徐曉春，王棟，李佑偉，嚴(yán)晗，趙鳳青 ，譚志海

（1.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司淮安供電分公司，江蘇 淮安 223002；2.北京四方繼保自動(dòng)化股份有限公司，北京 100085）

配電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行關(guān)系著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，而現(xiàn)代配電網(wǎng)的智能化發(fā)展趨勢和多網(wǎng)互聯(lián)應(yīng)用需求帶來的安全問題不可忽視。配電網(wǎng)復(fù)雜性的不斷增強(qiáng)，使得一次微小的局部擾動(dòng)都可能帶來大面積的級(jí)聯(lián)故障[1]。近年來，國內(nèi)外大規(guī)模連鎖停電事件時(shí)有發(fā)生。例如，2019年7月13日傍晚，美國紐約曼哈頓中城和上西區(qū)出現(xiàn)大面積停電，導(dǎo)致美國能源公司大約40 000用戶被迫斷電，超過42 000用戶受影響。2019年2月7日下午5點(diǎn)，委內(nèi)瑞拉全國23個(gè)州中的21個(gè)州發(fā)生了停電，原因是向全國提供80%電力的古里水電站遭到蓄意破壞。2015年3月27日，荷蘭一所變電站發(fā)生技術(shù)故障，進(jìn)而引起連鎖故障，導(dǎo)致荷蘭大面積停電，對(duì)北荷蘭等地區(qū)造成嚴(yán)重威脅。電網(wǎng)級(jí)聯(lián)故障已成為未來智能電網(wǎng)安全的重大挑戰(zhàn)。

近年來，已有許多學(xué)者利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)電網(wǎng)級(jí)聯(lián)故障現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究[1-3]，主要分為兩大類。一類是基于電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析級(jí)聯(lián)故障產(chǎn)生的宏觀機(jī)理。早在2004年，Crucitti[4]等人就研究發(fā)現(xiàn)電網(wǎng)級(jí)聯(lián)故障的發(fā)生程度與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著必然聯(lián)系。文獻(xiàn)[5]基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)理論，研究了如何合理關(guān)閉一組傳輸鏈路以提高電網(wǎng)在級(jí)聯(lián)故障下的魯棒性。文獻(xiàn)[6]運(yùn)用模擬退火算法優(yōu)化配電網(wǎng)的拓?fù)洌⒄覍ぜ?jí)聯(lián)故障下的最佳網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這類僅僅考慮電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究工作，建立的模型雖然較為粗糙，但能夠較好地從宏觀角度解釋相繼故障產(chǎn)生的原因。另一類是基于電力潮流特性的級(jí)聯(lián)故障精細(xì)建模和優(yōu)化。該類工作更加關(guān)注電網(wǎng)的物理特性，以基爾霍夫定律為基礎(chǔ)，結(jié)合線路的阻抗或者電抗，對(duì)配電網(wǎng)中的各個(gè)元件進(jìn)行詳細(xì)的潮流和負(fù)荷計(jì)算。例如，文獻(xiàn)[7]根據(jù)電網(wǎng)中線路的有功潮流將電網(wǎng)抽象為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，在不同邊移除策略下模擬級(jí)聯(lián)故障的發(fā)生過程。文獻(xiàn)[8]構(gòu)建隱形故障仿真模型，從斷路器和繼電保護(hù)設(shè)備的拒動(dòng)或誤動(dòng)角度研究級(jí)聯(lián)故障的發(fā)生原因。

分布式電源的選址是配電網(wǎng)建設(shè)和維護(hù)中的一項(xiàng)關(guān)鍵工作，其對(duì)配電網(wǎng)甚至整個(gè)電網(wǎng)的穩(wěn)健運(yùn)行具有重要影響[9-12]。在此之前，學(xué)者們?cè)谘芯颗潆娋W(wǎng)電源選址問題時(shí)，主要考慮的是電網(wǎng)損耗等因素。例如文獻(xiàn)[10]討論了用于最優(yōu)分布式發(fā)電規(guī)劃問題的粒子群優(yōu)化算法的應(yīng)用模型和方法。文獻(xiàn)[11]為改善配電系統(tǒng)中的電壓分布，減少實(shí)際功率損耗提出了分布式發(fā)電存在情況下解決網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)的方法。文獻(xiàn)[12]則借助于模糊專家系統(tǒng)優(yōu)化電源選址以進(jìn)一步降低電網(wǎng)損耗。如何合理選擇電源位置以抑制級(jí)聯(lián)故障問題仍然是一個(gè)懸而未決的重要問題。事實(shí)上，配電網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)具有不同的屬性。例如，不同節(jié)點(diǎn)的度值或者中心性通常也不同。因此，對(duì)于級(jí)聯(lián)故障而言，依據(jù)度值或中心性選擇電源節(jié)點(diǎn)的位置必然會(huì)有不同的影響。此外，可以通過智能算法搜索級(jí)聯(lián)故障條件下電源節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)位置。

