蔡 軍，羅 成，謝 薇，方志遠

（重慶郵電大學(xué)自動化學(xué)院，重慶 400065）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，機械臂的控制技術(shù)已經(jīng)涉及機械，電氣，自動化等眾多的科研領(lǐng)域［1］。但是，在一些特殊的工況條件下，傳統(tǒng)的剛性機械臂由于能耗高、運行速度慢、操作空間有限等原因，已經(jīng)無法滿足要求。因此，具有輕質(zhì)、重載、高靈活性特點的柔性機械臂成為當(dāng)今機器人研究的熱點。柔性機械臂的動力學(xué)系統(tǒng)非常復(fù)雜，具有非線性、強耦合的特點，并且在操作柔性機械臂的過程中，由于臂桿自身的材料屬性，會有剛?cè)狁詈犀F(xiàn)象產(chǎn)生［2］。這給柔性機械臂的控制帶來了挑戰(zhàn)。文獻［3］中采用了自適應(yīng)PID控制器，自動在線調(diào)整控制增益，解決了單連桿柔性機械臂在執(zhí)行器失效后的情況下的控制問題。文獻［4-5］中研究了自適應(yīng)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來自適應(yīng)逼近補償系統(tǒng)建模過程中的不確定項，然后，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了滑?？刂破鱽韺崿F(xiàn)軌跡跟蹤。文獻［6］中針對柔性機械臂參數(shù)不確定性問題，提出了利用卡爾曼濾波在線估計的方法來逼近模型的動態(tài)。

迭代學(xué)習(xí)控制適用于具有重復(fù)運動性質(zhì)的對象，僅通過足夠多次的重復(fù)迭代，就可以使執(zhí)行對象達到期望的要求［7-9］。因此，對于具有重復(fù)運動性質(zhì)的柔性機械臂系統(tǒng)很適用。迭代學(xué)習(xí)控制的初始狀態(tài)問題一直是迭代學(xué)習(xí)控制理論的一個研究熱點。早在1991年，Lee等［10］提出：如果每次迭代時，系統(tǒng)的初始狀態(tài)不相等或者系統(tǒng)的初始狀態(tài)存在很小的偏差都會導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。原因是信號的偏差會隨著迭代次數(shù)的增加而累加。迭代學(xué)習(xí)的初始狀態(tài)問題可以分為3類：第1類是系統(tǒng)設(shè)定初值等于期望初值；第2類是系統(tǒng)設(shè)定初值等于任一固定值（但不等于期望值）；第3類是系統(tǒng)設(shè)定初值等于任意值［11-13］。孫明軒等［14-15］提出在進行系統(tǒng)控制輸入迭代學(xué)習(xí)的同時，初態(tài)也進行迭代學(xué)習(xí)的控制算法。這樣就放寬了初始定位的條件，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。呂慶等［16-17］針對一類非線性系統(tǒng)，在時間軸上設(shè)計了一個隨迭代次數(shù)增加而縮短的修正區(qū)間，在該時間段內(nèi)對初始偏差進行修正，該時間段外實現(xiàn)系統(tǒng)輸出跟蹤期望輸出。

本文基于文獻［18］中的二連桿柔性機械臂系統(tǒng)模型，提出了初態(tài)偏差加速修正的PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法，解決了該系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制方案中因柔性材質(zhì)屬性使得系統(tǒng)每次迭代初始狀態(tài)不同，造成的被控系統(tǒng)控制精度不夠高的問題。

1 柔性機械臂的動力學(xué)模型

二連桿柔性機械臂系統(tǒng)各變量定義如圖1所示：τ1和τ2分別為兩個伺服電動機逆時針方向產(chǎn)生的力矩；m1和m2分別為連桿1、2的質(zhì)量；l1和l2分別為連桿1、2的長度；θ1和θ2分別為兩個伺服電動機產(chǎn)生的伺服角；q1和q2分別為連桿1、2運動過程中產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角，表征柔性桿的振動情況；XOOYO為地面參考坐標(biāo)系，X1OY1和X2O′Y2分別為連桿1、2的局部坐標(biāo)系。文中柔性連桿1、2的長度均遠大于橫截面的寬度，因此將該柔性機械臂視為歐拉-伯努利梁，只考慮柔性連桿彎曲引起的變形。并且該系統(tǒng)只在水平面旋轉(zhuǎn)運動，因此忽略重力因素的影響。

