高大偉 黃鐵球 邢 琰

1. 北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044 2. 北京控制工程研究所，北京 100190

0 引言

近期在外星探測(cè)工程中，輪式星球車(chē)憑借其可靠性高，機(jī)動(dòng)性強(qiáng)和行駛效率高等優(yōu)點(diǎn)成為星球探測(cè)移動(dòng)機(jī)器人的主流。目前對(duì)于輪式星球車(chē)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型已有較為充分的研究。Tarokh等[1]使用D-H坐標(biāo)對(duì)于關(guān)節(jié)式星球車(chē)進(jìn)行了正向和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。劉建軍和陳建新[2]使用矢量法對(duì)存在滑移情況下的月球車(chē)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析。以往對(duì)星球車(chē)采用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解算方式控制，雖然具有計(jì)算量小，易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，但也制約了其行駛速度和驅(qū)動(dòng)能力。隨著外星探測(cè)工程的逐步深入，對(duì)星球車(chē)性能提出了更高的要求，要提高崎嶇環(huán)境中星球車(chē)的驅(qū)動(dòng)性能，有必要對(duì)其采用動(dòng)力學(xué)閉環(huán)控制，建立動(dòng)力學(xué)模型，考慮動(dòng)力學(xué)特性。

對(duì)于星球車(chē)等輪式移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)控制模型，Iagnemma等[3]研究了在硬質(zhì)崎嶇路面星球車(chē)(Rough Terrain Control: RTC)控制方法，以提高車(chē)輪牽引能力，其模型將星球車(chē)看為一個(gè)整體，忽略了關(guān)節(jié)式懸架的作用。高鵬和許紅霞[4]提出了滑轉(zhuǎn)率補(bǔ)償算法，利用速度與驅(qū)動(dòng)力矩具有對(duì)偶性完成了對(duì)月球車(chē)力矩的分配，通過(guò)設(shè)計(jì)模糊控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)滑移率補(bǔ)償項(xiàng)的模糊控制。彭麗媛等[5]利用Kane方法推導(dǎo)了六輪月球車(chē)整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，模型未考慮車(chē)輪滑移和滑轉(zhuǎn)的影響，也未從控制系統(tǒng)的角度對(duì)模型進(jìn)行分析。搖臂式星球車(chē)關(guān)節(jié)自由度數(shù)較多，且行駛在松軟崎嶇的地形環(huán)境中，車(chē)輛不可避免地會(huì)發(fā)生較大的滑轉(zhuǎn)和滑移，因此要保證車(chē)輛良好的操縱平順性、穩(wěn)定性和安全性，不僅需研究其包含懸架機(jī)構(gòu)在內(nèi)的完整動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)需考慮滑轉(zhuǎn)和滑移對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響。

本文以21完整自由度的六輪搖臂-懸架關(guān)節(jié)式星球車(chē)為研究對(duì)象，采用Denavit-Hartenberg (D-H)方法[6]完成其運(yùn)動(dòng)學(xué)描述；采用拉格朗日方法推導(dǎo)其整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合地面接觸力學(xué)理論分析系統(tǒng)的受力狀況，給出含滑移滑轉(zhuǎn)在內(nèi)的完整車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型，并將模型整理為控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的二次仿射非線(xiàn)性方程的形式；借助MATLAB Simulink平臺(tái)搭建仿真模型，通過(guò)仿真驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性；最后對(duì)模型的應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行了討論和展望。

1 星球車(chē)結(jié)構(gòu)介紹及運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

六輪搖臂-懸架式星球車(chē)由美國(guó)國(guó)家航空航天局最先提出[7]，美國(guó)好奇號(hào)火星車(chē)，中國(guó)玉兔二號(hào)月球車(chē)等星球車(chē)均采用此結(jié)構(gòu)。本文的研究對(duì)象為六輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)，獨(dú)立轉(zhuǎn)向，搖臂-懸架式星球車(chē)，與月兔二號(hào)月球車(chē)相比，增加了2個(gè)轉(zhuǎn)向自由度。如圖1所示，該星球車(chē)移動(dòng)裝置由以下幾個(gè)部分組成：6個(gè)具有獨(dú)立驅(qū)動(dòng)電機(jī)的車(chē)輪、6個(gè)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)、1個(gè)差動(dòng)機(jī)構(gòu)、2個(gè)主搖臂關(guān)節(jié)、2個(gè)副搖臂關(guān)節(jié)。

