楊 巖，段世慧，張長興

(中國飛機強度研究所，陜西 西安 710065)

1 引 言

蜂窩是大自然的神奇產(chǎn)物，六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)在可用空間內(nèi)的承載特性表現(xiàn)出巨大的機械潛力。1945年，第一塊全鋁夾芯板制成，此后，各種形狀和材料的蜂窩結(jié)構(gòu)逐漸發(fā)展起來，常見的材料如鋁合金[1]、不銹鋼[2]、鈦合金[3]及非金屬材料玻璃纖維[4]、Nomex[5]等。由于蜂窩結(jié)構(gòu)具有高強度/重量比、出色的能量吸收特性，重量輕且成本較低，在鐵路車輛、汽車、飛機以及航天器等行業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6，7]。在近20年中，蜂窩夾芯板已經(jīng)成功應(yīng)用于飛機的前緣蒙皮、活動面蒙皮壁板、操縱面、雷達罩等結(jié)構(gòu)中[8]，蜂窩結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用促進了輕質(zhì)高效的結(jié)構(gòu)設(shè)計發(fā)展。

隨著工程科學(xué)的飛速發(fā)展，人們對輕量化、低成本、耐撞性、易于工藝制造和低噪聲等各種要求，尤其是極端環(huán)境下的使用要求進一步提高，例如飛機鳥撞、航天器返回地面、爆炸沖擊等[9-12]極端動態(tài)環(huán)境。

常見的蜂窩結(jié)構(gòu)由上下薄面板、芯子和膠粘劑組成，不同的胞元尺寸參數(shù)能夠表現(xiàn)出不同的機械性能，因此對于飛機這類對輕質(zhì)高效要求較高的產(chǎn)品，為滿足其減重、強度等各方面苛刻的要求，就需要提出方便快捷的有限元分析方法與高效的優(yōu)化設(shè)計方法。

研究蜂窩的可靠方法是試驗法，其試驗成本通常較高。隨著仿真技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值分析已廣泛應(yīng)用于諸多工程領(lǐng)域，特別是在難以開展試驗的條件下具有顯著優(yōu)勢。此外，理論方法中的等效均質(zhì)化方法為分析蜂窩結(jié)構(gòu)的機械性能，例如彈性模量和剪切剛度等，提供了諸多的便利。

本文結(jié)合蜂窩夾芯板實際工程設(shè)計需求，根據(jù)蜂窩結(jié)構(gòu)的有限元建模規(guī)則，利用計算機語言對有限元軟件進行二次開發(fā)，形成蜂窩結(jié)構(gòu)建模、分析、校核、后處理一體化模塊，并基于Matlab選取4類優(yōu)化算法對蜂窩結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)進行優(yōu)化，以期獲得蜂窩夾芯板的最優(yōu)尺寸參數(shù)，使蜂窩結(jié)構(gòu)的工程優(yōu)化設(shè)計及校核過程流程化、高效化。

2 蜂窩夾芯板的質(zhì)量

輕質(zhì)高效是蜂窩夾芯板的主要優(yōu)點。在推導(dǎo)蜂窩夾芯板的質(zhì)量時，可將蜂窩芯子等效為一各向異性材料，運用基本單元法估算其容重。

芯子容重為：

(1)

其中，m為芯子的質(zhì)量，V為芯子的體積。

以矩形所圍單元作為基本質(zhì)量單元，如圖1所示，得到等代體和相當(dāng)體，如圖2所示。

圖1 基本質(zhì)量單元

圖2 蜂窩等效替代體與相當(dāng)體

可求出該等代體的質(zhì)量和體積分別為：

m0=ρc·2lhcδV0=(l+lcosθ)lsinθ·hc

(2)

其中，ρc為芯子材料的密度；l為芯格邊長；δ為芯格壁厚；θ為蜂窩特征角，對于正六邊形的蜂窩單元，θ=60°；hc為芯子高度。

等效密度為：

(3)

通常粘結(jié)劑的質(zhì)量比重很小，所以忽略粘結(jié)劑的質(zhì)量，蜂窩夾層板的質(zhì)量為面板質(zhì)量與芯子質(zhì)量之和：

(4)

其中，ρf和hf分別為面板的密度和高度。

3 蜂窩夾芯板參數(shù)化建模

參數(shù)化設(shè)計技術(shù)是隨著計算機輔助設(shè)計技術(shù)的興起而出現(xiàn)的，參數(shù)化設(shè)計極大地改善了圖形的修改手段，提高了設(shè)計的柔性，在概念設(shè)計、動態(tài)設(shè)計、實體造型、機構(gòu)仿真、優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，體現(xiàn)出很高的應(yīng)用價值，能否實現(xiàn)參數(shù)化已成為評價CAD系統(tǒng)優(yōu)劣的重要技術(shù)指標(biāo)。

