何雪晴,韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541000)

1 引言及預(yù)備知識

(1)

其中S(t)為t時刻的易感者數(shù)，I(t)為t時刻的染病者數(shù)，R(t)為t時刻染病者恢復(fù)數(shù)，μ為出生率和死亡率，p是成功接種者的比例(經(jīng)常接種疫苗可降低易感者的出生率)，m是受感染父母的后代中易感個體的比例，n是受感染父母的后代中也患病的比例，m+n=1，γ為恢復(fù)率，λ為免疫喪失率.

易知模型(1)的確定性模型為

(2)

2 全局正解的存在唯一性

證明模型(1)中的系數(shù)是局部Lipschitz連續(xù)的，故在[0,τε)上存在唯一的局部解，τε是爆破時刻.下證τε=∞ a.s..令ε0>0使得S0>ε0,I0>ε0,R0>ε0.對任意正數(shù)ε≤ε0，定義停時τε：

τε=inf{t∈[0,τε):S(t)≤ε或I(t)≤ε},

V(S(t),I(t),R(t))=-lnS(t)-lnI(t)-lnR(t).

顯然V是正定的.由It公式，有

其中

于是

p+2μ+γ+λ+β+σ2∶=C,

所以

(3)

對式(3)兩邊從0到τε∧T積分并取期望，得到

EV(S(τε∧T),I(τε∧T),R(τε∧T))≤V(S0,I0,R0)+CT.

(4)

令Ωε={τε∧T}，對?ε≤ε1，則P(Ωε)>δ.即，對?ω∈Ωε，S(τε,ω),I(τε,ω),R(τε,ω)中至少有一個等于ε，所以

V(S(τε,ω),I(τε,ω),R(τε,ω))≥-lnε.

(5)

由(4)，(5)可得

V(S0,I0,R0)+CT≥E[IΩεV(S(τε∧T),I(τε∧T),R(τε∧T))]=

P(Ωε)V(S(τε),I(τε),R(τε))>-δlnε,

其中IΩε是Ωε的示性函數(shù).令ε→0，則有

∞>V(S0,I0,R0)+CT=∞,

故τ0=∞ a.s.，引理2.1得證.

根據(jù)引理2.1，可設(shè)一個正不變集Γ，對任意初始值(S0,I0,R0)∈Γ，

由此可給出如下引理.

引理2.2 令(S(t),I(t),R(t))是模型(1)的解，(S0,I0,R0)∈Γ，則

其中k為有限常數(shù).再由Borel-Cantelli引理[13]，對幾乎所有的ω∈Ω，可以得到

P(Ωε)≥1-ε,t≥T(ω),ω∈Ωε,

因此

故引理2.2得證.

3 疾病的滅絕性

本節(jié)給出疾病幾乎必然滅絕的一個充分條件.令

證明設(shè)(S(t),I(t),R(t))是模型(2)的解，初值(S0,I0,R0)∈Γ.對模型(2)的第二個等式利用It公式得

(6)

對式(6)兩邊從0到t積分，有

(nμ-γ-μ)t+M(t)+lnI(0),

(7)

(8)

對式(8)兩邊同時除以t，得

(9)

(10)

進而有

(11)

對式(11)兩邊同時取上極限得

綜上所述，定理3.1得證.

4 疾病的持久性

證明對模型(1)中的第三個等式的兩邊進行從0到t積分，并且同時除以t得到

(12)

由S(t)+I(t)+R(t)=1，可知〈S(t)〉+〈I(t)〉+〈R(t)〉=1，從而

又由(6)可知

(13)

對式(13)兩端從0到t進行積分，并且同時除以t有

故

(14)

又因為R(t),I(t)≤1，故有

所以由式(12)可知

對式(14)兩端同時取下極限，得到

因此定理4.1得證.

5 數(shù)值模擬與結(jié)論

為了驗證得出的結(jié)果，下面通過使用 Euler Maruyama(EM)方法[13]，對模型(1)和(2)進行數(shù)值模擬.為了驗證得出的結(jié)果，取g(I)=0.001,初始值為(S0,I0,R0)=(0.7,0.5.0.3).當(dāng)σ=0時，對應(yīng)確定性模型(2)選取β=0.07,γ=0.113,m=0.04,n=0.96,μ=0.008,P=0.001,λ=0.002,α=0.001，則R0≈0.56<1，無病平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的，如圖1；若β=0.15，則R0≈1.60>1，地方病平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的，如圖2.

圖 1 圖 2

圖 3 圖 4

圖 5