為建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，建立如圖2所示的坐標(biāo)系：R為車(chē)體的重心坐標(biāo)系；D為差速器中心坐標(biāo)系；B1,B2為副搖臂關(guān)節(jié)坐標(biāo)系；Si,i=1，…，6為車(chē)輪i的轉(zhuǎn)向軸中心坐標(biāo)系；Ai,i=1，…，6為車(chē)輪i的轉(zhuǎn)動(dòng)軸中心坐標(biāo)系；Ci,i=1，…，6為驅(qū)動(dòng)車(chē)輪i的接地坐標(biāo)系。采用Denavit-Hartenberg (D-H)方法表示星球車(chē)各坐標(biāo)系間的平移和旋轉(zhuǎn)關(guān)系，具體數(shù)值可參考文獻(xiàn)[8]。

圖1 星球車(chē)移動(dòng)裝置示意圖

圖2 中，η為副搖臂的關(guān)節(jié)角度 (η1代表左側(cè)，η2代表右側(cè))；左右兩側(cè)的主搖臂通過(guò)差速器與車(chē)體相連，其角度分別用β1,β2表示，且有β=β1=-β2。

圖2 星球車(chē)移動(dòng)系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖

2 拉格朗日法推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)模型

星球車(chē)在空間中能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動(dòng)，有6個(gè)自由度；左右主搖臂通過(guò)橫桿以差動(dòng)方式將車(chē)體懸掛，所以左右主搖臂只有1個(gè)自由度；左右副搖臂通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與主搖臂鉸接，有2個(gè)自由度；6個(gè)轉(zhuǎn)向輪有6個(gè)自由度；6個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)有6個(gè)自由度。因此星球車(chē)共有21個(gè)自由度。

為提高計(jì)算效率，簡(jiǎn)化模型，對(duì)系統(tǒng)提出以下幾點(diǎn)假設(shè)：

1)星球車(chē)的所有車(chē)輪均視為剛性輪，且其幾何尺寸均相同；

2)左右搖臂的質(zhì)量和慣量相對(duì)于系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，可忽略不計(jì)；

3)車(chē)輪與地面接觸的尺寸與輪距和軸距相比，可忽略不計(jì)，故將車(chē)輪與地面的接觸看作點(diǎn)接觸。

對(duì)于具有21個(gè)自由度的星球車(chē)系統(tǒng)，可以通過(guò)21個(gè)廣義坐標(biāo)來(lái)描述其相對(duì)于星體坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。定義廣義坐標(biāo)為：

2.1 系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能

車(chē)體的速度和角速度在星體坐標(biāo)系下可表示為：

由于連桿間都是鉸接，可用迭代法[9]依次求出各連桿速度和角速度。以連桿RD為例使用迭代法計(jì)算各連桿的角速度和質(zhì)心速度。

(2)

式中：RRD為坐標(biāo)系D和R間的旋轉(zhuǎn)矩陣；PRD為坐標(biāo)系D原點(diǎn)在坐標(biāo)系R的位置向量；vCRD為連桿RD質(zhì)心速度。

同理可計(jì)算出其他連桿和輪子的速度和角速度。根據(jù)假設(shè)2，忽略主副搖臂的質(zhì)量，因此系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可通過(guò)車(chē)體和車(chē)輪的速度及位置求出。即：

(3)

(4)

式中：mW,mRD分別為車(chē)輪和車(chē)體的質(zhì)量；IW,IRD分別為車(chē)輪和車(chē)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；PGAi為坐標(biāo)系R到坐標(biāo)系A(chǔ)i原點(diǎn)在大地坐標(biāo)系G的位置向量。

2.2 廣義力

星球車(chē)所受的主動(dòng)力包括重力G，車(chē)輪受到的輪壤作用力和驅(qū)動(dòng)力矩τ。如圖3所示，車(chē)輪輪壤作用力包括支持力FN，掛鉤牽引力FDP，側(cè)向力FS，阻力矩Mr和側(cè)翻力矩Ms。

圖3 車(chē)輪受力圖

重力產(chǎn)生的廣義力項(xiàng)可由系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)得，即：

(5)

式中：Eu為系統(tǒng)動(dòng)能，qk為第k個(gè)廣義坐標(biāo)。

外力(非重力項(xiàng))產(chǎn)生的廣義力項(xiàng)可通過(guò)計(jì)算虛功并用該虛功對(duì)廣義坐標(biāo)求變分得，即：

(6)