參數(shù)化設(shè)計是指通過改動圖形某一部分或幾部分的尺寸，自動完成對圖形中相關(guān)部分的改動，從而實現(xiàn)尺寸對圖形的驅(qū)動，進行驅(qū)動所需的幾何信息和拓撲信息計算機自動提取。

3.1 試件尺寸參數(shù)化

本文給出的蜂窩芯子結(jié)構(gòu)的單個胞元形式見圖3，包括一整格和兩側(cè)連接的部位。

圖3 單個胞元模型

一方面，如果蜂窩結(jié)構(gòu)的面板長度和寬度為用戶給定的任意值，那么整個蜂窩芯結(jié)構(gòu)包含的胞元個數(shù)就不能確定。更重要的是，在長度方向和寬度方向不能保證胞元個數(shù)為整數(shù)，由此導(dǎo)致在蜂窩結(jié)構(gòu)邊緣位置的結(jié)構(gòu)形式將不確定，這給蜂窩結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模帶來較大的不確定性。另一方面，進行試件級蜂窩結(jié)構(gòu)仿真分析的目的是研究蜂窩結(jié)構(gòu)在不同面板、蜂窩芯參數(shù)下結(jié)構(gòu)整體的剛度和強度性能，試件大小的輕微改變對上述力學(xué)性能測試的影響不大。

綜合以上兩個因素，出于參數(shù)化建模規(guī)范性和簡便性的考慮，在參數(shù)化建模過程中即使用戶給定了面板的長度、寬度，程序仍然會根據(jù)蜂窩胞元的尺寸進行恰當(dāng)?shù)卣{(diào)整，保證結(jié)構(gòu)在長度和寬度方向均包含整數(shù)個胞元，且每個方向胞元的數(shù)量不低于4個。

圖4為單個胞元的截面圖，當(dāng)蜂窩芯格邊長為l時，單個胞元在長度方向和寬度方向的復(fù)制次數(shù)分別為：

圖4 單個胞元截面

(5)

通過上述方式，在用戶給定蜂窩結(jié)構(gòu)尺寸的基礎(chǔ)上進行適當(dāng)修改，確定了蜂窩結(jié)構(gòu)的各個部位尺寸信息，使得蜂窩試件在長度方向和寬度方向上均保證有不少于4個的整數(shù)個胞元，在不影響計算結(jié)果的條件下，極大地方便了結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模。

3.2 幾何位置參數(shù)化

為了參數(shù)化實現(xiàn)蜂窩結(jié)構(gòu)各部位所處位置正確，需要定義蜂窩結(jié)構(gòu)各關(guān)鍵幾何位置的坐標(biāo)，以保證蜂窩結(jié)構(gòu)模型的幾何特征同實際情況保持一致。為規(guī)范化地進行參數(shù)化建模，在蜂窩結(jié)構(gòu)建立的過程中，首先確定蜂窩結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)系中的位置。令上面板的一個角點放在原點，整個上面板都放置在平面的第一象限中，下面板在上面板的基礎(chǔ)上偏移，即蜂窩芯的厚度，上、下面板之間填充蜂窩芯。

值得注意的是，試件級的蜂窩結(jié)構(gòu)面板與蜂窩芯均采用殼單元進行建模，在默認情況下，殼單元的面作為結(jié)構(gòu)的中面。對蜂窩芯結(jié)構(gòu)而言，這種假設(shè)是合理的，但是對于上下面板，如果也將其作為中面，那么將有一半厚度的面板會與蜂窩芯交叉(如圖5所示)。為了保證結(jié)構(gòu)的合理性，需要將其向外偏置。

圖5 面板與芯子交叉示意圖

3.3 網(wǎng)格劃分技術(shù)

蜂窩結(jié)構(gòu)主要由面板、蜂窩芯以及粘結(jié)劑組成，考慮到求解效率的問題，在蜂窩結(jié)構(gòu)建模過程中省去了粘結(jié)劑部分。因此，在有限元分析模型中，只需要對蜂窩結(jié)構(gòu)的面板和蜂窩芯進行網(wǎng)格的劃分。

