陽開榮，韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006)

1 引言

各種傳染病給人類社會(huì)帶來了極大的危害.從動(dòng)力學(xué)的角度來研究疾病的傳播，對(duì)疾病的預(yù)防及控制很有幫助.以往很多動(dòng)力學(xué)模型只考慮一種疾病，但實(shí)際生活中，很有可能兩種疾病同時(shí)存在.此前也有一部分學(xué)者研究了具有雙疾病的傳染病模型([1,2，3]).文獻(xiàn)[1]中，Meng等人考慮了具有雙疾病的非線性隨機(jī)SIS傳染病模型

(1)

文獻(xiàn)[2]中，Chang等人考慮了具有不同發(fā)生率的隨機(jī)SIRS傳染病模型

(2)

文獻(xiàn)[2]中作者考慮了疾病的飽和發(fā)生率，運(yùn)用相關(guān)的隨機(jī)分析學(xué)知識(shí)得到了疾病滅絕與持久的條件以及證明了環(huán)境噪聲對(duì)疾病的傳播有影響.

在現(xiàn)實(shí)生活中，疾病的暴發(fā)會(huì)對(duì)人類產(chǎn)生警示作用，隨著染病者的增多，政府及其它相關(guān)機(jī)構(gòu)會(huì)采取干擾措施來抑制疾病蔓延，所用的措施中常見的一個(gè)是隔離措施.為了更好地研究環(huán)境噪聲以及隔離措施對(duì)疾病的影響，本文考慮以下具有雙疾病的隨機(jī)SIQS傳染病模型：

(3)

2 全局正解存在唯一性

在本文，(Ω,F,(F )t≥0,P) 為(F )t≥0單調(diào)遞增右連續(xù),F0包含所有零測集的完備概率空間.定義以下正不變集：

設(shè)k0>0且S(0)>k0,I1(0)>k0,I2(0)>k0,Q(0)>k0.對(duì)?k≤k0,可定義停時(shí)

假設(shè)inf?=∞.根據(jù)停時(shí)的定義,當(dāng)k→0時(shí),k單調(diào)遞增,令k,則顯然有0≤e.如果能證明0=∞a.s.,那么就有e=∞.下面用反證法證明.

顯然V(S(t),I1(t),I2(t),Q(t))為非負(fù)定函數(shù).利用伊藤公式，有

其中

因此

(4)

EV(S,I,I，Q)≤V(S0,I10,I20,Q0)+KT.

令Ωk={k∶k≤T}，則P(Ωk)>ε.由停時(shí)的定義知，對(duì)?w∈Ωk,在St(w),I1t(w),I2t(w),Qt(w)中至少有一個(gè)為k，因此

故

其中xΩk為Ωk的示性函數(shù).讓k→0，則有∞>V(S0,I10,I20,Q0)+KT=∞，矛盾，因此0=∞,進(jìn)一步有k=∞，定理2.1得證，即系統(tǒng)(3)存在唯一全局正解.

3 疾病的滅絕性與持久性分析

3.1 疾病的滅絕

定義隨機(jī)再生數(shù)

定理3.1 假設(shè)(S(t),I1(t),I2(t),Q(t))為系統(tǒng)(3)滿足初值條件(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的解.若

(5)

或

(6)

那么系統(tǒng)(3)的兩種疾病最終都以概率1滅絕.

證明利用伊藤公式，有

(7)

對(duì)式(7)從0到t積分，有

(8)

若式(5)成立，則有

故

兩邊同時(shí)除以t，并令t→∞，則有

若式(6)成立，則有

結(jié)合式(8)有

3.2 疾病的持久

定理3.2 假設(shè)(S(t),I1(t),I2(t),Q(t))為系統(tǒng)(3)滿足初值條件(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的解，則有

其中

對(duì)系統(tǒng)(3)從0到t積分，并兩邊同時(shí)除以t，有

A-μ〈S(t)〉-(μ+α1)〈I1(t)〉-(μ+α2)〈I2(t)〉-(μ+α)〈Q(t)〉,

(9)

因此

(10)

對(duì)lnI1(t)+a1I1(t)運(yùn)用伊藤公式，有

(11)

對(duì)式(11)從0到t積分，并兩邊同時(shí)除以t，再根據(jù)式(10)得

(12)

對(duì)系統(tǒng)(3)的第四個(gè)方程從0到t積分，并兩邊同時(shí)除以t，得

故

(13)

根據(jù)式(12)，(13)，有

(14)

因此，由式(14)可得

(15)

當(dāng)0≤〈I1(t)〉≤1時(shí)，

(16)

當(dāng)〈I1(t)〉>1時(shí)，

(17)

(18)

對(duì)lnI2(t)+a2I2(t)運(yùn)用伊藤公式，有

(19)

對(duì)式(19)從0到t積分，并兩邊同除以t，再根據(jù)式(13)、(18)得

(20)

當(dāng)0≤〈I2(t)〉≤1時(shí)，

(21)

當(dāng)〈I2(t)〉≥1時(shí)，

(22)

(iii) 由式(9)和(13)知

(23)

對(duì)V2(t)=ln[I1(t)I2(t)]+a1I1(t)+a2I2(t)運(yùn)用伊藤公式，有

a2(μ+α2+γ2+δ2)I2(t))dt+σ1S(t)dB1(t)+σ2S(t)dB2(t).

對(duì)上式從0到t積分，并兩邊同時(shí)除以t，再根據(jù)式(23)得

故

所以有

綜上所述，定理3.2得證.

4 數(shù)值模擬

我們將利用Milstein方法[10,11]以及Matlab軟件對(duì)本文的模型進(jìn)行模擬.將系統(tǒng)(3)離散化得

其中ζ(k),η(k),k=1,2,…,n,是獨(dú)立高斯隨機(jī)變量.

對(duì)于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))=(0.75,0.15,0.1,0),系統(tǒng)取以下參數(shù)：

A=0.4,μ=0.25,β1=0.7,β2=0.8,a1=0.1,a2=0.1,γ1=0.1,γ2=0.2,δ1=0.15,δ2=0.2,α1=0.4,α2=0.3,α=0.3,ξ=0.3.

圖1 隨機(jī)系統(tǒng)(3)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路徑

圖2 隨機(jī)系統(tǒng)(3)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路徑

圖3 隨機(jī)系統(tǒng)(3)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路徑

圖4 隨機(jī)系統(tǒng)(3)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路徑

5 結(jié)論

本文研究了具有雙疾病的隨機(jī)SIQS傳染病模型，證明了系統(tǒng)(3)全局正解存在唯一，給出了疾病滅絕與持久的條件.通過理論分析與數(shù)值模擬證明了環(huán)境噪聲與人為隔離措施對(duì)疾病傳播有抑制作用，因此我們可以通過增加噪聲的強(qiáng)度以及采取隔離措施來抑制疾病的暴發(fā).