本文結(jié)合配電網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和電力潮流特性建立了級(jí)聯(lián)故障模型?；谠撃Ｐ投x了級(jí)聯(lián)故障條件下配電網(wǎng)穩(wěn)健性的度量指標(biāo)。提出了基于節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)介數(shù)的電源節(jié)點(diǎn)選址方法，并通過仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提方法的有效性。進(jìn)一步，使用粒子群智能算法優(yōu)化發(fā)電節(jié)點(diǎn)的位置提高電網(wǎng)的魯棒性，并從節(jié)點(diǎn)負(fù)荷均衡的角度給出了一種受限粒子群算法，提高了優(yōu)化算法的計(jì)算效率。最后基于Price網(wǎng)絡(luò)模型[13]，探究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性對(duì)電源選址問題的影響。

1 級(jí)聯(lián)故障模型

本文用的電力系統(tǒng)模型是基于Grainger和Stevenson[14]提出的導(dǎo)納模型。利用圖論的方法構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)二元組模型G=( )V,E，其中V為節(jié)點(diǎn)集，E為鏈路集。節(jié)點(diǎn)的總數(shù)用N表示，鏈路的總數(shù)用H表示，網(wǎng)絡(luò)中的發(fā)電節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)用Ng表示。如文獻(xiàn)[15]中所述，電網(wǎng)模型考慮四種節(jié)點(diǎn)：1）節(jié)點(diǎn)i是作為電壓源的發(fā)電節(jié)點(diǎn)；2）節(jié)點(diǎn)j是消耗功率的消費(fèi)者節(jié)點(diǎn)；3）節(jié)點(diǎn)k是發(fā)送電力的分配節(jié)點(diǎn)；4）節(jié)點(diǎn)h是變壓器節(jié)點(diǎn)。電網(wǎng)中的基爾霍夫定律方程寫成：

式中：vi,vj,vh,vk為四類節(jié)點(diǎn)的電壓；Ij為消費(fèi)節(jié)點(diǎn)j對(duì)應(yīng)的電流；Y為鏈路的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，若節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn) j之間有連接，Yij=1，否則 Yij=0，Yii=-∑i≠jYij。

從網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的角度研究發(fā)電節(jié)點(diǎn)的選址問題。為簡單起見，在文中只考慮發(fā)電節(jié)點(diǎn)和消費(fèi)節(jié)點(diǎn)，發(fā)電節(jié)點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的方程為

式中：yi=1；U為節(jié)點(diǎn)的電壓集合；ui為節(jié)點(diǎn)i的電壓。

消費(fèi)節(jié)點(diǎn)j對(duì)應(yīng)的方程為

通過式（1）可以求出節(jié)點(diǎn)的電壓，線路上的電流可以用Iij=(ui-uj)·Yij求出。節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷定義為Lp(i)=uiIoi，Ioi為流出節(jié)點(diǎn)i的總電流。傳輸線路的負(fù)荷被定義為流過該傳輸線路的電流，即Iij。節(jié)點(diǎn)負(fù)荷上界定義為Cp(i)=(1+α)ui(0)·Ioi(0)，線路的最大負(fù)荷則定義為Cij=(1+β)Iij(0)。其中參數(shù)α和β分別為節(jié)點(diǎn)和鏈路的安全裕度[15]。

級(jí)聯(lián)故障過程的仿真實(shí)驗(yàn)步驟如下：

1）根據(jù)Y確定初始網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，根據(jù)式（1）可以求出每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初始電壓和各條鏈路的電流。

2）根據(jù)上文給出的負(fù)荷公式求出網(wǎng)絡(luò)中各組件的初始負(fù)荷和最大負(fù)荷。

3）隨機(jī)移除一條邊。

4）電網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變，重新求各組件對(duì)應(yīng)的負(fù)荷。若組件（節(jié)點(diǎn)或者鏈路）超過其最大允許負(fù)荷則判定為失效件。

5）移除失效組件后，網(wǎng)絡(luò)將分裂成若干個(gè)小的子圖，如果某子圖中不含發(fā)電節(jié)點(diǎn)，則這個(gè)子圖中所有的節(jié)點(diǎn)都判定為失效節(jié)點(diǎn)。

