孫文璟,李 琪,李 鋼

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,濟(jì)南 250353

三角模、三角余模作為典型的聚合算子,在多個(gè)領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用[1-4]。例如,王國俊[1]利用三角模和三角余模構(gòu)造推理空間的蘊(yùn)涵算子；徐小湛等[2]利用阿基米德三角模的加法生成子和乘法生成子刻畫模糊偏好理論中模糊關(guān)系的若干性質(zhì)；王洪凱[3]基于三角模構(gòu)造評(píng)判模型。因此我們構(gòu)造充分多的三角模、三角余模十分必要,一些學(xué)者已經(jīng)研究了不同的構(gòu)造方法[5-8]。例如,李成允等[6]利用二元函數(shù)構(gòu)造三角模；杜院錄[7]借助一元單調(diào)減函數(shù)及其逆構(gòu)造三角模。特別地,文獻(xiàn)[9]至文獻(xiàn)[11]利用一元函數(shù)及其偽逆構(gòu)造不同的三角模。本文沿著文獻(xiàn)[9]的思路,繼續(xù)研究利用一元函數(shù)及其偽逆構(gòu)造三角模。

主要工作及結(jié)構(gòu)安排:第一部分給出本文研究過程中需要的一些基本知識(shí)；第二部分利用TD、一元函數(shù)及其偽逆構(gòu)造三角模的相關(guān)結(jié)論,并給出相應(yīng)對偶結(jié)論；第三部分對本文工作做出總結(jié)。

1 預(yù)備知識(shí)

文章中的一些基本概念和相關(guān)的部分結(jié)論:

定義1[12]:二元函數(shù)T:[0,1]2→[0,1],如果對?x,y,z∈[0,1]滿足以下四個(gè)條件:

T(x,y)=T(y,x)

(T1)

T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z)

(T2)

T(x,y)≤T(x,z)y≤z

(T3)

T(x,1)=x

(T4)

則稱T為三角模,其中,1稱為T的單位元。

定義2[9]:一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1],函數(shù)φ(-1):[0,1]→[0,1]:

φ(-1)(x)=sup{z∈[0,1];φ(z)

(1)

稱為φ的偽逆,約定supφ=0。

φ(-1)具有以下性質(zhì):

1)φ(-1)°φ(x)≤x,x∈[0,1]；

2)當(dāng)φ嚴(yán)格遞增時(shí),φ(-1)°φ(x)=x,x∈[0,1]。

文獻(xiàn)[9]中利用一元非遞減函數(shù)及偽逆構(gòu)造了特殊的三角模。

命題1[9]:一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1],在開單位區(qū)間]0,1[上連續(xù),T為三角模。則Tφ:

(2)

是三角模。

由于極端積

是最小的三角模,表達(dá)式簡單且在模糊邏輯中有重要應(yīng)用[13-14],文獻(xiàn)[9]中有如下結(jié)論:

命題2:設(shè)一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1],二元函數(shù)(TD)φ:[0,1]2→[0,1]定義為

(3)

則(TD)φ=TD當(dāng)且僅當(dāng)φ(-1)(1)=1或φ(-1)(1)=0。

根據(jù)命題2,對于φ(-1)(1)∈]0,1[的情況,(TD)φ是否為三角模是一個(gè)值得深入研究的問題。

2 主要結(jié)論

本節(jié)專注研究φ(-1)(1)∈]0,1[的情況下,(TD)φ是否為三角模。分兩種情況討論:1)φ(c)<1；2)φ(c)=1,其中c=inf{x|φ(x)=1}。另外,本節(jié)最后給出TD的對偶結(jié)論。

2.1 情形1:φ(c)<1

首先,我們給出幾個(gè)例子。

例1:1)一元函數(shù)φ1:[0,1]→[0,1]定義為

2)一元函數(shù)φ2:[0,1]→[0,1]定義為

3)一元函數(shù)φ3:[0,1]→[0,1]定義為

注1:根據(jù)以上例子可知文獻(xiàn)[9]中的定理1:設(shè)一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1],則(TD)φ是三角模,且(TD)φ(x,y)=

(4)

存在錯(cuò)誤。例如以上例子中的(TD)φ均不是三角模且表達(dá)式與(4)不吻合。

根據(jù)例1得出以下結(jié)論:

命題3:設(shè)一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1]滿足φ(c)<1,其中c=inf{x|φ(x)=1}。則(TD)φ是三角模,當(dāng)且僅當(dāng)

(TD)φ(x,y)=

(5)

其中,b=inf{x|φ(x)=φ(c)}。

證明:(必要性)設(shè)(TD)φ是三角模,證明(TD)φ具有表達(dá)式(5)。

我們可知函數(shù)φ滿足下列性質(zhì):

1)不存在區(qū)間]x0,x1[?]0,c[使得函數(shù)φ嚴(yán)格遞增；

2)函數(shù)φ至多存在兩個(gè)區(qū)間]m1,n1[,]m2,n2[?[0,c]使得φ(x)=c1,?x∈]m1,n1[,φ(y)=c2,?y∈]m2,n2[,c1≠c2；

3)函數(shù)φ(x)在x=b處左連續(xù)。

且函數(shù)φ具有如下表達(dá)式

(6)

其中,M,N∈[0,1],M≤N。

下面給出相應(yīng)證明。

假設(shè)函數(shù)φ在]x0,x1[?]0,c[上嚴(yán)格遞增,取x2∈]x0,x1[,x3∈]c,1],有

(TD)φ(x3,(TD)φ(x2,x3))=x2；

(TD)φ(x2,(TD)φ(x3,x3))=0。

所以(TD)φ不具有結(jié)合性,不是三角模。

假設(shè)函數(shù)φ存在三個(gè)區(qū)間]m1,n1[,

]m2,n2[,]m3,n3[?[0,c]使得φ(x)=c1,?x∈]m1,n1[,φ(y)=c2,?y∈]m2,n2[,φ(z)=c3,?z∈]m3,n3[,c1

