一類Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑?？刂?/h1>
2021-04-27 02:39:42李德奎張懷德
李德奎， 張懷德
( 甘肅中醫(yī)藥大學(xué)(定西校區(qū)) 理科教學(xué)部，甘肅 定西 743000 )
0 引言
混沌運(yùn)動(dòng)是非線性系統(tǒng)在特定條件下獨(dú)有的一種運(yùn)動(dòng)形式.近年來，許多學(xué)者對(duì)Duffing系統(tǒng)[1]和Van der Pol系統(tǒng)[2]進(jìn)行了廣泛研究，并提出了Van der Pol-Duffing系統(tǒng).由于Van der Pol-Duffing系統(tǒng)中既含有Van der Pol系統(tǒng)維持自激振蕩的非線性阻尼項(xiàng)，又含有Duffing系統(tǒng)的3次非線性恢復(fù)力項(xiàng)，因此它具有非常豐富的動(dòng)力學(xué)特性[3-6].目前，對(duì)Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的研究主要集中在其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)方面，如混沌與分岔、微弱信號(hào)檢測(cè)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等.文獻(xiàn)[7]提出了一類含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)，并應(yīng)用多尺度法研究了該系統(tǒng)的Hopf分岔控制問題，但未能對(duì)該系統(tǒng)的混沌控制問題進(jìn)行深入研究.混沌控制與同步是混沌研究和應(yīng)用的兩個(gè)重要方面，其相關(guān)研究已取得較多成果，如參數(shù)微擾法(OGY方法)[8-9]、時(shí)滯反饋控制法[10]、自適應(yīng)控制法[11]、滑?？刂品╗12-13]等.滑模變結(jié)構(gòu)控制法是通過對(duì)控制器進(jìn)行來回切換將系統(tǒng)控制到預(yù)定的狀態(tài)，因此該系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性.基于以上研究，本文研究一類含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制問題，并在系統(tǒng)參數(shù)已知和未知的兩種情況下分別通過構(gòu)造有效的變結(jié)構(gòu)滑模控制器，將該系統(tǒng)控制到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).
1 模型的描述
Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的一般方程為
(1)
式中：x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ為阻尼系數(shù)，a和b分別為線性和非線性剛性系數(shù)，f為外力激勵(lì)的振幅，ω為外力激勵(lì)的頻率，φ為外力激勵(lì)的初相.系統(tǒng)(1)具有線性項(xiàng)和非線性3次冪項(xiàng).
文獻(xiàn)[7]給出了一類改進(jìn)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)，該系統(tǒng)同時(shí)含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)，其動(dòng)力學(xué)方程為
(2)
其中ai(i=1,2,3,4)和b為系統(tǒng)參數(shù)，其余字母的含義與系統(tǒng)(1)中的相同字母所表示的意義相同.與系統(tǒng)(1)相比可知，系統(tǒng)(2)增加了兩個(gè)高次項(xiàng)，因此系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜.
系統(tǒng)(2)可進(jìn)一步寫成如下形式的微分方程組：
(3)
采用Runge-Kutta方法對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行數(shù)值仿真，參數(shù)取a1=-1.5，a2=3，a3=1.2，a4=2.5，f=6，ω=2，φ=0，初值條件為x(0)=0.5，y(0)=0.3.系統(tǒng)(3)的狀態(tài)變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖如圖1所示.從圖1可以看出，在其他參數(shù)一定的情況下，隨著參數(shù)b的變化系統(tǒng)出現(xiàn)了周期運(yùn)動(dòng)、倍周期分岔、混沌等現(xiàn)象，由此表明系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.從圖1還可以看出，當(dāng)參數(shù)b=-1時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)參數(shù)b=-1時(shí)，系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示.從圖2可以看出，當(dāng)參數(shù)b=-1時(shí)，系統(tǒng)(3)有一個(gè)Lyapunov指數(shù)(λ1=1.239 3)大于0，這說明在給定的參數(shù)條件下系統(tǒng)(3)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并具有如圖3所示的混沌吸引子相圖.
