亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        基于高階梁理論的功能梯度材料自由振動分析

        2021-04-25 08:50:22匡傳樹耿培帥
        力學(xué)與實踐 2021年2期
        關(guān)鍵詞:高階梯度模態(tài)

        江 希 匡傳樹 帥 濤 耿培帥

        (中國直升機(jī)設(shè)計研究所,江西景德鎮(zhèn)300300)

        梁作為各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基本組成單元,被普遍應(yīng)用于航空航天、土木和機(jī)械等各種工程實踐領(lǐng)域。引導(dǎo)梁理論發(fā)展的主要因素一方面為新材料的應(yīng)用,另一方面為新的工程實踐需求。

        本文的理論及有限元方法主要研究目標(biāo)為功能梯度材料 (functionally graded material,F(xiàn)GM) 梁,因此先對 FGM 做簡單介紹。FGM 指一類組成結(jié)構(gòu)和性能在材料某個 (或多個) 方向上連續(xù)或準(zhǔn)連續(xù)變化的非均質(zhì)復(fù)合材料[1]。與傳統(tǒng)層合復(fù)合材料相比,F(xiàn)GM 具有更加優(yōu)異可設(shè)計性[2-3],可有效減小層間殘余應(yīng)力和熱應(yīng)力,并且可以作為傳統(tǒng)層合結(jié)構(gòu)的粘合材料來提高層間粘合強(qiáng)度。余蓮英等[4]采用彈性力學(xué)逆解法,求得了功能梯度曲梁在端部受彎矩作用的解析解。李世榮等[5]基于Euler 梁理論給出了FGM 梁和均質(zhì)梁靜動態(tài)解之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。Zhang[6]定義了 FGM 梁物理中面的明確表示式,將其引入Euler 梁理論,實現(xiàn)了非均質(zhì)梁的拉彎解耦,給出了靜動態(tài)解析解。徐華等[7]將物理中面的概念引入Timoshenko 梁理論,得到了FGM 梁與均勻梁靜力解的轉(zhuǎn)換關(guān)系。陳淑萍等[8]基于Timoshenko 梁理論分析了材料分布梯度對梁固有頻率的影響。

        除材料應(yīng)用外,工程中需要更精細(xì)化的梁理論模型用以滿足更高精度的需求。因此學(xué)者構(gòu)造出了更多精細(xì)化的梁理論模型[9-13]。Levinson[12]最早在1981 年提出的軸向位移模式為三次函數(shù)的高次剪切變形理論。Reddy[13]變分自冾的概念引入到三次位移模式中,得到了變分自洽的高階梁板理論,該理論也是目前被研究和應(yīng)用最為廣泛的高階理論。Pei等[14-15]基于虛功和勢能等價的思想,推導(dǎo)出了適用于復(fù)合材料的變分自洽的高階梁理論和變分漸進(jìn)的低階梁理論。相較于Reddy 梁理論,該理論繼承了傳統(tǒng)均質(zhì)材料梁理論(Euler 梁和Timoshenko 梁)中物理量 (廣義位移、廣義力、剛度等) 意義清晰、本構(gòu)關(guān)系解耦等特點,并實現(xiàn)了向復(fù)合材料領(lǐng)域的延拓。

        基于新型的高階梁理論,Pei 等[14]僅作了靜力學(xué)方面的分析。考慮將其理論應(yīng)用于梁的模態(tài)分析,因此本文基于Pei 等[14]的高階梁理論,構(gòu)造了新型高階單元,通過有限元方法研究了功能梯度材料梁的自由振動問題。

        1 基本方程

        考慮等高度矩形截面梁,材料的楊氏模量E、剪切模量G及泊松比ν沿z方向變化。待需求解的位移場為軸向位移ux和橫向位移uz,兩者均為坐標(biāo)(x,z) 的函數(shù),后續(xù)為簡寫不再注明自變量。

        考慮梁結(jié)構(gòu)上下表面剪應(yīng)力自由,并忽略橫向正應(yīng)變,Pei 等[14]將梁的面內(nèi)位移場表示為

        式中,zc為梁截面中性面,為高階翹曲函數(shù),可由式(4)計算得到。u0為復(fù)合材料梁的拉伸,?為復(fù)合材料梁的轉(zhuǎn)角,w為復(fù)合材料梁的撓度,三者均僅為軸向坐標(biāo)x的函數(shù),可由梁的位移場(ux,uz)定義為

        其中B0為復(fù)合材料梁的拉伸剛度,B2為復(fù)合材料梁的剪切剛度,兩者與傳統(tǒng)均質(zhì)梁(Euler 梁和Timoshenko 梁) 中對應(yīng)物理量的物理意義相當(dāng),它們的具體數(shù)學(xué)定義為

        另外,式 (1) 的 1 式中,位移因函數(shù) “1”、“z ?zc”和均僅為坐標(biāo)z的函數(shù),且它們具有如下性質(zhì)