6）重復(fù)步驟4）和步驟5），直到所有組件都在最大允許負(fù)荷范圍內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定。

仿真過程中初始時(shí)刻移除的一條邊具有一定的隨機(jī)性，通常需要進(jìn)行多次級(jí)聯(lián)故障實(shí)驗(yàn)，并對(duì)觀測值取平均。

2 魯棒性度量指標(biāo)

電力系統(tǒng)中，停電規(guī)模通常用失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)量來度量。我們定義失效節(jié)點(diǎn)的比例PUN為

式中：Nunserved(i)為由組件i失效造成網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級(jí)聯(lián)故障后總的失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

由上文可知，失效節(jié)點(diǎn)是由兩部分組成的，是故障過程中過載的節(jié)點(diǎn)和不含發(fā)電節(jié)點(diǎn)的子網(wǎng)中所有節(jié)點(diǎn)之和。因此，將電網(wǎng)的魯棒性進(jìn)一步定義為

該式表明電網(wǎng)的魯棒性為，由一條邊的移除引起的級(jí)聯(lián)故障結(jié)束后剩余的正常節(jié)點(diǎn)所占比例的平均值。

3 基于度值、介數(shù)的發(fā)電節(jié)點(diǎn)選址

智能電網(wǎng)中，如果發(fā)電節(jié)點(diǎn)遭受攻擊將給整個(gè)網(wǎng)絡(luò)帶來巨大的損失。因此，發(fā)電節(jié)點(diǎn)位置的選擇將影響網(wǎng)絡(luò)的魯棒性和抗毀性。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中，度量節(jié)點(diǎn)的中心性的指標(biāo)有許多，如節(jié)點(diǎn)的度值、緊密度、介數(shù)等，其中介數(shù)和度值是應(yīng)用最廣泛的兩個(gè)指標(biāo)，分別度量了節(jié)點(diǎn)在全局和局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的影響力和重要性。節(jié)點(diǎn)的度是指與節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)。節(jié)點(diǎn)的介數(shù)是指網(wǎng)絡(luò)中所有最短路徑中經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)的最短路徑的數(shù)目占最短路徑總數(shù)的比例。介數(shù)的計(jì)算公式[13]為

4 粒子群算法優(yōu)化發(fā)電節(jié)點(diǎn)位置

為了獲得最佳的發(fā)電節(jié)點(diǎn)的集合，建立一個(gè)優(yōu)化問題，使用粒子群優(yōu)化算法[16]（PSO）找尋最優(yōu)解。粒子群算法是一種啟發(fā)式的算法。與傳統(tǒng)算法相比，粒子群算法具有強(qiáng)大的全局搜索能力，并且易于實(shí)現(xiàn)。算法中，隨機(jī)初始化一群粒子（隨機(jī)解），粒子數(shù)和每個(gè)粒子中包含元素個(gè)數(shù)分別用S和e表示，迭代過程中求出粒子的個(gè)體最優(yōu)值Pbest和全局最優(yōu)值gbest。粒子基于兩個(gè)最優(yōu)值，根據(jù)以下公式不斷更新其位置：

較大的慣性系數(shù)便于粒子跳出局部最優(yōu)值，有利于全局搜索；較小的慣性系數(shù)則利于對(duì)當(dāng)前搜索區(qū)域進(jìn)行局部精確搜索，便于算法收斂，針對(duì)PSO算法容易過早收斂和后期容易在最優(yōu)值附近產(chǎn)生振蕩的問題，采用線性變化的權(quán)重系數(shù)，讓慣性系數(shù)從最大值線性減到最小值。

發(fā)電節(jié)點(diǎn)選址問題可以規(guī)約為0∕1背包問題[17]。因此，本文在粒子群算法求解過程中加入了0∕1背包問題的解題思想，粒子包含元素的個(gè)數(shù)設(shè)為電網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，若某元素的值為1，則為發(fā)電節(jié)點(diǎn)；若其值為0，則為消費(fèi)節(jié)點(diǎn)。每個(gè)粒子的約束條件是元素為1的個(gè)數(shù)等于發(fā)電節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即粒子中所有元素求和等于發(fā)電節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。粒子群算法優(yōu)化步驟為：

Step1：初始化，隨機(jī)產(chǎn)生一組粒子，第i個(gè)粒子表示為Xi=[x1,x2,…,xn]。每個(gè)粒子中隨機(jī)選擇Ng個(gè)元素賦值為1，其他的賦值為0。