式中：δW2是外力(非重力項(xiàng))產(chǎn)生的虛功；δ(·)為變分算子；Cy和Cx為車(chē)輪在C坐標(biāo)系下y方向和x方向的位移；ψi為第i個(gè)車(chē)輪的轉(zhuǎn)向角；n為系統(tǒng)的自由度，這里為21；CvWiy為車(chē)輪速度在C坐標(biāo)系下y軸的投影；δi為第i個(gè)車(chē)輪的輪壤接觸角，即坡度角；AvWix為車(chē)輪速度在A坐標(biāo)系下x軸的投影。

綜上，可求得系統(tǒng)所受廣義力：

(7)

2.3 拉格朗日方程

將動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力，即式(3)(4)(7)，代入第二類(lèi)拉格朗日方程，即可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

(8)

2.4 輪壤接觸力

輪壤作用地面力學(xué)是揭示車(chē)輪滑轉(zhuǎn)和滑移問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。地面力學(xué)用滑轉(zhuǎn)率s表征車(chē)輪的縱向滑轉(zhuǎn)程度，用側(cè)偏角α表征車(chē)輪的側(cè)向滑移程度，具體定義如式。

(9)

式中：ω為車(chē)輪轉(zhuǎn)速；r為車(chē)輪半徑；vx為車(chē)輪速度在車(chē)輪前進(jìn)方向的投影；vy為車(chē)輪速度在車(chē)輪側(cè)向的投影。

土壤車(chē)輪與地形間的相互作用表現(xiàn)為[10]：土壤產(chǎn)生法向力FN對(duì)車(chē)輪進(jìn)行支撐；車(chē)輪發(fā)生下陷，下陷深度與其結(jié)構(gòu)參數(shù)以及土壤參數(shù)有關(guān)，并因此產(chǎn)生壓實(shí)阻力RC；車(chē)輪與土壤的附著力和破壞土壤的剪切力形成前進(jìn)所需的地面附著力P；地面附著力和壓實(shí)阻力共同形成了掛鉤牽引力FDP；車(chē)輪朝向和輪軸速度方向不一致(側(cè)偏角) 導(dǎo)致側(cè)向力Fs；將附著力和側(cè)向力等效平移至輪心有驅(qū)動(dòng)阻力矩Mr和側(cè)翻力矩Ms。依據(jù)Bekker[11]提出的土壤承壓模型以及Janosi和Hanamoto[12]提出的土壤剪切模型，可推導(dǎo)出輪壤接觸力(矩)與滑轉(zhuǎn)和滑移的關(guān)系，如式所示。

(10)

式中：A為車(chē)輪接地面積；b為車(chē)輪寬；z為車(chē)輪的沉陷量；θ1為車(chē)輪進(jìn)入角；r為車(chē)輪半徑；kc,kφ,kα,μτ,C0,K均為土壤參數(shù)，具體可參考文獻(xiàn)[10]。

2.5 簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型

21自由度動(dòng)力學(xué)模型由21個(gè)三階非線(xiàn)性微分方程組成，過(guò)于冗雜，計(jì)算效率低。因此再提出以下2點(diǎn)假設(shè)簡(jiǎn)化模型。

1)車(chē)體繞x軸的橫滾角與俯仰角和偏航角相比較小，可忽略不計(jì)；

2)車(chē)輪的轉(zhuǎn)向角可視為輪壤接觸力的參數(shù)。即將車(chē)輪的轉(zhuǎn)向視為輪壤接觸力方向的變化。

基于假設(shè)4和假設(shè)5，可把系統(tǒng)合理簡(jiǎn)化為14自由度。新的廣義坐標(biāo)即為：

動(dòng)能與勢(shì)能的求解仍由式(3)(4)所示。由于假設(shè)5將轉(zhuǎn)向角作為輪壤接觸力的參數(shù)，式(7)需要做相應(yīng)的修正，修正結(jié)果如式(11)所示

(11)

修正后的廣義力為

(12)

最后將式代入拉格朗日方程可獲得簡(jiǎn)化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

(13)

將式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理可得到包含輪壤接觸力的整車(chē)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，即式。

控制系統(tǒng)對(duì)車(chē)輛和關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)車(chē)輛的動(dòng)力學(xué)行為的影響尤為關(guān)注，因此將動(dòng)力學(xué)方程整理為式(15)所示。