假設(shè)函數(shù)φ在b點(diǎn)不是左連續(xù)的,取x2∈[0,b[,x3∈]c,1],有

(TD)φ(x3,(TD)φ(x2,x3))=b≠0=(TD)φ(x2,(TD)φ(x3,x3)),所以(TD)φ不具有結(jié)合性,不是三角模。

由此可知,φ滿足上述性質(zhì)且具有表達(dá)式(6)。

經(jīng)過計(jì)算可知

(7)

且(TD)φ具有表達(dá)式(5)。

(充分性)容易看出(TD)φ滿足交換性、單調(diào)性且具有單位元1。下證(TD)φ具有結(jié)合性,即對?x,y,z∈[0,1]下面等式成立

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))。

不失一般性,設(shè)x≤y≤z。

1)x∈]b,c],y∈]c,1[,z=1

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=b=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))；

2)x,y,z∈]c,1[

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=b=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))；

3)x,y∈]c,1[,z=1

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=c=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))；

4)y=1

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=1=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))；

5)x,y,z的其它取值,有

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=0=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))。

所以,(TD)φ具有結(jié)合性,是三角模。

例2:1)一元函數(shù)φ4:[0,1]→[0,1]定義為

則根據(jù)式(1)(3)得

(TD)φ4(x,y)=

2)(例3中的φ6)一元函數(shù)φ5:[0,1]→[0,1]定義為[8]

根據(jù)命題3結(jié)論知(TD)φ應(yīng)具有如下正確形式:

(TD)φ5(x,y)=

2.2 情形2:φ(c)=1

圍繞φ(c)=1的情況,文獻(xiàn)[8]給出了如下結(jié)論:

(TD)φ(x,y)=

(8)

例3:一元函數(shù)φ6:[0,1]→[0,1]定義為

(TD)φ6(x,y)=

例3中φ6不滿足命題4的條件,仍是三角模。下面給出命題4的推廣結(jié)論。

(TD)φ(x,y)=

(9)

證明:首先證明(TD)φ具有表達(dá)式(9)。

1)(x,y)∈[0,c[2

φ(x)<1,φ(y)<1,TD(φ(x),φ(y))=0,由此可得(TD)φ(x,y)=0；

2)(x,y)∈[c,1[2

φ(x)=φ(y)=1,TD(φ(x),φ(y))=1,由此可得(TD)φ(x,y)=φ(-1)(1)=c；

3)(x,y)∈[c,1[×[ai,bi[

φ(x)=1,φ(y)=ci,TD(φ(x),φ(y))=ci,由此可得(TD)φ(x,y)=φ(-1)(ci)=ai；

4)(x,y)∈[ai,bi[×[c,1[

根據(jù)(TD)φ的交換性和上述3)可知,(TD)φ(x,y)=ai；

φ(x)=1,TD(φ(x),φ(y))=φ(y),由此可得(TD)φ(x,y)=φ(-1)(φ(y))=y=TD(x,y)；

根據(jù)(TD)φ的交換性和上述5)可知,(TD)φ(x,y)=x=TD(x,y)。

所以,結(jié)論成立。

下面證明(TD)φ是三角模。容易看出(TD)φ滿足交換性、單調(diào)性且具有單位元1。下證(TD)φ具有結(jié)合性,即對?x,y,z∈[0,1]下面等式成立

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))。

不失一般性,設(shè)x≤y≤z。

1)x∈[ai,bi[,y,z∈[c,1[

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=ai=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=x=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z));

3)x,y,z∈[c,1[

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=c=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z)；

4)z=1

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))；

5)x,y,z的其它取值,有

(TD)φ((TD)φ(x,y),z)=0=(TD)φ(x,(TD)φ(y,z))。

所以,(TD)φ具有結(jié)合性,是三角模。

例4:設(shè)一元函數(shù)φ7:[0,1]→[0,1]定義為

則根據(jù)公式(1)(3)得

(TD)φ7(x,y)=

我們發(fā)現(xiàn),φ7不滿足命題5的條件,但(TD)φ7仍具有表達(dá)式(9)。因此,命題5中的條件是充分但非必要的。

2.3 對偶結(jié)論

我們可知

與TD是對偶的,根據(jù)3.1和3.2節(jié)所得結(jié)論,我們可以得出以下對偶結(jié)論:

命題6:設(shè)一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1],二元函數(shù)(SD)φ:[0,1]2→[0,1]定義為

(SD)φ(x,y)=

(10)

則(SD)φ=SD當(dāng)且僅當(dāng)φ[-1](0)=1或φ[-1](0)=0,其中,φ[-1](x)=inf{z∈[0,1];φ(z)>x},約定infφ=1。

命題7:設(shè)一元非遞減函數(shù)φ:[0,1]→[0,1]滿足φ(c)>0,其中b=sup{x|φ(x)=0}。則(SD)φ是三角余模,當(dāng)且僅當(dāng)(SD)φ具有如下表達(dá)式

(SD)φ(x,y)=

(11)

其中,c=sup{x|φ(x)=φ(b)}。

(SD)φ(x,y)=

(12)

3 總 結(jié)

本文討論了由TD三角模出發(fā)構(gòu)建新三角模的方法,通過單位區(qū)間[0,1]上的一元非遞減函數(shù)φ進(jìn)行變換,對(TD)φ進(jìn)行了完整的刻畫,同時(shí)給出TD的對偶三角余模SD的對偶結(jié)論。