示學(xué)生兩種不同的畫法，對比：比較兩位同學(xué)的作品，有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

辨析：雖然畫法不同——一個(gè)是橫著分，一個(gè)是豎著分，但所表達(dá)的意思是相同的。

小結(jié)：剩下■杯純咖啡的■是■杯。

（3）對比深化，總結(jié)方法。

對比：兩種解題方法，有什么共同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

小結(jié)：無論是畫混合狀態(tài)，還是用數(shù)學(xué)的方式將其分離，其共同點(diǎn)都是求“■的■是多少”，并通過畫圖的方法得到“■的■是■”。

回顧難點(diǎn)，小結(jié)方法：解決問題時(shí)，通過畫示意圖分析題意，將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并把咖啡和牛奶分離開來，再根據(jù)題意進(jìn)行劃分，能幫助我們把“混合”這樣的生活問題變得直觀容易一些。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生面對信息多樣、步驟繁多的問題，缺乏系統(tǒng)性解決問題的方法。盡管這些題目蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系并不復(fù)雜，但由于情境復(fù)雜、步驟繁多，學(xué)生需要分層次、依次解答，所以上述教學(xué)首先引導(dǎo)學(xué)生梳理出解決問題的主要步驟。其次對于學(xué)生來說，解決“喝咖啡問題”的關(guān)鍵在于將這個(gè)生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。在試教時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生其實(shí)有兩種做法，一種是將生活問題轉(zhuǎn)化為“求■杯加奶咖啡的■是多少”，另一種是將其轉(zhuǎn)化為“求■杯純咖啡的■是多少”，所以筆者在上述教學(xué)片段中將兩種方法都呈現(xiàn)了出來，不限制學(xué)生的思考方向，但在“對比深化”中幫助學(xué)生提煉其數(shù)量關(guān)系，其實(shí)最終都是轉(zhuǎn)化為“求■的■是多少”，逐步深入，抓住本質(zhì)。又因?yàn)榈诙魏鹊氖莾读伺Ｄ痰目Х?，生活中是牛奶和咖啡的混合物，對學(xué)生理解題意和分析問題產(chǎn)生了很大的干擾，可能會影響他們正確地解答，所以在上述片段中重視引導(dǎo)學(xué)生通過借助圖示解決關(guān)鍵問題，強(qiáng)化“加牛奶前后純咖啡的量不變”及“先分離再劃分”的畫圖策略。

3. 新知鞏固提升，透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)

雖然例題教學(xué)時(shí)已經(jīng)運(yùn)用各種直觀表征的手段引導(dǎo)學(xué)生將生活實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)學(xué)生理解其數(shù)量關(guān)系，但是對于類似的題目學(xué)生畢竟有理解難度，所以需要在鞏固練習(xí)中加以強(qiáng)化和突破，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解解題的思路，再次感悟“變中有不變”的思想，透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，所以筆者設(shè)計(jì)了以下的練習(xí)。

（1）變中不變，引發(fā)沖突。

問題：一杯純咖啡，樂樂喝了半杯后，覺得有些苦，就兌了一些牛奶。他又喝了半杯。樂樂第二次喝了多少杯純咖啡？

布置任務(wù)：在練習(xí)紙上通過畫圖的方法詳細(xì)清晰地表示出你的思考過程。（需要知道“一些”是多少的同學(xué)，填入需兌的牛奶量）

對比：比較不同的示意圖和解答，為什么兌的牛奶量不一樣，但第二次喝的純咖啡量卻不變，都是■杯呢？

（2）動態(tài)演示，理解本質(zhì)。

再添牛奶：如果只加一滴牛奶呢？一桶牛奶呢？第二次喝的純咖啡量會怎樣？為什么？

課件演示，看清本質(zhì)：無論加入多少牛奶，純咖啡的總量都是不變的，所以我們只考慮純咖啡就可以了。

小結(jié)：生活中的“混合”轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思考中的“分離”，更好地幫助我們聚焦問題的關(guān)鍵，不被無關(guān)的信息干擾。

設(shè)計(jì)意圖：解題的關(guān)鍵是在“加牛奶”的變化過程中抓住不變的量“純咖啡的總量”。本環(huán)節(jié)通過兌不同量的牛奶，幫助學(xué)生看清了“變”中“不變”的規(guī)律;再運(yùn)用多媒體動態(tài)演示，帶著學(xué)生經(jīng)歷直觀想象、抽象、建模等過程，從靜止到動態(tài)，將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合，將抽象思維與形象思維結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生從表面到深層的理解，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

在做了“基于現(xiàn)實(shí)情境下的問題解決”研究之后，筆者深深感受到，對于解決現(xiàn)實(shí)問題，指導(dǎo)學(xué)生形成一般步驟，掌握解題策略，才能促進(jìn)其提高問題的解決能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。