Step2：找出粒子i對(duì)應(yīng)的發(fā)電節(jié)點(diǎn)集合，計(jì)算對(duì)應(yīng)的電網(wǎng)魯棒性R(G)i，并與個(gè)體最優(yōu)值pbest對(duì)應(yīng)的魯棒性進(jìn)行比較，若R(G)i>R(G)pbest，用Xi和R(G)i分別替換pbest(i)和R(G)pbest。同理，將R(G)i和粒子群的全局最優(yōu)值R(G)gbest進(jìn)行比較，如果 R(G)i>R(G)gbest，用 Xi和 R(G)i分別替換gbest和R(G)gbest，分別找出各個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)值和粒子群的全局最優(yōu)值。

Step3：若某粒子對(duì)應(yīng)的魯棒性等于全局最優(yōu)值時(shí)，對(duì)粒子進(jìn)行重新賦值，以避免陷入局部最優(yōu)解。

Step4：根據(jù)速度迭代式（7）產(chǎn)生新的速度，用式（8）更新各粒子的位置，然后對(duì)每個(gè)粒子中的元素進(jìn)行排序，取最大的Ng個(gè)元素賦值為1，其余賦值為0。

Step5：檢查是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，如果沒有達(dá)到，轉(zhuǎn)Step2；否則，轉(zhuǎn)Step6。

Step6：輸出最優(yōu)解，畫出對(duì)應(yīng)的迭代曲線圖，程序結(jié)束。

基于負(fù)荷均衡的受限粒子群算法介紹如下：上文提出的粒子群優(yōu)化策略僅考慮提高配電網(wǎng)在相繼故障下的魯棒性，并不關(guān)注實(shí)際配電網(wǎng)性能方面的需求。實(shí)際上，提高配電網(wǎng)魯棒性可能會(huì)影響配電網(wǎng)供電性能。因此，對(duì)于配電網(wǎng)而言，在提高魯棒性的同時(shí)保證供電性能更具實(shí)際意義。本文進(jìn)一步考慮用戶負(fù)荷平衡這一重要性能指標(biāo)，在粒子群優(yōu)化策略中加入節(jié)點(diǎn)負(fù)荷平衡相關(guān)的約束條件，使得魯棒性提高的同時(shí)，節(jié)點(diǎn)負(fù)荷平衡也滿足一定的要求。在基于負(fù)荷均衡的受限粒子群算法中，首先通過實(shí)驗(yàn)的手段測量魯棒性優(yōu)化過程中節(jié)點(diǎn)負(fù)荷方差變化的范圍，并求取其期望值，然后在選擇個(gè)體最優(yōu)解時(shí)判斷節(jié)點(diǎn)負(fù)荷方差是否超過其期望值。如果超過期望值，則設(shè)定其不能作為個(gè)體最優(yōu)解。

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷用qi表示，節(jié)點(diǎn)負(fù)荷的期望為

對(duì)應(yīng)的負(fù)荷方差為

5 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

5.1 基于度和介數(shù)的電源選址仿真與分析

本文采用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分別對(duì)IEEE 37-bus Feeder，IEEE 123-bus Feeder，IEEE 342-bus Feeder等配電網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)[18]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，為了消除其它因素對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，我們將發(fā)電節(jié)點(diǎn)的電壓設(shè)置為1（標(biāo)幺值），消費(fèi)節(jié)點(diǎn)的電流設(shè)置為1（標(biāo)幺值），傳輸線路的導(dǎo)納設(shè)置為11（標(biāo)幺值）?？紤]到經(jīng)濟(jì)費(fèi)用和安全裕度通常非常有限，在下面的仿真實(shí)驗(yàn)中設(shè)定α=0.5，β=0.2。三個(gè)網(wǎng)絡(luò)中發(fā)電節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)Ng分別設(shè)為4，12和30。實(shí)驗(yàn)中采用三種貪婪選址方法：

1）隨機(jī)選址：每個(gè)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)選取一組發(fā)電節(jié)點(diǎn)集合，計(jì)算其在相繼故障條件下的魯棒性。

2）度選址：每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中選出度值最大的一組節(jié)點(diǎn)作為發(fā)電節(jié)點(diǎn)集合，計(jì)算其在相繼故障條件下的魯棒性。

3）介數(shù)選址：每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中選取介數(shù)最大的一組節(jié)點(diǎn)作為發(fā)電節(jié)點(diǎn)集合，計(jì)算其在相繼故障下的魯棒性。