圖1 狀態(tài)變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖
圖2 系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜
2 系統(tǒng)參數(shù)已知的滑模變結(jié)構(gòu)控制
描述參數(shù)已知的受控Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的方程為:
(4)
(5)
為了使誤差系統(tǒng)(5)的零解是漸近穩(wěn)定的，需要對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行滑?？刂疲瑸榇诉x取的滑模面為
τ=ke1+e2,
(6)
式中k>0.根據(jù)霍爾維茨定理可知，式(6)是漸近穩(wěn)定的.
為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(4)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并穩(wěn)定于式(6)，需構(gòu)造有效的滑?？刂破?首先選取Lyapunov函數(shù)V=τ2,顯然V>0.對(duì)Lyapunov函數(shù)沿式(5)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得
(7)
(8)
定理1若選取變結(jié)構(gòu)滑模控制器(8)，則誤差系統(tǒng)(5)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并穩(wěn)定于式(6)，即混沌系統(tǒng)(4)能夠在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定跟蹤到信號(hào)y.
下面利用數(shù)值仿真驗(yàn)證定理1的正確性.任意選取二階可導(dǎo)的連續(xù)有界信號(hào)y=cost，取k=1，其余參數(shù)已知，初值條件為x1(0)=0.5，x2(0)=0.3.由l1從圖5可以看出，滑模變結(jié)構(gòu)控制器(8)對(duì)系統(tǒng)(4)的跟蹤控制效果較為理想.其中：圖5(a)中的誤差曲線快速趨向于零刻度線，說明狀態(tài)變量曲線快速趨向目標(biāo)曲線；圖5(b)中的狀態(tài)曲線x1能夠快速追蹤目標(biāo)曲線cost，說明所構(gòu)造的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?8)能夠?qū)ο到y(tǒng)(4)進(jìn)行有效控制.根據(jù)誤差的定義，當(dāng)e1=x1-cost→0，e2=x2+sint→0時(shí)，x1→cost，x2→-sint，這說明滑?？刂破?8)將圖3所示的混沌曲線控制到了單位圓上(如圖5(c)所示).
在數(shù)值仿真中，l2和l1也可分別取函數(shù)g(e1,e2,y)的任意上、下界，并且l2和l1取值的絕對(duì)值越大，混沌系統(tǒng)(4)穩(wěn)定跟蹤到預(yù)設(shè)信號(hào)的時(shí)間越短.因此，只要l2和l1取較大的絕對(duì)值就可使混沌系統(tǒng)(4)跟蹤到預(yù)設(shè)信號(hào)，從而使控制器的選取變得更加簡單.
圖3 系統(tǒng)(3)的混沌吸引子相圖
圖4 函數(shù)g(e1,e2,y)隨時(shí)間變化的序列圖
(a)系統(tǒng)(4)的誤差曲線 (b)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)變量曲線 (c)系統(tǒng)(4)的相圖圖5 滑?？刂破?8)對(duì)系統(tǒng)(4)的控制效果
3 參數(shù)未知系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑?？刂?/h2>
描述參數(shù)未知的受控Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的方程為：
(9)
(10)
為了使誤差系統(tǒng)(5)的零解是漸近穩(wěn)定的，需對(duì)其進(jìn)行滑模控制，為此選取的滑模面為
τ=e1+e2.
(11)
(12)
(13)
將式(13)代入式(12)中可得
定理2若選取自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)滑?？刂破骱臀粗獏?shù)辨識(shí)法則(13)，則誤差系統(tǒng)(10)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并穩(wěn)定于式(11)，即混沌系統(tǒng)(9)能夠在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定跟蹤到信號(hào)y.
