許文波 焦瑋瑋 潘 龍

北京精密機電控制設(shè)備研究所，北京 100076

0 引言

在運載火箭/彈道導(dǎo)彈各分系統(tǒng)中，伺服機構(gòu)是運載火箭/彈道導(dǎo)彈的關(guān)鍵組成部分。永磁同步電機(PMSM)具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、損耗小等優(yōu)點，機電伺服機構(gòu)組成簡單，具有可靠性高、維護保養(yǎng)要求低，測試、使用方便等特點，因此在航天型號研制中得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。基于PMSM的伺服控制系統(tǒng)是一個包含位置、轉(zhuǎn)速、電流環(huán)的多閉環(huán)系統(tǒng)。其中，作為最內(nèi)環(huán)的電流環(huán)決定著電流的跟蹤性能，響應(yīng)的快速性，直接影響PMSM的輸出電磁轉(zhuǎn)矩，進而影響機電伺服機構(gòu)的性能。

在PMSM電流環(huán)控制方式上，近年來許多先進的電流控制方法不斷被提出，如非線性預(yù)測控制、反推控制、模糊PI控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂频萚4-8]。工程中PMSM驅(qū)動系統(tǒng)多采用結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)、性能良好、對控制對象參數(shù)變化不敏感的PI控制器。因此，對于PMSM驅(qū)動系統(tǒng)比例積分(PI)控制器參數(shù)設(shè)計和整定方法的研究極具工程價值。

PI控制器的參數(shù)整定方法通常分為2類：1)基于實驗的方法，如Ziegler-Nichols整定法；2)通過對被控對象進行建模，然后通過測量或辨識模型參數(shù)計算得到控制器參數(shù)。1984年Astrom和Hagglund首次提出了基于幅值裕度和相角裕度的PID參數(shù)自整定方法[9]。文獻[10]旨在通過幅值裕度和相位裕度獲得最佳閉環(huán)特性的PID參數(shù)。文獻[11]基于PMSM調(diào)速系統(tǒng)的頻域模型，推導(dǎo)出了電流環(huán)PI控制器參數(shù)Kp和Ki的解析計算式，通過這些解析式，實現(xiàn)設(shè)定的期望開環(huán)截止頻率和相位裕度，但并未考慮系統(tǒng)的零極點分布及對系統(tǒng)性能的影響進行分析。文獻[12]研究了基于主導(dǎo)極點和相位裕度的PID整定算法，通過在控制器的零點配置主導(dǎo)極點的方式得到PID整定式，但未考慮系統(tǒng)零點的影響。文獻[13]未考慮系統(tǒng)零點對階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量的影響。文獻[14]提出了通過對PI控制參數(shù)取值的約束進行零極點抵消的方法，但控制參數(shù)的取值受到了限制。

本文通過零極點分布對系統(tǒng)性能的影響分析，推導(dǎo)了零極點抵消的條件，確定系統(tǒng)極點的形式，再根據(jù)期望的系統(tǒng)帶寬及超調(diào)確定期望極點并進行PI參數(shù)設(shè)計。通過仿真分析驗證了本文提出方法的正確性，具有較強的工程應(yīng)用參考價值。

1 預(yù)備知識

考慮SISO系統(tǒng)，對給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

(1)

其中，A為n×n常陣，B為n維列向量，C為n維行向量；u為對系統(tǒng)施加的控制，若u取為系統(tǒng)狀態(tài)x的線性函數(shù)和一個輸入向量v，可表示為

u=-Kx+v

(2)

式中，K=[K1,K2,…,Kn]為n維行向量。

代入式(1)，得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(3)

通過(1)、(3)兩式比較，所謂極點配置，就是通過選擇反饋矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動態(tài)特性。而控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點在根平面上的分布。因此，在系統(tǒng)設(shè)計中，通常是根據(jù)對系統(tǒng)的品質(zhì)要求，規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)極點應(yīng)有的分布情況。