二連桿柔性機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程為［18］

圖1 二連桿柔性機械臂

式中：θ＝［θ1；θ2］分別為兩個伺服電動機產(chǎn)生的伺服角；q＝［q1；q2］分別為連桿1、2 運動過程中產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角；τ ＝ ［τ1，τ2］為系統(tǒng)的輸入矩陣；M∈R4×4為慣性矩陣；D∈R4×4為離心力和哥氏力矩陣；K∈R4×4為剛度矩陣；G∈R4×1為重力矩陣。

對矩陣進行分塊處理有：

式中：Mij∈R2×2；Dij∈R2×2；Kf∈R2×2；Gij∈R2×1，i，j＝1，2，均為對應(yīng)的塊矩陣。

考慮到二連桿柔性機械臂的動力學(xué)方程（1）中包括伺服角θ和偏轉(zhuǎn)角q兩部分變量。在柔性機械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤控制中偏轉(zhuǎn)角q無法直接測得，方程（1）可寫為以下兩式：

由式（3）可見，機械臂內(nèi)部的偏轉(zhuǎn)角q是受伺服角θ影響而產(chǎn)生的變化。由式（3）可進一步得到：

雖然方程（5）在形式上與剛性機械臂的動力學(xué)方程相似，H1類似于剛性機械臂的慣性矩陣，H2類似于剛性機械臂的離心力和哥氏力組成的矩陣，H3類似于剛性機械臂的重力矩陣。但是，通過觀察H1，H2，H3矩陣可以發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別在于：柔性機械臂系統(tǒng)的H1，H2，H3矩陣較剛性機械臂系統(tǒng)的慣性矩陣、離心力和哥氏力組成的矩陣、重力矩陣而言，除了含有伺服角變量θ還有偏轉(zhuǎn)角變量q。

為了便于實現(xiàn)系統(tǒng)的軌跡跟蹤這一目標(biāo)，將方程（5）化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性仿射系統(tǒng)。由于機械臂內(nèi)部的偏轉(zhuǎn)角q是受伺服角θ影響而產(chǎn)生的變化，因此令系統(tǒng)的狀態(tài)量X（t）＝［θ］T，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

2 控制器設(shè)計

針對在有限時間間隔［0，T］內(nèi)重復(fù)運行的二連桿柔性機械臂系統(tǒng)，設(shè)計了迭代學(xué)習(xí)控制器。假設(shè)該系統(tǒng)每一次迭代學(xué)習(xí)過程中，初始狀態(tài)都不相同，第k次的迭代初態(tài)可表示為xk（0）。

定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為：

式中：yd（t）表示系統(tǒng)期望軌跡；yk（t）表示第k 次迭代時系統(tǒng)的輸出。

圖2 初態(tài)加速修正控制器結(jié)構(gòu)框圖

圖2是初態(tài)加速修正的PD型迭代學(xué)習(xí)控制器結(jié)構(gòu)框圖。當(dāng)前次的控制量是由上一次迭代時的控制量、跟蹤誤差值、跟蹤誤差值的變化率及實時初值偏差，利用該算法的定義（在時間軸上設(shè)計了一個隨迭代次數(shù)而縮減的修正區(qū)間，該區(qū)間內(nèi)對初始狀態(tài)偏差進行修正，修正區(qū)間外實現(xiàn)跟蹤期望輸出）并通過簡單的代數(shù)組合構(gòu)成的。其形式如下：