下面利用數(shù)值仿真驗(yàn)證定理2的正確性.任意選取二階可導(dǎo)的連續(xù)有界信號(hào)y=sint，初值條件取x1(0)=0.5，x2(0)=0.3，固有參數(shù)值為a1=-1.5，a2=3，a3=1.2，a4=2.5，f=6，ω=2，φ=0.由式(13)可知，對(duì)系統(tǒng)(9)施加的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制器以及未知參數(shù)的辨識(shí)法則可分別表示為：
sint-6sgn(x1+x2-sint-cost)；
(14)
(15)
對(duì)系統(tǒng)(9)施加自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)滑模控制器(14)后得到的對(duì)信號(hào)y=sint的跟蹤效果如圖6所示.從圖6可以看出，自適應(yīng)滑?？刂破?14)對(duì)系統(tǒng)(9)的跟蹤控制效果較為理想.其中：圖6(a)中的誤差曲線快速穩(wěn)定于零刻度線，說明狀態(tài)變量曲線快速趨向目標(biāo)曲線；圖6(b)中的狀態(tài)變量曲線x1快速追蹤到目標(biāo)曲線sint，說明所構(gòu)造的自適應(yīng)滑?？刂破?14)能夠?qū)ο到y(tǒng)(9)進(jìn)行有效的控制.根據(jù)誤差的定義，當(dāng)e1=x1-sint→0，e2=x2-cost→0時(shí)，x1→sint，x2→cost，說明自適應(yīng)滑?？刂破?14)將圖3所示的混沌曲線控制到了單位圓上，如圖6(c)所示.
(a)系統(tǒng)(9)的誤差曲線 (b)系統(tǒng)(9)的狀態(tài)變量曲線 (c)系統(tǒng)(9)的相圖圖6 自適應(yīng)滑模控制器(14)對(duì)系統(tǒng)(9)的控制效果
4 結(jié)論
本文基于Lyapunov指數(shù)理論和分岔理論對(duì)一類含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為(包括周期運(yùn)動(dòng)、倍周期分岔、混沌運(yùn)動(dòng)等).通過構(gòu)造兩類簡單的變結(jié)構(gòu)滑模控制器對(duì)該系統(tǒng)的混沌行為進(jìn)行跟蹤控制發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)在參數(shù)已知和未知兩種情況下均能夠被跟蹤控制到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).研究還表明，在系統(tǒng)參數(shù)已知的情況下，該系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑模控制器的選取非常簡單，只要l2和l1取絕對(duì)值較大的數(shù)值就可使該系統(tǒng)能夠跟蹤到預(yù)設(shè)的信號(hào)，且絕對(duì)值越大，控制所需的時(shí)間越短.
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( 甘肅中醫(yī)藥大學(xué)(定西校區(qū)) 理科教學(xué)部，甘肅 定西 743000 )
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混沌運(yùn)動(dòng)是非線性系統(tǒng)在特定條件下獨(dú)有的一種運(yùn)動(dòng)形式.近年來，許多學(xué)者對(duì)Duffing系統(tǒng)[1]和Van der Pol系統(tǒng)[2]進(jìn)行了廣泛研究，并提出了Van der Pol-Duffing系統(tǒng).由于Van der Pol-Duffing系統(tǒng)中既含有Van der Pol系統(tǒng)維持自激振蕩的非線性阻尼項(xiàng)，又含有Duffing系統(tǒng)的3次非線性恢復(fù)力項(xiàng)，因此它具有非常豐富的動(dòng)力學(xué)特性[3-6].目前，對(duì)Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的研究主要集中在其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)方面，如混沌與分岔、微弱信號(hào)檢測(cè)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等.文獻(xiàn)[7]提出了一類含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)，并應(yīng)用多尺度法研究了該系統(tǒng)的Hopf分岔控制問題，但未能對(duì)該系統(tǒng)的混沌控制問題進(jìn)行深入研究.混沌控制與同步是混沌研究和應(yīng)用的兩個(gè)重要方面，其相關(guān)研究已取得較多成果，如參數(shù)微擾法(OGY方法)[8-9]、時(shí)滯反饋控制法[10]、自適應(yīng)控制法[11]、滑?？刂品╗12-13]等.滑模變結(jié)構(gòu)控制法是通過對(duì)控制器進(jìn)行來回切換將系統(tǒng)控制到預(yù)定的狀態(tài)，因此該系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性.基于以上研究，本文研究一類含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制問題，并在系統(tǒng)參數(shù)已知和未知的兩種情況下分別通過構(gòu)造有效的變結(jié)構(gòu)滑模控制器，將該系統(tǒng)控制到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).