        式中g(shù)z為梁截面翹曲函數(shù),較為常用函數(shù)包括:三次型z3、指數(shù)型(z?ze?2(z/t)3)、雙曲型(z?tsinh(z/t))和正弦型 (?z+(π2t/24) sin(zπ/t)),本文中算例均選用三次型翹曲函數(shù)。c 和λ為常數(shù),它們分別為

        由式 (1) 可得,梁截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

        定義復(fù)合材料梁的軸力N,彎矩M,高階彎矩P,剪力Q分別為

        將式(6) 代入式(7) 中,并考慮式(4) 中位移因函數(shù)與材料分布的關(guān)系,可得

        式中Bs為剪切剛度,為剪切剛度系數(shù),η為高階彎矩對應(yīng)的剛度系數(shù),它們具體數(shù)學(xué)表示為

        為后續(xù)簡寫,將梁的廣義位移、廣義應(yīng)力和廣義應(yīng)變表示為

        其中L為微分算子矩陣,具體形式為

        至此,已表示完新型高階功能梯度梁理論中廣義應(yīng)力、廣義應(yīng)變及廣義位移之間的關(guān)系。為后續(xù)推導(dǎo)有限元方程,這里給出新型梁理論的應(yīng)變能、外力勢能及動能表示式。

        梁的應(yīng)變能Πε可表示為

        以載荷向量q={N? M? q?}T為例,梁的外力勢能可表示為

        根據(jù)式(1),梁的動能Πv可表示為

        2 有限元方程

        本小節(jié)將根據(jù)上一小節(jié)的理論構(gòu)造2 節(jié)點8 自由度的C1 型高階梁單元Beam-H2。

        將梁的廣義位移場u由節(jié)點位移向量插值表示為

        其中N為形函數(shù)矩陣,具體形式為

        梁單元局部坐標(biāo)與全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

        其中B為幾何矩陣,可由N形函數(shù)矩陣表示為

        將式(25) 代入式(15),則梁的應(yīng)變能可離散表示為

        其中下標(biāo) “n” 表示第n個單元,Ne代表單元個數(shù)。Ke為單元剛度矩陣,具體形式為

        其中Le為單元積分域。

        根據(jù)式(17) 和式(19),梁的動能可離散表示為

        其中Λ矩陣為

        式(29) 中Me表示單元質(zhì)量矩陣,具體為

        將式 (19) 代入式 (15),則梁的外力勢能可離散表示為

        對于動力學(xué)分析,可使用哈密頓原理進(jìn)行方程推導(dǎo),該原理數(shù)學(xué)表示為

        將式 (26)、式 (28) 及式 (32) 代入式 (34) 得

        將式(35) 所表示的動力學(xué)平衡方程簡寫為

        其中K為總體剛度矩陣,M為總體質(zhì)量矩陣,F(xiàn)為總體外載荷矩陣,它們分別由單元剛度陣Ke、單元質(zhì)量陣Me和單元載荷矩陣Fe組裝得到。

        對于自由振動分析,略去外載荷F,并假設(shè)模態(tài)位移為可得

        此時自由振動問題即轉(zhuǎn)化為求解K和M廣義特征值和特征向量的問題。至此可用于功能梯度梁模態(tài)分析的Beam-H2 單元已構(gòu)造完畢。

        3 數(shù)值算例

        3.1 均質(zhì)梁模態(tài)分析

        本小節(jié)將使用Beam-H2 單元以如圖1 所示的懸臂梁為例做模態(tài)分析作為驗證性算例。

        圖1 懸臂梁的幾何描述

        梁長度L= 0.5 m,厚度t= 0.05 m,楊氏模量E= 210 GPa,剪切模量G= 80.77 GPa, 材料密度ρ=7850 kg/m2。本算例參考文獻(xiàn)[16-17] 做對比驗證。均質(zhì)懸臂梁的前五階固有頻率計算結(jié)果如表 1 所示。

        表1 懸臂梁前五階圓頻率

        對比段鐵城文獻(xiàn) [17] 和文獻(xiàn) [16] 以及 Timoshenko 梁理論的結(jié)果,Beam-H2 與它們都非常接近,即驗證本文中的理論及有限元方法是正確的。

        圖2 對比了懸臂梁前五階固有振型,因不同理論所對應(yīng)的振型并沒有顯著差異,所以這里僅給出了Beam-H2 的振型圖。

        圖2 懸臂梁的前五階固有振型

        3.2 FGM 梁模態(tài)分析

        在3.1 節(jié)中通過算例驗證了本文的Beam-H2 單元,本小節(jié)將利用Beam-H2 單元進(jìn)行FGM 梁模態(tài)分析,梁結(jié)構(gòu)仍如圖1 所示。L=1 m,t=0.1 m。

