張偉偉 杜秀麗 趙子龍

(太原科技大學(xué)力學(xué)系，太原030024)

據(jù)《墨子·魯問(wèn)》記載[1]，在楚越戰(zhàn)爭(zhēng)期間，由于越國(guó)位于楚國(guó)下游河流，越國(guó)失利可順流而退。魯班為幫助楚國(guó)發(fā)明了 “鉤強(qiáng)”，以 “鉤” 住逃跑的越國(guó)船只。后來(lái)，為了訓(xùn)練這一戰(zhàn)術(shù)而形成了一種稱(chēng)之為“牽鉤”的游戲。世界上許多國(guó)家都流行拔河，只是規(guī)則不同。1900—1920 年之間，拔河曾是奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目，但因缺乏統(tǒng)一規(guī)則于1920 年被取消[2]。1960 年，由英國(guó)、瑞典等國(guó)正式成立國(guó)際拔河聯(lián)合會(huì)(Tug of War International Federation, TWIF)，1965 年開(kāi)始舉辦歐洲錦標(biāo)賽，1975 年開(kāi)始舉辦世界錦標(biāo)賽。此后歐洲錦標(biāo)賽和世界錦標(biāo)賽每年交替進(jìn)行。由牛頓第三定律知道，拔河雙方所受的拉繩拉力始終相同，但同樣的力施加于雙方卻產(chǎn)生出了不同的效果。李林等[3]對(duì)拔河中隊(duì)員運(yùn)動(dòng)分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)受力分析比較了摩擦力與重力矩在拔河過(guò)程中的重要作用，但該分析沒(méi)能對(duì)拔河運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練提出建議。本文仍將拔河隊(duì)員運(yùn)動(dòng)分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，補(bǔ)充討論運(yùn)動(dòng)員身體傾角和拉繩傾角，以及手臂、腿部彎曲等因素對(duì)拔河比賽的影響，為拔河訓(xùn)練提供一些理論參考。

1 拔河模型及受力分析

如圖1 所示為一對(duì)一拔河中一方的受力模型，為了簡(jiǎn)化，當(dāng)人的姿態(tài)確定后將其視為剛體模型，受力包括：拉繩的拉力FL，地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支撐力FN，重力G，摩擦力Ff。并引入下列參數(shù)：拉繩與水平線的夾角γ，人體向后傾角θ，人體重心O，繩拉力在人體上的作用點(diǎn)D，且L0=|OD|，L=|OE|。

圖1 拔河運(yùn)動(dòng)員姿態(tài)及受力分析圖

拔河過(guò)程可分為僵持階段和運(yùn)動(dòng)階段，運(yùn)動(dòng)階段又可以分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種形式[3]?？紤]處于僵持階段，列出平衡方程

水平方向

豎直方向

對(duì)E點(diǎn)的矩平衡

當(dāng)雙方用力拉動(dòng)對(duì)方時(shí)，繩拉力由0 逐漸增加，摩擦力也隨之增加，當(dāng)一方的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，也將先達(dá)到由僵持轉(zhuǎn)向平動(dòng)的臨界狀態(tài)，即

這里，F(xiàn)fmax表示最大靜摩擦力，以μ表示靜摩擦因數(shù)，有Ffmax=μFN=μ(G ?FLsinγ)。一般情況下，γ取值很小，大約在 (?10?,10?) 之間，該區(qū)間內(nèi)Ffmax為減函數(shù)，意味著γ越小越有利于增加最大靜摩擦力。從受力上看，當(dāng)γ <0 時(shí)，拉力FL使得正壓力增加，也就增加了最大靜摩擦力Ffmax；相反，當(dāng)γ >0 時(shí)，拉力FL會(huì)減小正壓力，從而減小最大靜摩擦力Ffmax。綜合式 (1)、式 (2) 和式 (4)，可知不被拉動(dòng)時(shí)γ應(yīng)滿足條件

式 (5) 取等號(hào)時(shí)為臨界狀態(tài)。為了直觀地觀察γ的臨界值，假定G=700 N，μ=0.7，畫(huà)出不同拉力作用下摩擦力隨γ的變化曲線，如圖2(a)～圖2(c) 所示?？梢?jiàn)，當(dāng)拉力較小時(shí)無(wú)論γ取何值都不會(huì)被拉動(dòng)，如圖2(a)所示。當(dāng)拉力FL=500 N 時(shí)，γ=?2?為臨界狀態(tài)，如圖 2(b) 所示。當(dāng)拉力FL= 550 N時(shí)，γ=?8?為臨界狀態(tài)，如圖2(c) 所示。