1 模型的描述
Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的一般方程為
(1)
式中：x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ為阻尼系數(shù)，a和b分別為線性和非線性剛性系數(shù)，f為外力激勵(lì)的振幅，ω為外力激勵(lì)的頻率，φ為外力激勵(lì)的初相.系統(tǒng)(1)具有線性項(xiàng)和非線性3次冪項(xiàng).
文獻(xiàn)[7]給出了一類改進(jìn)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)，該系統(tǒng)同時(shí)含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)，其動(dòng)力學(xué)方程為
(2)
其中ai(i=1,2,3,4)和b為系統(tǒng)參數(shù)，其余字母的含義與系統(tǒng)(1)中的相同字母所表示的意義相同.與系統(tǒng)(1)相比可知，系統(tǒng)(2)增加了兩個(gè)高次項(xiàng)，因此系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜.
系統(tǒng)(2)可進(jìn)一步寫成如下形式的微分方程組：
(3)
采用Runge-Kutta方法對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行數(shù)值仿真，參數(shù)取a1=-1.5，a2=3，a3=1.2，a4=2.5，f=6，ω=2，φ=0，初值條件為x(0)=0.5，y(0)=0.3.系統(tǒng)(3)的狀態(tài)變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖如圖1所示.從圖1可以看出，在其他參數(shù)一定的情況下，隨著參數(shù)b的變化系統(tǒng)出現(xiàn)了周期運(yùn)動(dòng)、倍周期分岔、混沌等現(xiàn)象，由此表明系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.從圖1還可以看出，當(dāng)參數(shù)b=-1時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)參數(shù)b=-1時(shí)，系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示.從圖2可以看出，當(dāng)參數(shù)b=-1時(shí)，系統(tǒng)(3)有一個(gè)Lyapunov指數(shù)(λ1=1.239 3)大于0，這說明在給定的參數(shù)條件下系統(tǒng)(3)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并具有如圖3所示的混沌吸引子相圖.
圖1 狀態(tài)變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖
圖2 系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜
2 系統(tǒng)參數(shù)已知的滑模變結(jié)構(gòu)控制
描述參數(shù)已知的受控Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的方程為:
(4)
(5)
為了使誤差系統(tǒng)(5)的零解是漸近穩(wěn)定的，需要對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行滑?？刂疲瑸榇诉x取的滑模面為
τ=ke1+e2,
(6)
式中k>0.根據(jù)霍爾維茨定理可知，式(6)是漸近穩(wěn)定的.
為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(4)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并穩(wěn)定于式(6)，需構(gòu)造有效的滑?？刂破?首先選取Lyapunov函數(shù)V=τ2,顯然V>0.對(duì)Lyapunov函數(shù)沿式(5)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得
(7)
(8)
定理1若選取變結(jié)構(gòu)滑模控制器(8)，則誤差系統(tǒng)(5)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并穩(wěn)定于式(6)，即混沌系統(tǒng)(4)能夠在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定跟蹤到信號(hào)y.
