陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院力學(xué)系，上海200444)

17 世紀(jì)，人們開始對模態(tài)有所認(rèn)識。1733 年丹尼爾·伯努利 (Daniel Bernoulli) 在研究垂直懸掛細(xì)線振動時發(fā)現(xiàn)存在不同的模態(tài)，1742 年對振動桿的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)振動為不同模態(tài)的疊加[1]。1747 年，歐拉 (L. Euler) 研究相同彈簧水平連接相同n個質(zhì)點(diǎn)的縱向振動時，不僅精確地求出了n個模態(tài)，而且證明每個質(zhì)點(diǎn)的振動是這些模態(tài)振動的疊加[2]。經(jīng)過拉格朗日(J.L.Lagrange)[3]、瑞利(J.W.S.Rayleigh)[4]、開爾文 (T.W. Kelvin) 和臺特 (P.G. Tait)[5]的發(fā)展和應(yīng)用，模態(tài)概念成熟完善，成為多自由度振動分析的基礎(chǔ)，也是國內(nèi)外振動教材中[6-10]的重要內(nèi)容。雖然模態(tài)概念是解耦多自由度系統(tǒng)或連續(xù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，但在教學(xué)中往往著重介紹模態(tài)分析法，對模態(tài)概念沒有重點(diǎn)闡述，因此學(xué)生缺乏對模態(tài)概念的透徹理解。這樣，面對模態(tài)概念的進(jìn)一步發(fā)展，如復(fù)模態(tài)和非線性模態(tài)，尤其覺得困惑。本文較為詳細(xì)地解釋了模態(tài)概念的基本屬性，分析了模態(tài)概念發(fā)展為復(fù)模態(tài)概念和非線性模態(tài)概念時保留或舍棄了模態(tài)的哪些屬性。這將有助于模態(tài)概念的教學(xué)，教師可以從更廣泛的角度深入理解模態(tài)，從而幫助學(xué)生全面掌握模態(tài)概念。以下討論主要是針對離散振動系統(tǒng)，連續(xù)振動系統(tǒng)基本上也有平行的結(jié)論。

1 固有模態(tài)

模態(tài)是系統(tǒng)的一種特征振動性態(tài)，系統(tǒng)中各廣義坐標(biāo)以相同的頻率振動。因此，模態(tài)由模態(tài)頻率和模態(tài)振型兩個基本量刻畫，模態(tài)頻率為系統(tǒng)呈現(xiàn)單頻振動時的頻率，模態(tài)振型為各廣義坐標(biāo)同頻振動時最大位移的相對關(guān)系。模態(tài)振型簡稱為振型，也稱為主振型，有些文獻(xiàn)中稱為模態(tài)或主模態(tài)。線性離散振動系統(tǒng)存在的模態(tài)個數(shù)為其自由度數(shù)，線性連續(xù)振動系統(tǒng)存在著無窮多個模態(tài)。模態(tài)是線性系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼等因素，與激勵無關(guān)，可以在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行測量和辨識。

最初對模態(tài)的研究，不僅局限于線性系統(tǒng)，而且忽略了阻尼因素，即為無阻尼線性振動系統(tǒng)。振動系統(tǒng)的特性由質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K決定。對于n自由度系統(tǒng)，振動方程為

其中x為廣義坐標(biāo)構(gòu)成的n×1 列陣，n×n質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K為對稱矩陣。模態(tài)可以由廣義特征值問題求解。特征值為實(shí)數(shù)，就是固有頻率，而特征向量就是模態(tài)振型。這種振型不隨時間變化，在所討論的離散振動系統(tǒng)可以用常向量表示。從能量角度考慮，每個模態(tài)上機(jī)械能守恒，模態(tài)之間沒有能量交換。這個物理事實(shí)的數(shù)學(xué)表述就是模態(tài)振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣的正交性。

系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)以相同的頻率振動，意味著運(yùn)動具有一致性或同頻性。模態(tài)的出現(xiàn)依賴于激勵，特定初值條件符合某個模態(tài)振型時，自由振動就以該模態(tài)頻率振動。這意味著初值在某個模態(tài)上時后續(xù)的運(yùn)動都在該模態(tài)上，即模態(tài)上的運(yùn)動具有不變性。如前所述，模態(tài)之間彼此獨(dú)立，不發(fā)生能量轉(zhuǎn)移，模態(tài)振型彼此正交。在一般初值激勵下，線性系統(tǒng)的自由振動是各模態(tài)振動的疊加。這種同頻性、不變性、正交性和疊加性是模態(tài)的基本屬性。

2 從實(shí)模態(tài)到復(fù)模態(tài)

當(dāng)系統(tǒng)存在大范圍整體運(yùn)動對局部振動影響時，有陀螺效應(yīng)，振動方程中含有相應(yīng)的陀螺項(xiàng)。n自由度離散陀螺系統(tǒng)的振動方程為