每一種選址方法都獨(dú)立重復(fù)100次，并取平均結(jié)果，如圖1所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，選擇度值大的節(jié)點(diǎn)集合和介數(shù)大的節(jié)點(diǎn)集合作為配電網(wǎng)的發(fā)電節(jié)點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性比隨機(jī)選擇發(fā)電節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的魯棒性更高。介數(shù)和度值是刻畫網(wǎng)絡(luò)中心性的重要指標(biāo)，當(dāng)發(fā)電節(jié)點(diǎn)位于更好的中心位置時(shí)，消費(fèi)節(jié)點(diǎn)能夠更容易訪問到發(fā)電節(jié)點(diǎn)。當(dāng)級(jí)聯(lián)故障發(fā)生時(shí)，網(wǎng)絡(luò)將會(huì)分裂成許多子圖，含有發(fā)電節(jié)點(diǎn)的子圖可能包含更多消費(fèi)節(jié)點(diǎn)，而不含發(fā)電節(jié)點(diǎn)的子圖消費(fèi)節(jié)點(diǎn)也更少。因此，故障造成的失效節(jié)點(diǎn)將會(huì)更少，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性更高。進(jìn)一步，通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的魯棒性提升程度不盡相同。值得一提的是，實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)情況下基于介數(shù)的方法優(yōu)于基于度的方法，僅在一些特殊的參數(shù)下后者有可能優(yōu)于前者。

圖1 不同貪婪選址方法下配電網(wǎng)魯棒性的比較Fig.1 The comparison of robustness of distribution networks for different greedy location selection methods

5.2 粒子群算法仿真實(shí)驗(yàn)與分析

這里以IEEE 123-bus Feeder網(wǎng)絡(luò)[18]為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨粒子群算法迭代次數(shù)的變化如圖2所示。首先使用基礎(chǔ)粒子群算法優(yōu)化配電網(wǎng)的電源選址，同時(shí)計(jì)算每一次迭代對(duì)應(yīng)的電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)負(fù)荷的方差。粒子總數(shù)設(shè)為S=10，認(rèn)知系數(shù)c1=0.7，社會(huì)學(xué)習(xí)系數(shù)c2=0.7，慣性系數(shù)w0=0.96。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2中的虛線所示。

圖2 網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨粒子群算法迭代次數(shù)的變化Fig.2 The change of network robustness with the increasing of itera?tion times in the particle swarm optimization algorithm

可以看出，網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨著粒子群算法迭代次數(shù)的增加而不斷升高，并最終趨于平穩(wěn)。通過與圖1的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比得出，基于粒子群的優(yōu)化方法比基于度和介數(shù)的貪婪選址方法得到的網(wǎng)絡(luò)魯棒性更高。但是，粒子群算法的計(jì)算代價(jià)較高，并且隨著迭代次數(shù)不斷增加。因此，其擴(kuò)展性比貪婪選址方法要差。此外，值得一提的是，粒子群算法的初始解不同可能得到不同的優(yōu)化結(jié)果。理論上，粒子數(shù)越大，迭代次數(shù)越多，優(yōu)化結(jié)果更好。

進(jìn)一步采用受限粒子群算法優(yōu)化配電網(wǎng)的電源選址。實(shí)驗(yàn)參數(shù)與基礎(chǔ)粒子群算法相同。結(jié)果如圖2中實(shí)線所示?？梢钥闯觯芟蘖Ｗ尤核惴▽?duì)應(yīng)的曲線變化趨勢與基礎(chǔ)粒子群算法類似，但是前者比后者收斂更快。換言之，受限粒子群算法比基礎(chǔ)粒子群算法的優(yōu)化效率更高，能夠更高效地改善配電網(wǎng)的魯棒性，并且能夠保證節(jié)點(diǎn)負(fù)荷的平衡性。需要指出的是兩種粒子群算法的時(shí)間復(fù)雜度相同。

6 配電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)魯棒性的影響

對(duì)于電源選址問題，不同的配電網(wǎng)優(yōu)化的效果不同。因此，一個(gè)有趣并且重要的問題是配電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)選址方法實(shí)際效果的影響。由于配電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有無標(biāo)度特征，本文利用無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型模擬配電網(wǎng)拓?fù)洹?/p>

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)常用模型為BA模型和Price模型。本文采用Price模型，因?yàn)镻rice模型的優(yōu)點(diǎn)是可以調(diào)節(jié)冪律分布指數(shù)，從而可以調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性。