式中：a＞1，0＜h＜T，kp為比例學(xué)習(xí)增益；kd為微分學(xué)習(xí)增益，下標(biāo)k為迭代的次數(shù)。

通過將學(xué)習(xí)算法式（9）用于系統(tǒng)式（6）、（7）施行迭代學(xué)習(xí)控制，則系統(tǒng)第k次迭代對應(yīng)的狀態(tài)方程為

系統(tǒng)第k次迭代對應(yīng)的輸出方程為

上述算法計算步驟如下：①利用方程（8）計算ek（t）；②利用方程（10）計算φk（t）；③利用方程（12）計算Xk（0）；④利用方程（9）計算uk＋1（t）；⑤將控制輸入uk＋1（t）帶入到系統(tǒng)控制器，并進行下一次迭代，重復(fù)①～④。

所提的迭代學(xué)習(xí)算法意義如下：

（1）當(dāng)時間t∈［0，h／ak）時，由于存在初始狀態(tài)值偏差，系統(tǒng)的輸出不能跟蹤上期望軌跡。

可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞1，迭代次數(shù)k趨于無窮大時，t∈［0，h／ak）→［0，0），初態(tài)偏差修正的時間區(qū)間正在縮短。

（2）當(dāng)時間t∈（h／ak，T］時，被控系統(tǒng)的跟蹤誤差會被限制到一個可控的范圍內(nèi)。

3 仿真驗證

為了驗證本文所提算法的有效性，被控對象選用文獻［18］中的二連桿柔性機械臂系統(tǒng)模型。系統(tǒng)各參數(shù)［18］如下：m1＝1.0 kg，J21＝9.4 ×10－3kg·m2，m2＝0.9 kg，J12＝ 0.230 4 kg·m2，l1＝ 0.349 3 m，J22＝0.010 7 kg ·m2，l2＝ 0.297 5 m，E1I1＝ 9.0 N·m·rad－1，J11＝ 0.011 1 kg ·m2，E2I2＝ 4.0 N·m·rad－1。

系統(tǒng)所要跟蹤的期望軌跡為

迭代學(xué)習(xí)控制器的參數(shù)為：

期望軌跡的初態(tài)為

每次迭代的初態(tài)由rand函數(shù)自動隨機生成。

圖3給出了控制器在20次迭代學(xué)習(xí)下關(guān)節(jié)角1、2的軌跡跟蹤過程圖。可以看出：隨著迭代的次數(shù)增加，時間軸上的修正區(qū)間在逐漸縮短。圖4給出了控制器在第20次迭代學(xué)習(xí)下關(guān)節(jié)角1、2的軌跡跟蹤圖。

圖3 20次迭代學(xué)習(xí)后關(guān)節(jié)角跟蹤過程

圖4 第20次迭代學(xué)習(xí)的關(guān)節(jié)角跟蹤

圖5 20次迭代學(xué)習(xí)角誤差收斂圖

圖5給出了控制器在20次迭代學(xué)習(xí)下關(guān)節(jié)角1、2在t∈（h／ak，T］時間段內(nèi)軌跡跟蹤誤差收斂圖。可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，關(guān)節(jié)角1、2的軌跡跟蹤誤差在逐漸收斂。所提算法有效地抑制了隨機初態(tài)誤差對系統(tǒng)軌跡跟蹤的不良影響。

4 結(jié)語

在非線性、強耦合的柔性機械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制中，針對因柔性材質(zhì)屬性使得系統(tǒng)每次迭代初始狀態(tài)不同，所造成的被控系統(tǒng)控制精度不夠高的問題，提出了一種初態(tài)加速修正的PD型迭代學(xué)習(xí)算法，在時間軸上設(shè)計了一個隨迭代次數(shù)而縮減的修正區(qū)間，通過在該區(qū)間內(nèi)對初始狀態(tài)偏差進行修正，有效地抑制了隨機初態(tài)誤差對系統(tǒng)軌跡跟蹤控制的不良影響，實現(xiàn)了對期望軌跡的跟蹤。