其中x為廣義坐標(biāo)構(gòu)成的n×1 列陣，n×n質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K為對稱矩陣，陀螺矩陣G為反對稱矩陣。陀螺矩陣與廣義速度列陣的乘積為陀螺項(xiàng)。在連續(xù)振動系統(tǒng)情形，陀螺項(xiàng)是對時間一階和對空間坐標(biāo)奇數(shù)階的混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。Meirovitch[11]發(fā)展了陀螺系統(tǒng)的模態(tài)分析方法。由廣義速度和廣義坐標(biāo)構(gòu)成狀態(tài)變量，把方程(2) 改寫為狀態(tài)空間的形式

由此求解廣義特征值問題。所得到的特征值為成對出現(xiàn)的2n個純虛數(shù)，n個虛部系數(shù)即是振動系統(tǒng)的頻率；特征向量為2n×1 復(fù)數(shù)列陣。對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的特征向量中第n+1 行到2n行構(gòu)成的n×1 復(fù)數(shù)列陣稱為陀螺模態(tài)振型。陀螺模態(tài)振型為復(fù)數(shù)。陀螺振動系統(tǒng)仍存在模態(tài)頻率，系統(tǒng)自由振動為各模態(tài)頻率振動的疊加，模態(tài)頻率振動仍是簡諧振動。但由于陀螺效應(yīng)，沒有前述經(jīng)典模態(tài)意義上獨(dú)立于時間的振型。

需要考慮阻尼時，振動方程中增加了阻尼項(xiàng)。n自由度離散阻尼系統(tǒng)的振動方程為

其中x為廣義坐標(biāo)構(gòu)成的n×1 列陣，n×n質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K為對稱矩陣。阻尼矩陣與廣義速度列陣的乘積為阻尼項(xiàng)。在連續(xù)振動系統(tǒng)情形，陀螺項(xiàng)是對時間一階和對空間坐標(biāo)偶數(shù)階的混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。Foss[12]給出一般黏性阻尼系統(tǒng)解耦的方法。由廣義速度和廣義坐標(biāo)構(gòu)成狀態(tài)變量，把方程(4) 改寫為狀態(tài)空間的形式

由此求解廣義特征值問題。與陀螺系統(tǒng)不同，所得到的特征值為成對出現(xiàn)的2n個復(fù)數(shù)。n個虛部系數(shù)為振動系統(tǒng)的阻尼頻率，n個實(shí)部系數(shù)為振動系統(tǒng)的衰減系數(shù)。阻尼頻率不是數(shù)學(xué)意義上的頻率，即振動在單位時間重復(fù)發(fā)生的次數(shù)，而是振動在單位時間通過平衡點(diǎn)或達(dá)到最大值次數(shù)，因?yàn)槟B(tài)振動在數(shù)學(xué)意義上已經(jīng)不是周期運(yùn)動，但仍是具有等時性的往復(fù)運(yùn)動。與陀螺系統(tǒng)類似，特征向量為2n×1 復(fù)數(shù)列陣。對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的特征向量中第n+1 行到2n行構(gòu)成的n×1 復(fù)數(shù)列陣稱為阻尼模態(tài)振型。阻尼模態(tài)振型為復(fù)數(shù)。阻尼振動系統(tǒng)仍存在模態(tài)頻率，系統(tǒng)自由振動為各模態(tài)振動的疊加，模態(tài)振動不再是簡諧振動而是衰減振動。除了比例阻尼等特殊情形[13]，阻尼模態(tài)振型不是前述經(jīng)典模態(tài)意義上獨(dú)立于時間的振型。

陀螺模態(tài)和阻尼模態(tài)的共同之處是模態(tài)振型為復(fù)數(shù)，兩者統(tǒng)稱為復(fù)模態(tài)。復(fù)模態(tài)仍有頻率的等時性，系統(tǒng)以單一頻率運(yùn)動，即作模態(tài)振動；正交性和疊加性都需要在狀態(tài)空間中建立；一般不具有不變性。陀螺或阻尼振動系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)仍有模態(tài)頻率的概念，但沒有保守振動系統(tǒng)那種具有不變性的模態(tài)振型。復(fù)模態(tài)頻率和復(fù)模態(tài)振型都是阻尼或陀螺系統(tǒng)客觀的固有振動性質(zhì)，取決于系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼等因素，可以由實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測量和識別。

復(fù)模態(tài)振型與實(shí)模態(tài)振型既有相似之處，也有不同之處。兩者都具有正交性，但復(fù)模態(tài)振型的正交性需要在狀態(tài)空間中定義，不存在實(shí)模態(tài)振型那種在位形空間中定義的正交性。因此，應(yīng)用復(fù)模態(tài)正交性進(jìn)行解耦時，要在狀態(tài)空間中進(jìn)行。不論是復(fù)模態(tài)還是實(shí)模態(tài)，系統(tǒng)響應(yīng)均為模態(tài)振動的疊加，但復(fù)模態(tài)分析中的疊加要在狀態(tài)空間中進(jìn)行。有一般阻尼或陀螺效應(yīng)時，系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)的模態(tài)振動同頻但存在相位差，通常不同時取極值，也不同時通過平衡位置。因此，復(fù)模態(tài)沒有反映各廣義坐標(biāo)上取極值時的相對大小意義上的振型，一般也沒有固定不變的節(jié)點(diǎn)。在連續(xù)系統(tǒng)的情形，振動由行波而不是駐波所產(chǎn)生。