        功能梯度材料為 Al-ZrO2, 其中鋁的密度為2700 kg/m3,楊式模量為 70 GPa;二氧化鋯的密度為 5850 kg/m3,楊氏模量為 200 GPa。材料性能分布公式[18-19]為

        其中k為材料分布參數(shù),t為梁厚度。P代表材料性能,如:楊式模量、剪切模量、泊松比或材料密度等,下標(biāo)m 代表金屬,下標(biāo)c 代表陶瓷。

        定義無量綱頻率為

        表 2 懸臂 FG 梁前三階圓頻率

        表3 懸臂FG 梁前三階無量綱固有圓頻率

        表3 懸臂FG 梁前三階無量綱固有圓頻率

        k i 1 2 3 0 (陶瓷) 3.489 0 20.936 2 54.417 5 1 3.490 8 21.007 0 55.539 1 2 3.488 8 20.931 3 55.067 0 4 3.485 4 20.802 6 52.918 6∞ (鋁) 3.489 0 20.936 2 54.417 5

        根據(jù)式(40),可得FGM 梁固有頻率轉(zhuǎn)換式

        因為式 (40) 和式 (41) 僅是對一個算例的歸納總結(jié),僅驗證了材料分布參數(shù)k對的影響,結(jié)果可能存在一定偶然性,所以接下來將對式(40) 和式(41) 的適應(yīng)性作進(jìn)一步算例驗證分析。包括不同材料組分性能對的影響和長高比對的影響。

        表 4 給定不同 r,s 值時所對應(yīng)的 e1 (單位:%)

        由表 5 不同長高比的相對誤差可得,長細(xì)比較小(L/t<10) 時,長細(xì)比的變化對無量綱頻率影響越大,且頻率階次越高,影響越為顯著;而長細(xì)比較大(L/t >20) 時,長細(xì)比的變化對無量綱頻率影響較為微弱,若以(e2|L/t=80?e2|L/t=20) 的絕對值作為評判,則1 階偏差在 0.3%以內(nèi),2 階偏差2%以內(nèi),3 階偏差5%以內(nèi)。

        表 5 不同長高比 (L/t) 所對應(yīng)的 e2 (單位:%)

        4 結(jié)論

        (1)轉(zhuǎn)換兩者的梁結(jié)構(gòu)長細(xì)比相同,可作3 階以內(nèi)頻率轉(zhuǎn)換。

        (2) 轉(zhuǎn)換兩者的梁結(jié)構(gòu)長細(xì)比均較大 (L/t >20),可作3 階以內(nèi)頻率轉(zhuǎn)換。

        (3) 若僅作基頻轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換兩者長細(xì)比L/t >6即可。

        猜你喜歡
        高階梯度模態(tài)
        一個改進(jìn)的WYL型三項共軛梯度法
        有限圖上高階Yamabe型方程的非平凡解
        高階各向異性Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系統(tǒng)的弱解
        滾動軸承壽命高階計算與應(yīng)用
        哈爾濱軸承(2020年1期)2020-11-03 09:16:02
        一種自適應(yīng)Dai-Liao共軛梯度法
        一類扭積形式的梯度近Ricci孤立子
        國內(nèi)多模態(tài)教學(xué)研究回顧與展望
        基于Bernstein多項式的配點法解高階常微分方程
        基于HHT和Prony算法的電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)識別
        由單個模態(tài)構(gòu)造對稱簡支梁的抗彎剛度
        計算物理(2014年2期)2014-03-11 17:01:39
        一区二区三区日韩毛片| 久久精品亚洲中文字幕无码网站| 中文字幕无码无码专区| 久久青草亚洲AV无码麻豆| 中文无字幕一本码专区| 无人区乱码一区二区三区| 久久精品麻豆日日躁夜夜躁| 国产最新在线视频| 国产一区二区高清不卡在线| 精品人妻av一区二区三区麻豆| 少妇精品无码一区二区三区| 国产精品免费久久久久影院| 国产91第一页| 日韩五码一区二区三区地址| 国产高清av在线播放| 国产人在线成免费视频| 成人午夜免费福利| 久久久亚洲av成人乱码| 久久亚洲精品成人av无码网站| 天天影视色香欲综合久久| 国产精品亚洲综合色区丝瓜| 亚洲av高清一区二区三区| 蜜桃日本免费看mv免费版| 亚洲精品456| 国产成人精品中文字幕| 手机在线观看免费av网站| 99久久婷婷国产综合精品电影| 欧美成人在线A免费观看| 91青青草视频在线播放| 大地资源网在线观看免费官网| 亚洲18色成人网站www| 久久精品中文字幕久久| 黄色精品一区二区三区| 永久黄网站色视频免费看| 精品国产看高清国产毛片| 精品人妻夜夜爽一区二区| 亚洲av无码国产精品色| 少女高清影视在线观看动漫| 91精品国产高清久久久久| 国产剧情av麻豆香蕉精品| 97夜夜澡人人双人人人喊|