圖2 不同拉力作用下摩擦力隨拉繩傾角的變化關(guān)系

拔河中的拉繩要么水平、要么傾斜。當(dāng)拉繩水平時(shí)，雙方的γ角均為0，此時(shí)FL=μG，如果雙方體重和摩擦因數(shù)完全相同，將同時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)。當(dāng)拉繩傾斜時(shí)，雙方的γ角必然為一正一負(fù)、且大小相等。可以證明 cosγ+μsinγ在 (?10?,10?) 之間為增函數(shù)，因此，在一定的拉力作用下，若我方γ取負(fù)，對(duì)方γ取正，對(duì)方將率先超出條件(5)，我方獲勝機(jī)會(huì)增加。比賽中，一方隊(duì)員一旦坐在地上就很容易被拉動(dòng)，正是因?yàn)樽诘厣蠒r(shí)γ角較大，影響效果明顯。

當(dāng)最大靜摩擦力足夠大時(shí)，雖然拉力不能使運(yùn)動(dòng)員滑動(dòng)卻有可能拉動(dòng)身體前傾，人為了確保身體平衡，會(huì)向前挪動(dòng)腳步從而輸?shù)舯荣悺Ｉ眢w前傾就是身體發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)，這一過(guò)程可以看作是繩拉力矩和重力矩的較量，將其分別記為

繩拉力矩

重力矩

當(dāng)ML>MG時(shí)就有可能輸?shù)舯荣?。根?jù)文獻(xiàn)[3]，θ的取值范圍大致在 (30?,90?)，該范圍內(nèi)ML為增函數(shù) (γ取值很小)，MG為減函數(shù)。身體后傾可使θ取較小值，達(dá)到減小拉力矩、增大重力矩的目的。由式(3) 可知，當(dāng)拉繩傾角γ和拉力FL確定后，可求出身體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的臨界傾角，記為θc。當(dāng)θ小于θc時(shí)，拉力矩小于重力矩，將不會(huì)被拉動(dòng)。設(shè)隊(duì)員身高為1.78 m 時(shí)，因重心大概位于人體高度的56%左右，近似有L=1 m，L0=0.2 m，因γ很小，令其為0，拉力取值設(shè)定在350 N～700 N 之間，求解不同拉力下的θc，如圖3 所示。顯然，在該取值范圍內(nèi)，θc隨拉力FL近似線性遞減，這說(shuō)明拉力越大，保持平衡所需的θ就越小。不過(guò)，也應(yīng)注意到身體傾角越小，有可能導(dǎo)致γ為正，從而減小最大靜摩擦力。因此，需要綜合考慮θ和γ的取值。

最后，在拔河中彎曲手臂肘部緊貼腰部，拉力作用點(diǎn)位于腰部，而將手臂展開(kāi)拉力沿著手臂作用，作用點(diǎn)在肩部，這說(shuō)明L0可以通過(guò)彎曲和伸展手臂調(diào)整。同時(shí)L也可以通過(guò)微彎腿部來(lái)調(diào)整。由式(6)和式(7) 可以看出，減小L0也就減小了繩拉力矩的力臂，從而減小拉力矩。微彎腿部減小L雖然同時(shí)減小了拉力矩和重力矩，不過(guò)腿部微彎后再蹬地，由于身體后傾，可將腿部力量轉(zhuǎn)換為拉繩的拉力，這相比于手臂拉力可大大增加FL的值，因此微彎腿部雖然會(huì)損失重力矩，但有利于蹬地發(fā)力，可將腿部力量轉(zhuǎn)化為拉力從而增加對(duì)抗力量。

圖3 身體臨界傾角與繩拉力之間的關(guān)系

2 結(jié)論

本文通過(guò)建立一對(duì)一的拔河模型，分析了拉繩傾角γ，身體傾角θ，以及身體姿態(tài)對(duì)拔河比賽的影響規(guī)律。結(jié)果表明抬高拉繩，使我方拉力斜向下時(shí)有利于增大我方最大靜摩擦力，并減小對(duì)方最大靜摩擦力；較小的身體傾角有利于減小拉繩拉力矩、增加重力矩，但需要綜合考慮拉繩傾角的影響；從運(yùn)動(dòng)員的姿態(tài)考慮，手臂應(yīng)彎曲后緊貼腰部以減小拉力矩；腿部微彎雖然會(huì)導(dǎo)致拉力矩和重力矩同時(shí)減小，但通過(guò)腳蹬地，可將腿部力量轉(zhuǎn)化為拉力FL，間接影響比賽結(jié)果。在實(shí)際比賽中，雖然上述各量的可調(diào)整范圍都非常小，但如果力量相當(dāng)時(shí)，適時(shí)地根據(jù)對(duì)方的姿態(tài)和狀況做出有利于我方的調(diào)整，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用力學(xué)原理，微弱的優(yōu)勢(shì)也會(huì)成為取勝的關(guān)鍵。