根據(jù)團隊多年來對航空結(jié)構(gòu)進行有限元建模分析總結(jié)的經(jīng)驗，對類似的結(jié)構(gòu)一般采用共節(jié)點的方式，將面板同蜂窩芯進行連接。這種方式可以更加準(zhǔn)確地描述面板與蜂窩芯之間力的傳遞情況，使有限元模型能較為真實地反映兩者之間的作用情況。

蜂窩芯結(jié)構(gòu)的各個面都為四邊形面，因此可以方便地采用四邊形單元進行規(guī)則的網(wǎng)格劃分。而面板由于六邊形芯格的切分，很難畫出規(guī)則的四邊形結(jié)構(gòu)，不規(guī)則的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)可能會對結(jié)構(gòu)計算的精度產(chǎn)生影響。三角形單元則可以非常好地適應(yīng)六邊形區(qū)域網(wǎng)格的劃分，圖6所示為在每條邊分別布2個種、3個種情況下的六邊形芯格的網(wǎng)格劃分情況，可以看出，在合理布種的情況下，可以畫出非常規(guī)則的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。因此，本文采用將面板按照三角形單元進行網(wǎng)格劃分，對蜂窩芯采用四邊形單元進行網(wǎng)格劃分的方法。

圖6 單個芯格的一級和二級網(wǎng)格三維視圖

3.4 參數(shù)化仿真界面

基于ABAQUS 6.13二次開發(fā)蜂窩承載部件結(jié)構(gòu)參數(shù)化與分析模塊，界面如圖7所示，模型幾何參數(shù)如表1所示。

圖7 參數(shù)化仿真界面

表1 蜂窩結(jié)構(gòu)模型參數(shù)及默認值

4 蜂窩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

4.1 優(yōu)化模型

在實際工程優(yōu)化過程中，優(yōu)化的最終目標(biāo)是使蜂窩夾芯板的質(zhì)量最小。建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合優(yōu)化算法，從而求解實際工程問題。

minw(X1，…，Xn)

s.t.λ(X1，…，Xn)≥λ*

XaL≤Xi≤XaU

(6)

其中，w為蜂窩夾芯板重量，X1,……Xn為蜂窩結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量，λ*為穩(wěn)定性約束的下限值，XaL為設(shè)計變量的下限值，XaU為設(shè)計變量的上限值。

對于蜂窩夾芯板實際優(yōu)化問題，按照理論基礎(chǔ)對設(shè)計變量進行優(yōu)化，其中4個設(shè)計變量的范圍很廣，限定變量的求解范圍一方面比較符合工程實際情況，另一方面可以提高求解速率，提高準(zhǔn)確性，并且可人為限制變量取值范圍的合理性。在優(yōu)化的循環(huán)過程中，如果設(shè)計變量在取值范圍之內(nèi)，那么進入程序循環(huán)，根據(jù)重量的最小值輸出設(shè)計變量的組合取值；反之，如果不符合條件范圍約束，設(shè)計變量的取值會被淘汰，直至循環(huán)到符合約束條件的取值，從而得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。

4.2 優(yōu)化方法

基于MATLAB，使用遺傳算法、罰函數(shù)法、模式搜索法編寫程序，求解蜂窩夾芯板參數(shù)優(yōu)化問題。編寫相應(yīng)的非線性優(yōu)化程序，調(diào)用算法格式如圖8所示。包括菜單和優(yōu)化方法的可視化程序界面如圖9所示。

圖8 Matlab調(diào)用算法格式

圖9 蜂窩夾芯板優(yōu)化設(shè)計界面

4.3 算例

為驗證該程序的有效性，優(yōu)化對象選取對稱蜂窩夾芯板，選擇遺傳算法進行設(shè)計參數(shù)的優(yōu)化計算，變量的取值范圍見表2，設(shè)計變量的最優(yōu)值見表3。

表2 優(yōu)化變量取值范圍

表3 設(shè)計參數(shù)最優(yōu)值

5 結(jié) 論

蜂窩夾芯板的建模分析及優(yōu)化設(shè)計是航空器構(gòu)件設(shè)計過程中提高分析效率、提升設(shè)計質(zhì)量、降低結(jié)構(gòu)重量、減少生產(chǎn)成本的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本文以蜂窩夾芯板為研究對象，針對其建模周期長、優(yōu)化效率低的問題，開發(fā)了蜂窩結(jié)構(gòu)參數(shù)化仿真模塊，配合含有遺傳算法、罰函數(shù)法等算法的優(yōu)化設(shè)計模塊，可以有效提高工程人員對蜂窩承載件的分析計算效率，對于蜂窩夾芯板的設(shè)計具有一定的價值。