李 聰, 魯一憲, 王玉鳳

(①曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,曲阜市；②煙臺(tái)第一職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校,264001，山東省煙臺(tái)市)

0 引 言

本文中,我們考慮如下 Choquard 方程

(E)

利用變分法思想研究 Choquard 方程解的存在性以及其定性性質(zhì)已有幾十年的歷史.在文獻(xiàn) [2] 中,當(dāng)V=1,α=2,p=2,N=3 時(shí),Lieb 通過利用對稱遞減重排不等式證明了方程

-Δu+Vu=(Iα*|u|p)|u|p-2u,u∈H1(N)

(C)

(C′)

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)和 Mao 和 Shao 在 (C′) 中給出的方法,我們將證明非線性凹凸擾動(dòng)f和g,而不是線性擾動(dòng)對情況的影響.將用噴泉定理和 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式去證明我們的結(jié)論.

(g2) 存在ν∈(1,2) 使得

0

(f1) 存在a>0 以及 2

|f(x,u)|≤a(1+|u|q-1),?x∈Ω,u∈.

(f3) 存在θ>2p>2 使得

0<θF(x,u)≤uf(x,u),?u∈{0},x∈Ω,

(f4) 存在>0 使得

1 主要結(jié)果

本文研究的主要結(jié)果為定理1.1和定理1.2.

本文結(jié)構(gòu)如下,在第2節(jié)中,介紹關(guān)于方程 (E) 的變分結(jié)構(gòu)及一些預(yù)備引理.定理 1.1 和定理 1.2 的證明分別在第3部分和第4部分給出.

2 預(yù)備知識(shí)和變分框架

除此之外還需要引入Lp范數(shù)

(2.1)

由條件 (f1) 可知泛函J是良定義的C1-泛函,因此 ?u,v∈H,其導(dǎo)數(shù)泛函為

(2.2)

我們知道若u∈H是 Choquard 方程 (E) 的解,那么u就是泛函J的臨界點(diǎn).

對于問題 (E),下面經(jīng)典的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式是至關(guān)重要的.文獻(xiàn) [4],[7] 的標(biāo)準(zhǔn)論述展示了泛函J的非局部項(xiàng)的良定義、連續(xù)性和可微性.

(2.3)

其中常數(shù)C僅依賴于N,α,s.

(2.4)

(2.5)

引理2.2[4]假設(shè)N≥1,α∈(0,N),數(shù)列 {un}n∈在L2(Ω) 中有界且在 Ω 中幾乎處處收斂于u,那么

證明利用法圖引理可知u∈L2(Ω)∩Lq(Ω).由條件 (f1),存在C>0,對于 ?t∈有

(2.6)

C(|u|+|un-u|q-1|u|+|u|q).

對于固定的ε>0,借用 Young 不等式,存在Cε>0 使得

|F(x,un)-F(x,un-u)|≤ε(|un-u|+|un-u|q)+Cε(|u|+|u|q).

將上面的不等式與 (2.6) 結(jié)合,則對于每個(gè)n∈有

|F(x,un)-F(x,un-u)-F(x,u)|≤ε(|un-u|+|un-u|q)+(C+Cε)(|u|+|u|q).

進(jìn)一步可以得到

(C+Cε)(|u|+|u|q).

若令ε→0,結(jié)論證畢.

定義2.1[19]稱泛函J∈C1(X,),c∈滿足(PS)c條件.若在巴拿赫空間X中任意滿足條件

J(un)→c,J′(un)→0,n→∞

的數(shù)列{un}?X都有收斂子列.

為了證明我們的主要結(jié)論,需要引入下面的臨界點(diǎn)理論.

引理2.4(噴泉定理)[17,19]若泛函J∈C1(X,) 滿足J(-u)=J(u),對于任意k∈,存在ρk>γk>0 有

(A1)ak:=maxu∈Yk,‖u‖=ρkJ(u)≤0;

(A2)bk:=infu∈Zk,‖u‖=γkJ(u)→+∞,k→+∞;

(A3) 對于c>0,泛函J滿足 (PS)c條件.

則泛函J有一列無界的臨界值序列.

引理2.5[17,19]若X是巴拿赫空間,J∈C1(X,), 對于e∈X,ρ>0,‖e‖>ρ有

成立.若泛函J滿足 (PS)c條件且

那么c是泛函J的一個(gè)臨界值.

3 定理1.1的證明

成立.根據(jù) 10 有

(3.1)

根據(jù) Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式 (2.5) 以及條件 (f1),(f2),存在Cε,C1,C>0,對 ?ε>0 有

定義

(3.2)

因此

定義

F(x,u)≥C2(|u|θ-|u|2),?x∈Ω,u∈，

由此證明了引理 3.1 的 (ⅱ) 也成立.

證明由于此引理的證明與文獻(xiàn) [20] 中的引理 2.2 相似,在此處省略.

定理1.1的證明首先,對于任意的c∈,c>0,泛函J滿足 (PS)c條件.若且當(dāng)n→∞ 時(shí),有J(un)→c,J′(un)→0.根據(jù)條件 (g1),(2.1)式,H?lder 不等式和索伯列夫嵌入定理,可以推出

將條件 (f3):f(x,un)un≥θF(x,un)>0 變形得到

因?yàn)棣?2p>2,所以有下面的不等式成立,

對于足夠大的n,有

根據(jù)已知條件,顯然可以得到

(J′(un)-J′(u),un-u)→0,n→∞.

(3.3)

利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式以及 (2.5),有

運(yùn)用引理 3.2,有

(3.4)

根據(jù) H?lder 不等式可得,

(3.5)

運(yùn)用引理3.2,由于φ′ 是緊的,所以

(3.6)

將 (3.3)-(3.6) 結(jié)合起來,能夠推出 ‖un-u‖→0.因此可證泛函J滿足 (PS)c條件.

最后,利用引理3.1和引理2.5即可完成定理1.1的證明.

4 定理1.2的證明

在本節(jié)中,將利用引理2.4證明方程(E)式無窮多解的存在性.

定理1.2的證明根據(jù)引理2.3,知道u∈Zk時(shí)有

|u|r≤βk‖u‖,1≤r<2*.

(4.1)

(ⅰ)由條件 (f1),(3.1),(4.1) 和索伯列夫嵌入定理知道,

(4.2)

這也就是說存在

使得 (4.2) 滿足

這樣證明了引理 2.4 中的 (A2)

成立.

(ⅱ) 接著因?yàn)?dimYk<+∞.利用 (2.5)式,對于u∈Yk,有

若ρk>0 足夠大 (可令ρk>γk),可得

在定理 1.1 的證明過程中,已證明泛函J滿足 (PS)c條件.因此根據(jù)引理2.4,泛函J有一列臨界點(diǎn) {uk}k∈滿足J(uk)→+∞,k→∞.同時(shí),{uk}k∈也是方程 (E) 的解.綜上,定理 1.2 結(jié)論證畢.

注4.1 在日后的研究中,我們將借用文獻(xiàn) [21,22] 的思想去考慮方程 (E) 的變號(hào)解.

致謝感謝錢愛俠教授的認(rèn)真閱讀,并為改進(jìn)論文的表述和樣式提供了寶貴的建議.感謝評審的意見.