利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中的Price無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型生成電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，具體生成步驟如下[13]：

1）給定一個(gè)具有m0個(gè)節(jié)點(diǎn)的初始強(qiáng)連通網(wǎng)絡(luò)。把每一條邊所指向的節(jié)點(diǎn)的編號(hào)添加到數(shù)組Array中。

①生成一個(gè)完全隨機(jī)數(shù)r，r∈[ ]0,1。

②如果r≥p，那么就完全隨機(jī)地在數(shù)組Array中選擇一個(gè)元素。

③如果r

④執(zhí)行步驟①～③m次后（避免重復(fù)選取節(jié)點(diǎn)），把m個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)添加到數(shù)組Array中，并把新加入節(jié)點(diǎn)和選定的節(jié)點(diǎn)兩兩相連。

該模型生成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)平均度為2m，冪律指數(shù)為2+a∕m?；谠撃Ｐ?，生成節(jié)點(diǎn)數(shù)N=118的配電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并設(shè)定發(fā)電節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)Ng=14。首先，固定網(wǎng)絡(luò)平均度為4，而改變冪律指數(shù)。電源選址方法采用基于度和介數(shù)的方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)均為100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)后求平均的結(jié)果。

從圖3中可以看出，配電網(wǎng)魯棒性增長百分比隨著冪律指數(shù)的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢。存在最佳的冪律指數(shù)（在3.2附近）使得選址方法的效果最好。冪律指數(shù)增加，意味著網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性減弱。當(dāng)冪律指數(shù)較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布極不均勻，并且度值或者介數(shù)較大的節(jié)點(diǎn)集中在網(wǎng)絡(luò)的局部區(qū)域。將這些節(jié)點(diǎn)作為發(fā)電節(jié)點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致發(fā)電節(jié)點(diǎn)分布過于集中，容易同時(shí)受到網(wǎng)絡(luò)攻擊，而一旦受到攻擊，這些節(jié)點(diǎn)會(huì)與其它節(jié)點(diǎn)斷開，使得很多攻擊后的子圖沒有發(fā)電節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致總的失效節(jié)點(diǎn)過多。所以，隨著冪律指數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性減弱，度大的節(jié)點(diǎn)變得相對(duì)分散，網(wǎng)絡(luò)魯棒性增長百分比逐漸增大。當(dāng)冪律指數(shù)大于3.2時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變得過于均勻，使得節(jié)點(diǎn)的度或者介數(shù)區(qū)分度變小，從而基于度和介數(shù)的選址方法的效果隨著冪律指數(shù)的增加而變小。以上兩種因素的折中導(dǎo)致了存在最佳的冪律指數(shù)，使得網(wǎng)絡(luò)魯棒性增長百分比最大。該結(jié)果也從側(cè)面說明配電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)其魯棒性具有重要影響。此外，可以看出基于度和介數(shù)的兩種選址方法對(duì)應(yīng)的曲線幾乎重合。通過進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，Price模型生成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中介數(shù)較大的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的度值也較大。因此，這兩種選址方法得到的電源位置幾乎相同。在此情形下，基于度的選址方法比基于介數(shù)的選址方法更優(yōu)，因?yàn)榍罢叩挠?jì)算代價(jià)遠(yuǎn)小于后者。

圖3 配電網(wǎng)魯棒性增長百分比隨冪律指數(shù)的變化Fig.3 Robustness growth percentage vs.power-law parameter of distribution networks

7 結(jié)論

配電網(wǎng)中發(fā)電節(jié)點(diǎn)位置選擇一直是一個(gè)熱點(diǎn)問題。本文首次從配電網(wǎng)的魯棒性角度入手，借助于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究電源的有效選址方法，以提升配電網(wǎng)對(duì)級(jí)聯(lián)故障的魯棒性。提出了基于度值和介數(shù)選擇發(fā)電節(jié)點(diǎn)位置的方法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。為了得到最優(yōu)的發(fā)電節(jié)點(diǎn)的位置集合，運(yùn)用粒子群算法并結(jié)合0∕1背包問題的思想進(jìn)行優(yōu)化求解，通過實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。進(jìn)一步考慮節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷平衡，給出了一種受限粒子群算法。該算法提升了粒子群的優(yōu)化效率，并且能夠保證一定的負(fù)荷平衡性能。最后，借助于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型研究了配電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)選址方法效果的影響，發(fā)現(xiàn)選址方法的效果隨著網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的減弱，呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，即存在最佳的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)使得選址方法的效果最優(yōu)。