吳燕林， 錢曉濤

( 陽(yáng)光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，福建 福州 350015 )

并證明了該問(wèn)題至少存在一個(gè)正基態(tài)解.該結(jié)果補(bǔ)充了文獻(xiàn)[1-4]關(guān)于正基態(tài)解的存在性結(jié)果.

0 引言

本文考慮如下Kirchhoff型問(wèn)題：

(1)

其中：a,b>0;N=2,3;非線性項(xiàng)冪次40,且Q(x)∈L∞(RN).

為了得到問(wèn)題(1)的正解，本文定義如下泛函：

1 預(yù)備知識(shí)

給出一些記號(hào)：H1(RN)和Ls(RN) (2≤s≤2*)均為標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev空間，?和→分別表示弱收斂和強(qiáng)收斂，Br(x0)表示以x0為中心、r為半徑的球.當(dāng)無(wú)特別指出時(shí)，默認(rèn)為收斂是n→∞情況下的.固定p∈(2,2*)，則由H1(RN)的嵌入性質(zhì)可定義如下：

以下首先證明泛函I具有山路幾何結(jié)構(gòu).

因此存在t0>ρ，使得I(t0u0)<0.令e=t0u0，由此引理1得證.

引理2{un}在H1(RN)中有界.

證明由{un}是泛函I的一列(PS)c*序列可知

因此un→0于H1(RN).于是有I(un)→0，這與I(un)→c*≥α>0矛盾.引理3證畢.

為了得到方程(1)的基態(tài)解，定義如下的Nehari流形：

Λ={u∈H1(RN){0}:G(u)=0}，

其中G(u)=〈I′(u),u〉.

證明對(duì)于任意的u∈Λ，有

令δ=(p-2)σ2，由此即可證得引理4成立.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正基態(tài)解.

令vn(x)∶=un(x+yn)，則由全空間RN的平移不變性知{vn}也是泛函I的一個(gè)有界(PS)c*序列.于是，可以假設(shè)v*∈H1(RN)滿足vn?v*于H1(RN)，且vn→v*于L2(BR(0)).又因?yàn)?/p>

所以v*≠0.

在上式中，取φ=v*，則

(2)

再取t*=t*(v*)∈R+使得t*v*∈Λ，則

其中第2個(gè)不等式使用了Fatou引理，故I(v*)=c*.這表明v*≥0是問(wèn)題(1)的非平凡基態(tài)解.再由標(biāo)準(zhǔn)的正則性提升方法和強(qiáng)極大值原理可知，v*>0.綜上可知，v*是問(wèn)題(1)的正基態(tài)解，定理1證畢.

注顯然，文獻(xiàn)[1-4]的Q(x)均滿足本文的條件，因此本文的結(jié)果可以看作是文獻(xiàn)[1-4]的補(bǔ)充.