鄭燁婷

[摘? 要] 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了適應學生發(fā)展和提高數(shù)學素養(yǎng)的十個核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，史寧中教授更是把“模型思想”列為小學階段三大數(shù)學基本思想之一，但是相比其他核心概念，“模型思想”比較抽象。數(shù)學魔術的表演和破解需要學生經歷“從實際生活中提取數(shù)學模型—求解數(shù)學模型—應用數(shù)學模型”的過程，它是培養(yǎng)學生“模型思想”的良好載體。

[關鍵詞] 數(shù)學魔術;數(shù)學模型;模型思想

■一、背景介紹

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了十大核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義?！痹撜撌雒鞔_了義務教育階段模型思想的價值和建立模型的基本過程（如圖1）：

相比其他核心概念，模型思想比較抽象，一線教師常常對此束手無策。在教學實踐中筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學魔術是培養(yǎng)學生模型思想的良好載體。通過數(shù)學魔術的表演，引導學生用數(shù)學的眼光去觀察、分析和表示魔術中的各種變量，抽象出數(shù)學模型;在數(shù)學魔術背后的數(shù)學原理探究中，通過猜想、計算、推理、驗證等一系列的思維過程，求出模型的解，從而解釋魔術現(xiàn)象。數(shù)學魔術的過程旨在培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型、解決實際問題的意識與能力。

本文將以數(shù)學魔術“猜一猜：硬幣在哪兒”為例，介紹如何借助數(shù)學魔術的教學，培養(yǎng)學生的模型思想。

■二、教學實踐

1. 魔術引入：感受神奇，激發(fā)興趣

精彩的課堂導入能迅速激發(fā)學生的學習欲望，有效喚起學生的課堂注意。數(shù)學課堂導入的方法有很多，用魔術進行課堂導入可以增添問題的神秘感，通過生動有趣的表演讓平時看起來不可能的事情現(xiàn)在就發(fā)生在眼前，孩子們的好奇心一下子會被激發(fā)出來。這時，“太神奇了吧”“是真的嗎”“老師是怎么做到的”等驚訝問題就會自然而然地縈繞在學生的腦海里，欲“解”不達，欲罷不能。通過以數(shù)學魔術導入引發(fā)思考探究的活動，能有效激發(fā)學生的思維活力，使學生把精力集中在思考和探究數(shù)學問題上，從而取得更為理想的學習效果。

生活中經常會玩這樣的游戲：把一個小物品藏在某一只手中，讓對方猜一猜藏在哪只手里?；谶@樣的靈感，設計了以下的魔術：

師：（出示兩個硬幣，如圖2）今天老師要用數(shù)學銀行自制的1元、2元硬幣來玩一個魔術?？催^魔術表演嗎？

生：看過。（興奮的表情露在臉上）

師：老師要變的魔術叫“讀心術”，等會兒老師請一個助手上來，請他把這兩枚硬幣分別藏在左右兩只手上，我不用看就知道這兩枚硬幣分別藏在哪只手上。誰愿意來做老師的助手？

指名上臺和教師合作。

師：（對助手）來，先請你看看這里的兩枚硬幣，一枚是1元，一枚是2元，有沒有問題？（沒有）好！下面請你將它們打亂，然后將它們分別藏在左右兩只手里。老師不用看，只要他回答我一個問題，我就能知道這兩枚硬幣分別藏在哪只手上。相信嗎？

學生中有信的，也有不信的。

師：請你把左手里的錢數(shù)加兩次，右手里的錢數(shù)加三次，再把得出的兩個數(shù)相加（邊說邊板書：左+左+右+右+右），噓……請告訴我結果是奇數(shù)還是偶數(shù)。

生：是偶數(shù)。

師：那么，1元硬幣藏在左手邊，2元硬幣藏在右手邊。

助理揭開答案，學生紛紛贊嘆不已。

數(shù)學模型的建立首先要“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題”，說明情境是建模的源點，也就是魔術的表演是這節(jié)課建模的源點，從中抽象出數(shù)學問題是建模的起點，從魔術表演到問題的環(huán)節(jié)可稱為“建模準備”。

2. 魔術分析：思考關系，嘗試建模

數(shù)學建模的關鍵是用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，學生要通過觀察、分析、抽象、判斷、推理等數(shù)學活動將數(shù)學魔術問題抽象、簡化，建立數(shù)學問題中的數(shù)量關系。在“猜一猜：硬幣在哪兒”這個數(shù)學魔術中，左手里硬幣的錢數(shù)加兩次，右手里硬幣的錢數(shù)加三次，最后合起來的結果是奇數(shù)還是偶數(shù)是關鍵，因此要引導學生思考和的奇偶性與加數(shù)有什么關系，建立和的奇偶性這一數(shù)學模型。