由現(xiàn)代控制理論可知，線性定常系統(tǒng)(1)可通過狀態(tài)變量反饋來任意配置其全部極點的充要條件是該系統(tǒng)為完全能控的。因此，對于一個完全能控的線性系統(tǒng)的極點配置問題，實際上轉(zhuǎn)化為求解狀態(tài)反饋增益矩陣K。

引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)(3)的特征方程可以寫成

|sI-A+BK|=sn+α1sn-1+…+αn=0

(4)

設(shè)給定的閉環(huán)系統(tǒng)的n個所期望的極點是(λ1,λ2，…，λn)，則有

(5)

分別令αi=βi(i=1，2，…，n)則可求解狀態(tài)反饋增益矩陣K。

2 PMSM電流環(huán)數(shù)學(xué)模型

2.1. PMSM的數(shù)學(xué)模型

在分析永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型時，常做如下假設(shè)：

1)忽略磁路飽和，不計鐵心中的渦流和磁滯損耗；

2)三相繞組對稱，在空間上互差120°電角度；

3)轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組，永磁體也沒有阻尼作用；

4)氣隙磁場呈正弦分布，忽略高次諧波的影響。

在d-q旋轉(zhuǎn)坐標系下，Ld=Lq=L，采用id=0控制，PMSM的電壓方程、轉(zhuǎn)矩方程以及機械運動方程可分別表示如下：

(6)

(7)

(8)

式中，ud，uq為d、q軸電壓；iq為q軸電流；ψf為永磁體磁鏈；R，L為定子繞組電阻和電感；Ke為電機的反電動勢常數(shù)；ω為電機的機械角速度，Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；b為粘滯摩擦系數(shù)；TL為負載轉(zhuǎn)矩。

2.2 PMSM電流環(huán)PI控制

作為數(shù)字控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的電流環(huán)，主要實現(xiàn)d、q軸電流的快速跟隨及電流限幅，其采樣頻率遠高于速度環(huán)采樣頻率，具有較高的控制環(huán)路帶寬，在本文中設(shè)逆變器的電壓增益為Kinv，忽略濾波器及逆變器動態(tài)特性對電機轉(zhuǎn)速特性的影響，電流和速度控制器均采用經(jīng)典PI結(jié)構(gòu)，即

(9)

綜合式(6)～(9)，可以得到PMSM電流環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 PMSM電流環(huán)PI控制框圖

2.3 PMSM電流環(huán)PI控制系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

圖2 忽略反電動勢PMSM電流環(huán)PI控制框圖

iq=x1

(10)

寫成矩陣形式

(11)

3 基于極點配置的PI控制參數(shù)設(shè)計

3.1 電流環(huán)能控性分析

由式(10)～(11)可知，通過狀態(tài)變量的選取，PMSM電流環(huán)PI控制系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換為全狀態(tài)反饋控制問題。系統(tǒng)(10)可通過狀態(tài)變量反饋來任意配置其全部極點的充要條件是該系統(tǒng)為完全能控的，即

rank[B?AB]=2

(12)

對于本文考慮的SISO系統(tǒng)，式(12)等價于

det([B?AB])≠0

(13)

3.2 電流環(huán)的零極點分析

(14)

其中,I為單位矩陣，將矩陣代入并經(jīng)化簡，其零、極點特征方程分別為

kcps+kci=0

(15)

Ls2+(R+Kinvkcp)s+Kinvkci=0

(16)

對比式(9)和(15)，該零點正是由PI控制器引入的電流環(huán)開環(huán)零點，進而成為閉環(huán)零點，該零點為一負實零點，如下

(17)

電流環(huán)閉環(huán)極點為

(18)

由式(18)可知，PI控制器的比例增益kcp決定了電流環(huán)極點與虛軸的距離，即決定了電流環(huán)的快速性；積分增益kci決定了電流環(huán)極點的虛部和閉環(huán)零點，極點虛部影響系統(tǒng)的超調(diào)和振蕩；電流環(huán)閉環(huán)零點的存在會縮短電流環(huán)的調(diào)節(jié)時間和增大其超調(diào)。