下面利用數(shù)值仿真驗(yàn)證定理1的正確性.任意選取二階可導(dǎo)的連續(xù)有界信號(hào)y=cost，取k=1，其余參數(shù)已知，初值條件為x1(0)=0.5，x2(0)=0.3.由l1 從圖5可以看出，滑模變結(jié)構(gòu)控制器(8)對(duì)系統(tǒng)(4)的跟蹤控制效果較為理想.其中：圖5(a)中的誤差曲線快速趨向于零刻度線，說明狀態(tài)變量曲線快速趨向目標(biāo)曲線；圖5(b)中的狀態(tài)曲線x1能夠快速追蹤目標(biāo)曲線cost，說明所構(gòu)造的變結(jié)構(gòu)滑?？刂破?8)能夠?qū)ο到y(tǒng)(4)進(jìn)行有效控制.根據(jù)誤差的定義，當(dāng)e1=x1-cost→0，e2=x2+sint→0時(shí)，x1→cost，x2→-sint，這說明滑?？刂破?8)將圖3所示的混沌曲線控制到了單位圓上(如圖5(c)所示). 在數(shù)值仿真中，l2和l1也可分別取函數(shù)g(e1,e2,y)的任意上、下界，并且l2和l1取值的絕對(duì)值越大，混沌系統(tǒng)(4)穩(wěn)定跟蹤到預(yù)設(shè)信號(hào)的時(shí)間越短.因此，只要l2和l1取較大的絕對(duì)值就可使混沌系統(tǒng)(4)跟蹤到預(yù)設(shè)信號(hào)，從而使控制器的選取變得更加簡單. 圖3 系統(tǒng)(3)的混沌吸引子相圖 圖4 函數(shù)g(e1,e2,y)隨時(shí)間變化的序列圖 (a)系統(tǒng)(4)的誤差曲線 (b)系統(tǒng)(4)的狀態(tài)變量曲線 (c)系統(tǒng)(4)的相圖圖5 滑?？刂破?8)對(duì)系統(tǒng)(4)的控制效果 描述參數(shù)未知的受控Van der Pol-Duffing系統(tǒng)的方程為： (9) (10) 為了使誤差系統(tǒng)(5)的零解是漸近穩(wěn)定的，需對(duì)其進(jìn)行滑模控制，為此選取的滑模面為 τ=e1+e2. (11) (12) (13) 將式(13)代入式(12)中可得 定理2若選取自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)滑?？刂破骱臀粗獏?shù)辨識(shí)法則(13)，則誤差系統(tǒng)(10)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并穩(wěn)定于式(11)，即混沌系統(tǒng)(9)能夠在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定跟蹤到信號(hào)y. 下面利用數(shù)值仿真驗(yàn)證定理2的正確性.任意選取二階可導(dǎo)的連續(xù)有界信號(hào)y=sint，初值條件取x1(0)=0.5，x2(0)=0.3，固有參數(shù)值為a1=-1.5，a2=3，a3=1.2，a4=2.5，f=6，ω=2，φ=0.由式(13)可知，對(duì)系統(tǒng)(9)施加的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制器以及未知參數(shù)的辨識(shí)法則可分別表示為： sint-6sgn(x1+x2-sint-cost)； (14) (15) 對(duì)系統(tǒng)(9)施加自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)滑模控制器(14)后得到的對(duì)信號(hào)y=sint的跟蹤效果如圖6所示.從圖6可以看出，自適應(yīng)滑?？刂破?14)對(duì)系統(tǒng)(9)的跟蹤控制效果較為理想.其中：圖6(a)中的誤差曲線快速穩(wěn)定于零刻度線，說明狀態(tài)變量曲線快速趨向目標(biāo)曲線；圖6(b)中的狀態(tài)變量曲線x1快速追蹤到目標(biāo)曲線sint，說明所構(gòu)造的自適應(yīng)滑?？刂破?14)能夠?qū)ο到y(tǒng)(9)進(jìn)行有效的控制.根據(jù)誤差的定義，當(dāng)e1=x1-sint→0，e2=x2-cost→0時(shí)，x1→sint，x2→cost，說明自適應(yīng)滑?？刂破?14)將圖3所示的混沌曲線控制到了單位圓上，如圖6(c)所示. (a)系統(tǒng)(9)的誤差曲線 (b)系統(tǒng)(9)的狀態(tài)變量曲線 (c)系統(tǒng)(9)的相圖圖6 自適應(yīng)滑模控制器(14)對(duì)系統(tǒng)(9)的控制效果 本文基于Lyapunov指數(shù)理論和分岔理論對(duì)一類含有平方項(xiàng)和5次冪項(xiàng)的Van der Pol-Duffing系統(tǒng)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為(包括周期運(yùn)動(dòng)、倍周期分岔、混沌運(yùn)動(dòng)等).通過構(gòu)造兩類簡單的變結(jié)構(gòu)滑模控制器對(duì)該系統(tǒng)的混沌行為進(jìn)行跟蹤控制發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)在參數(shù)已知和未知兩種情況下均能夠被跟蹤控制到預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).研究還表明，在系統(tǒng)參數(shù)已知的情況下，該系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑模控制器的選取非常簡單，只要l2和l1取絕對(duì)值較大的數(shù)值就可使該系統(tǒng)能夠跟蹤到預(yù)設(shè)的信號(hào)，且絕對(duì)值越大，控制所需的時(shí)間越短.3 參數(shù)未知系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑?？刂?/h2>
4 結(jié)論
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