(15)

為仿真模型的搭建以及后續(xù)控制律的研究，將式(15)整理為二階非線(xiàn)性形式。動(dòng)力學(xué)方程左右同乘質(zhì)量陣的逆陣，得：

令：

xk=qk

通過(guò)變量代換可得二階仿射非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程,即式(17)：

(17)

3 仿真驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型，也為了后續(xù)對(duì)于控制方法的研究，借助Matlab Simulink平臺(tái)完成了仿真系統(tǒng)的搭建，采用四階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行微分方程的求解。圖4為仿真系統(tǒng)的體系架構(gòu)，核心模塊連接關(guān)系和變量傳遞關(guān)系。

圖4 系統(tǒng)仿真架構(gòu)

圖5為星球車(chē)平地直線(xiàn)移動(dòng)時(shí)，車(chē)體的位姿及速度變化。這里設(shè)定各輪電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩相同?？梢钥闯鲕?chē)體在前進(jìn)方向(z方向)做一個(gè)近似勻加速運(yùn)動(dòng)；在側(cè)向(y方向)無(wú)位移；在豎直方向(x方向)有輕微的震蕩。仿真結(jié)果符合預(yù)期，在豎直方向上的震蕩是由于支持力是車(chē)輪沉陷量的函數(shù)，類(lèi)似于一個(gè)彈簧振子模型。

圖5 直線(xiàn)移動(dòng)星球車(chē)位姿與速度曲線(xiàn)

圖6為星球曲率轉(zhuǎn)向時(shí)，車(chē)體位姿及速度變化。這里仍設(shè)定輪電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩相同且車(chē)體轉(zhuǎn)向角為1rad。可以觀察到車(chē)體在側(cè)向也出現(xiàn)了位移；車(chē)體繞x軸的角速度在不斷增大，且與車(chē)輛線(xiàn)速度增長(zhǎng)趨勢(shì)相同。這是因?yàn)樵谵D(zhuǎn)向角度保持不變的情況下，車(chē)輛的轉(zhuǎn)向半徑不變，星球車(chē)線(xiàn)速度與轉(zhuǎn)向角速度成正比關(guān)系。

通過(guò)星球車(chē)的直線(xiàn)移動(dòng)和曲率轉(zhuǎn)向仿真，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。模型的主要誤差因素是地形力學(xué)特性參數(shù)，次要因素有連桿的質(zhì)量和慣量，連接副的摩擦及機(jī)構(gòu)的非完全剛性等。關(guān)于星球車(chē)動(dòng)力學(xué)模型的建模誤差定量分析由于篇幅所限將另文闡述。

圖6 曲率轉(zhuǎn)向星球車(chē)位姿與速度曲線(xiàn)

4 結(jié)論

依據(jù)六輪搖臂-懸架式星球車(chē)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用Denavit-Hartenberg (D-H)方法完成其運(yùn)動(dòng)學(xué)描述，采用拉格朗日方法建立整車(chē)動(dòng)力學(xué)方程；以經(jīng)典地面力學(xué)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)側(cè)向力、掛鉤牽引力和滾動(dòng)阻力矩在動(dòng)力學(xué)模型中引入滑移與滑轉(zhuǎn)參量，建立完整動(dòng)力學(xué)模型；從控制系統(tǒng)角度，將模型整理為二階仿射非線(xiàn)性方程；后續(xù)仿真驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。該模型為復(fù)雜工況下星球車(chē)的動(dòng)力學(xué)與控制研究提供了重要依據(jù)。為提升車(chē)輛操縱平順性、穩(wěn)定性和安全性，后續(xù)研究可從2處入手：1)地面力學(xué)理論，現(xiàn)階段應(yīng)用于星球車(chē)的地面力學(xué)理論都將滑轉(zhuǎn)和滑移簡(jiǎn)化描述為滑轉(zhuǎn)率和車(chē)輪側(cè)偏角的線(xiàn)性函數(shù)，這種簡(jiǎn)化只適用于小滑移情況，針對(duì)大滑移情況需要進(jìn)一步的探討；2)控制理論，基于本文提出的完整車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型，考慮輪地接觸參數(shù)的時(shí)變性和不確定性，設(shè)計(jì)具有良好魯棒性和自適應(yīng)性的控制律。