電機控制中，為了獲得良好的快速性，電流環(huán)極點與虛軸應(yīng)有一定距離，kcp不宜太小，也允許電流環(huán)存在一定的超調(diào)。但需避免電流環(huán)超調(diào)引起的大電流沖擊電力電子器件，系統(tǒng)的阻尼比仍然不能太小，kci不能太大。

先討論電流環(huán)控制系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點的情況：

假設(shè)存在一組控制參數(shù)kcp,kci，使得電流環(huán)控制系統(tǒng)存在一對共軛復(fù)數(shù)極點，則

(R+Kinvkcp)2<4LKinvkci

(19)

(20)

再假設(shè)該系統(tǒng)的一對極點為pc1,2=-a±jb，其中a正實數(shù)，b為非負實數(shù)，代入特征方程式(15)可得其零點如下

(21)

對具體電機而言，R和L確定，故為獲得快速的調(diào)節(jié)過程，電流環(huán)控制系統(tǒng)的極點距離虛軸不能太近，通常存在a>R/L。由于閉環(huán)零點的存在，為了有效抑制電流環(huán)超調(diào)，系統(tǒng)阻尼比不能太小，當系統(tǒng)阻尼比大于0.707時有a>b，此時有

(22)

式(22)表明，閉環(huán)零、極點與虛軸距離之比小于2，因此閉環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響不能忽略；同時一對共軛復(fù)數(shù)極點又無法與閉環(huán)零點抵消。

由自動控制原理可知，此時電流環(huán)將存在較大超調(diào)振蕩。

再討論電流環(huán)控制系統(tǒng)具有兩個負實極點的情況：

設(shè)該系統(tǒng)的一對極點為pc1=-a和pc2=-b，其中a、b均為正實數(shù)，且a>b，則下式成立

(23)

比較系統(tǒng)零、極點之間的關(guān)系有

(24)

由式(24)可知

1)當b>R/L時，閉環(huán)零點位于兩極點右側(cè)；

2)當b=R/L時，閉環(huán)零點與一極點重合；

3)當b

在理想情況下，不考慮SVPWM電源逆變器控制周期、開關(guān)延遲、死區(qū)時間、濾波網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字控制延時等，根據(jù)零、極點的相對位置，當b≤R/L時，電流環(huán)無超調(diào)。但實際工程應(yīng)用時，系統(tǒng)存在開關(guān)延遲等非理想因素，可適當將b值取得小一些，但b值太小可能會導(dǎo)致電流環(huán)跟蹤存在靜差，或跟蹤速度過慢。

進一步分析式(24)有

(25)

若b≈R/L或a?b，為了保證系統(tǒng)的快速性有a?R/L，則下式成立

zc-pc2≈0

(26)

式(26)表明，通過對電流環(huán)極點配置，基本可以抵消閉環(huán)零點對電流環(huán)性能的影響，電流環(huán)的性能取決于極點pc1=-a，在研究速度環(huán)時，若把電流環(huán)等效為一階慣性環(huán)節(jié)，其閉環(huán)帶寬ωcb=a(rad/s)。

3.3 電流環(huán)的極點配置及PI參數(shù)設(shè)計

逆變器工作時易產(chǎn)生復(fù)雜的開關(guān)諧波，為了避免引入干擾，希望開關(guān)諧波處于系統(tǒng)的高頻段，即開關(guān)頻率應(yīng)大于10ωcb，即

(27)

式中Tinv為逆變器控制周期。

(28)

則

(29)

實際系統(tǒng)中存在多種非理想環(huán)節(jié)，在進行電流環(huán)極點配置時對a的取值可保守一些，以保證電流環(huán)的穩(wěn)定裕量。

綜上，電流環(huán)極點配置的原則和步驟為

1)根據(jù)期望的速度環(huán)閉環(huán)帶寬及逆變器的控制周期確定其遠極點，保留一定的穩(wěn)定裕量，保證電流環(huán)不產(chǎn)生振蕩；