師：你們有什么疑問嗎？

生：老師，你會不會是蒙對的？（如果學生發(fā)出這樣的疑問，可以再進行一次表演）

生：老師，你會不會跟助理串通好了？

生：老師，你有超人的能力。

師：你們覺得老師到底是有超人的能力，還是有好方法呢？

生：我覺得老師是有方法的。

師：對啊，魔術都是有竅門的。那么，你們覺得這個魔術的關鍵在哪里？

生：在老師提出的那個問題。

生：左手里硬幣的錢數(shù)加兩次，右手里硬幣的錢數(shù)加三次，最后合起來是偶數(shù)。

師：同學們太厲害了！這么快就發(fā)現(xiàn)了魔術中的秘密，老師就是根據和是奇數(shù)還是偶數(shù)倒推出來的。幾個數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)這樣的問題被稱為“和的奇偶性”。要想研究和的奇偶性，解決類似的問題，你打算怎么研究？

生：左+左+右+右+右，5個數(shù)相加太多了，可以從兩個數(shù)的和開始研究。

師：研究兩個數(shù)的和的奇偶性，你有什么方法？

生：可以通過舉例發(fā)現(xiàn)。

3. 魔術探究：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，穩(wěn)定模型

數(shù)學魔術不僅要讓學生感受到好玩、有趣，更要讓學生通過猜想、啟發(fā)、驗證、推理、創(chuàng)造等一系列的思維過程探究魔術背后的數(shù)學原理，以及在這個過程中積累數(shù)學活動經驗、感悟數(shù)學思想和方法。

學生通過舉例得出：

發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。從例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律還不夠，教師還要讓五年級的學生感受到數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，引導學生從余數(shù)的知識、畫圖等方法來進行驗證。得到兩個數(shù)的和的奇偶性后，學生就可以順勢推導出多個加數(shù)的和的奇偶性了。教師借勢引導小結：

師：所以，你們認為和的奇偶性與加數(shù)中誰的個數(shù)有關系呢？

生：與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關系，奇數(shù)個奇數(shù)相加，和就是奇數(shù);偶數(shù)個奇數(shù)相加，和就是偶數(shù)。

模型的求解常常需要借助一定的方法策略，如舉例、數(shù)形結合、假設、推理等，有效的方法和策略為學生進一步建模、解決問題提供幫助，提升解決問題的效率。通過舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律只是猜想，要引導學生通過嚴謹?shù)淖C明來驗證猜想是對的，數(shù)與形的結合是小學數(shù)學中解決問題常用的方法，解決問題時常常需要借助圖形直觀分析問題，猜想得到的和的奇偶性的規(guī)律后借助圖形的直觀，得到驗證。

4. 破解魔術：探究原理，應用模型

揭秘是學生欣賞魔術表演后最想做的事。教學中要有效地引導學生探究魔術的設計原理，利用已經得出的數(shù)學模型來解釋魔術現(xiàn)象，完整地經歷建模過程，充分感受模型思想。

師：同學們，現(xiàn)在你們能說說老師是如何快速得出1元硬幣藏在左手里，2元硬幣藏在右手里的嗎？

生：根據助理的回答可以知道“左+左+右+右+右”的結果是偶數(shù)，說明奇數(shù)1加了偶數(shù)次，1元硬幣加了兩次，所以左手里藏的是1元硬幣。

師：那左右兩邊加的次數(shù)有要求嗎？

生：有，一邊加奇數(shù)次，一邊加偶數(shù)次。如果兩邊都加偶數(shù)次，結果一定是偶數(shù)，就判斷不出來了;如果兩邊都加奇數(shù)次，結果一定是奇數(shù)，也判斷不出來。

師：請同學們進一步思考，硬幣的幣值可以是任意數(shù)嗎？

生：必須一個是奇數(shù)、一個是偶數(shù)，如果硬幣幣值都是偶數(shù)的話，不管加幾次結果都是偶數(shù)，如果都是奇數(shù)也不能成功。

師：老師的神奇魔力就在這兒，事先要設計好魔術的道具和操作的規(guī)矩，最后的結果就都在掌控之中了。通過今天的學習，你有什么收獲？

生：魔術背后是有數(shù)學道理的，弄清數(shù)學道理就可以破解魔術了。

生：如果能找到規(guī)律，變魔術就很簡單了。

生：我也想當一名魔術師。

……

師：知道了魔術的設計原理，我們可以自己嘗試設計和破解更多的數(shù)學魔術。

■三、教學思考

曹培英老師認為：建模與問題解決的能力是數(shù)學最具學科特征的育人價值。數(shù)學魔術能帶給學生神奇、愉悅的體驗，數(shù)學魔術的原理又天然具有數(shù)學的模型結構。數(shù)學魔術的表演和揭秘的過程可以讓學生在獲取數(shù)學知識和技能的過程中體驗從實際問題抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，再通過數(shù)學原理得到數(shù)學模型的解，從而揭示魔術現(xiàn)象。這一過程有助學生初步形成模型思想，體會到數(shù)學建模中用數(shù)學方法解決實際問題的好處，也有助教師在現(xiàn)實中探尋培養(yǎng)策略，從而促進學生數(shù)學模型思想的形成和發(fā)展，最終提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。