復(fù)模態(tài)保持了實(shí)模態(tài)的同頻性，但不具有實(shí)模態(tài)的不變性，正交性和疊加性都需要在狀態(tài)空間中建立。因此，復(fù)模態(tài)并非經(jīng)典意義上的模態(tài)，是獨(dú)立的概念，不能望文生義地理解為用復(fù)數(shù)表示的模態(tài)。

3 從線性模態(tài)到非線性模態(tài)

非線性模態(tài)是推廣模態(tài)概念到非線性振動系統(tǒng)的嘗試。描述在特定條件下，系統(tǒng)響應(yīng)所包含的單頻成分。為突出區(qū)別，線性振動系統(tǒng)的模態(tài)稱為線性模態(tài)。早期的非線性模態(tài)著重刻畫系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)同頻運(yùn)動的同頻性，本質(zhì)上是固有模態(tài)對非線性系統(tǒng)的推廣。隨后的非線性模態(tài)定義為狀態(tài)空間中的不變流形。非線性系統(tǒng)仍保留著同頻性或不變性，但通常沒有正交性和疊加性。

非線性模態(tài)的概念最初由Rosenberg 在1966 年提出[14]。針對無阻尼非線性振動系統(tǒng)，他將非線性模態(tài)定義為系統(tǒng)的同頻或一致運(yùn)動，系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)同時達(dá)到極值和同時通過平衡位置；若各廣義位移之間存在線性關(guān)系，則稱之為相似非線性模態(tài)；否則即為非相似非線性模態(tài)。這種定義有內(nèi)在局限性，僅限于無阻尼系統(tǒng)，而且在有內(nèi)共振情形系統(tǒng)可能出現(xiàn)快慢運(yùn)動破壞了非線性模態(tài)所要求的一致性。1991年，Shaw 等[15]提出了阻尼非線性系統(tǒng)的非線性模態(tài)，把相空間的不變流形定義為非線性模態(tài)，這樣初始位移和速度符合某一非線性模態(tài)或在該其吸引盆內(nèi)，隨后系統(tǒng)就按該非線性模態(tài)運(yùn)動。

非線性模態(tài)具有若干基本性質(zhì)。第一，振動頻率依賴于激勵幅值。即使系統(tǒng)做同頻周期運(yùn)動，其頻率也與初始激勵或初始能量有關(guān)。第二，在線性派生系統(tǒng)的固有頻率有理通約時，非線性模態(tài)間仍可能存在內(nèi)共振使得模態(tài)間有能量交換。第三，非線性模態(tài)的數(shù)目和穩(wěn)定性可能隨著系統(tǒng)參數(shù)變化，也可能隨著系統(tǒng)能量變化，即與運(yùn)動幅值有關(guān)。非線性模態(tài)的數(shù)目可能多于系統(tǒng)自由度數(shù)，存在不穩(wěn)定的非線性模態(tài)。從這些性質(zhì)可見，非線性模態(tài)與線性模態(tài)有顯著的差別。因此，非線性模態(tài)不是經(jīng)典意義上的模態(tài)，是獨(dú)立的概念，不能簡單理解為是非線性系統(tǒng)中的模態(tài)。

與實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)都由線性代數(shù)的廣義特征值問題導(dǎo)出不同，非線性模態(tài)需要用解析方法或近似解析方法確定[16]。解析方法有基于能量分析的方法，但應(yīng)用過程中需要某種對稱性，目前只適用于奇數(shù)階非線性項(xiàng)的情形；還有不變流形方法，其中用到冪級數(shù)展開，通常只適用于運(yùn)動幅值較小的情形。近似解析方法有多尺度法，適用于非線性較弱的情形；還有諧波平衡法，可應(yīng)用于強(qiáng)非線性的情形，但盡管可以進(jìn)行符號運(yùn)算，分析自由度數(shù)較大的系統(tǒng)仍很復(fù)雜。非線性模態(tài)也可以用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算。

雖然非線性模態(tài)的應(yīng)用因疊加原理不成立而受到限制，非線性模態(tài)仍可望成為分析特定非線性振動系統(tǒng)的一種工具[17-18]。

4 總結(jié)

經(jīng)典的模態(tài)(也稱實(shí)模態(tài)或線性模態(tài))具有模態(tài)振動的各自由度同頻性、對初始條件的不變性、模態(tài)間不傳遞能量的正交性和系統(tǒng)響應(yīng)為模態(tài)振動的疊加性。復(fù)模態(tài)仍具有模態(tài)振動的各自由度同頻性，但不具備對初始條件的不變性，在狀態(tài)空間中才具有模態(tài)間不傳遞能量的正交性和系統(tǒng)響應(yīng)為模態(tài)振動的疊加性。非線性模態(tài)通常不具有正交性和疊加性，最初的無阻尼非線性模態(tài)保留同頻性而不要求不變性，后來的阻尼非線性模態(tài)保留不變性而不要求同頻性。

致謝：北京理工大學(xué)胡海巖院士對本文提出修改建議，在此致謝！