2)選擇和調(diào)整其近極點，使電流環(huán)的跟蹤速度、跟蹤靜差和超調(diào)量滿足要求；

3)根據(jù)期望極點，按式(23)計算kcp和kci。

4 仿真結(jié)果

利用Matlab中的SIMULINK模塊進行仿真，仿真使用如圖2所示的PMSM電流環(huán)PI控制系統(tǒng)。

電機參數(shù)按某型PMSM實驗數(shù)據(jù)進行選取，具體如下：

L=0.002H，R=0.292Ω，J=1.2×10-4kg·m2，bm=0.000 015Nm·s，Kt=0.225Nm/A，Ke=0.149V·rad/s；取逆變器放大系數(shù)Kinv=158.4V。

其電氣時間常數(shù)為

Te=L/R=0.0067=1/149(ms)

(30)

首先按一對共軛復(fù)極點配置進行仿真驗證，為了驗證系統(tǒng)具有較大的超調(diào)量，在極點配置時取極點的阻尼比ζ=0.95，由表1可以看出，在共軛復(fù)極點配置策略下，系統(tǒng)存在一個較大極點，kci取值較大，盡管所配置極點阻尼比很大，但由于系統(tǒng)零點無法與極點進行抵消，因此系統(tǒng)存在較大的超調(diào)，調(diào)節(jié)時間較長。圖3為共軛復(fù)極點配置策略下的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。

表1 共軛復(fù)極點配置策略下系統(tǒng)參數(shù)

圖3 共軛復(fù)極點配置策略下系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

表2和圖4分別為固定遠極點配置策略下系統(tǒng)參數(shù)和階躍響應(yīng)曲線，將系統(tǒng)遠極點取固定值pc1=-a=-2000；與表1結(jié)果相比，得到的kci參數(shù)均較小，隨著近極點遠離虛軸，kci取值逐步增大，系統(tǒng)零點也遠離虛軸，系統(tǒng)響應(yīng)加快；在此策略下系統(tǒng)的近極點pc2和零點zc基本重合，當近極點pc2=-R/L=-149時，與系統(tǒng)零點重合，系統(tǒng)達到臨界超調(diào)狀態(tài)；當極點與虛軸太近時，積分效果不明顯，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間很長。

表2 固定遠極點配置策略下系統(tǒng)參數(shù)

圖4 固定遠極點配置策略下系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

表3 和圖5為固定近極點配置策略下系統(tǒng)參數(shù)和階躍響應(yīng)曲線，隨著極點遠離虛軸，kcp，kci都逐漸增大，系統(tǒng)響應(yīng)加快，因近極點pc2=-R/L=-149，系統(tǒng)均未出現(xiàn)超調(diào)，但當電流環(huán)達到一定帶寬后，再繼續(xù)增大對系統(tǒng)快速性影響不大，反而會因電源逆變器控制周期、死區(qū)等非理想環(huán)節(jié)，降低電流環(huán)的穩(wěn)定裕量。

表3 固定近極點配置策略下系統(tǒng)參數(shù)

圖5 固定近極點配置策略下系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖6 為用一階慣性環(huán)節(jié)代替非理想環(huán)節(jié)的電流環(huán)階躍響應(yīng)曲線，由于非理想環(huán)節(jié)的存在導(dǎo)致pc1=-2500時，電流環(huán)出現(xiàn)超調(diào)，通過調(diào)整任一極點均可避免系統(tǒng)超調(diào)，但相比之下，調(diào)整pc2能夠有效消除系統(tǒng)的超調(diào)，且對系統(tǒng)的快速性影響不大。

圖6 考慮非理想環(huán)節(jié)的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

綜上，仿真結(jié)果表明：當電流環(huán)配置一對共軛復(fù)極點時，將產(chǎn)生較大超調(diào)；驗證了本文提出的通過零極點抵消的極點配置方法能夠有效抑制或消除系統(tǒng)的超調(diào)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié)語

針對PMSM電流環(huán)PI控制，提出了一種極點配置方法，通過分析推導(dǎo)了系統(tǒng)零極點抵消的條件，并根據(jù)期望極點確定PI控制參數(shù)，仿真結(jié)果驗證了所提出整定算法可行有效。該方法簡潔明了、算法物理意義明確，具有較強的工程應(yīng)用和推廣價值。