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        對Auslander類和Bass類的進一步研究*

        2021-04-22 13:20:48王善策
        關(guān)鍵詞:投射模同態(tài)對偶

        王善策, 張 珍

        (齊魯師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,250200,山東省濟南市)

        0 引 言

        交換諾特環(huán)上的半對偶化模最初是由 Foxby[3]、Golod[4]和 Vasconcelos[5]分別以秩為 1 的PG-模、suitable 模和 spherical模三個不同的名字引入并研究的.半對偶化模(復(fù)形)在模論、環(huán)論、表示論中扮演了重要的角色.設(shè)C是一個半對偶化模,很多情況下,半對偶化模可以代替環(huán)自身的正則模,從而可以推廣很多經(jīng)典同調(diào)代數(shù)中的結(jié)論.并且,半對偶化模C誘導(dǎo)了一些有趣的模類,像C-投射模類,C-內(nèi)射模類,C-平坦模類.最近,Holm 和 White[7]在一般結(jié)合環(huán)上定義了半對偶化雙模,以及 Auslander 和 Bass 類,并用C-投射模,C-內(nèi)射??坍嬃薃uslander 和 Bass 類.由半對偶化模C誘導(dǎo)的相對同調(diào)代數(shù)引起了國內(nèi)外大量專家學(xué)者的關(guān)注,并且大家把目光聚焦在關(guān)于Auslander 和 Bass 類的研究上.值得注意的是,在非交換、非諾特環(huán)上,Holm 和 White[7]引入了 Foxby 等價的內(nèi)容,即,所有的C-內(nèi)射R-模都包含于 Auslander 類Ac(R)中,所有的C-投射(平坦)S-模都包含于 Bass 類Bc(S)中.

        本文的第一個結(jié)果,即通過引入偏 Auslander 類 (Bass 類),推廣了傳統(tǒng)的 Foxby 等價,即定理 2.1.

        當R是一交換環(huán),C是R上的一個半對偶化雙模時,Takahashi and White[9,Corollary 2.4]證明出Auslander類Ac(R)中的所有模都有正和的properC-內(nèi)射分解,Bass類Bc(R)中的所有模都有正和的 properC-投射分解.

        本文的第二個結(jié)果證明出上述結(jié)論的逆也是成立的,即,具有properC-內(nèi)射分解(C-投射分解)的模一定在Auslander類Ac(R)(Bass類Bc(R))中.因此,本文部分推廣了Takahashi 和 White[9,Corollary 2.4]的結(jié)果即注2.2.

        1 預(yù)備知識

        本文假設(shè)R是含有單位元的結(jié)合環(huán).首先,引入一些概念,這些概念被Avramov,Martsinkovsky[1],Holm[5]以及 SatheR-Wagstaff,Sharif 和 White[8-10]所使用.

        定義1.1 設(shè)χ是一右R-模類,M是一右R-模.M的一個χ-分解是指M含有如下的一個正合序列:…→X1→X0→M→0,其中Xi∈χ,i≥0. 如果對于任意的X∈χ,序列…→HomR(X,X1)→HomR(X,X0)→HomR(X,M)→0仍然是正和的,則…→X1→X0→M→0稱為M的一個properχ-分解.對于M的χ-余分解和properχ-余分解可以類似的定義.

        定義1.2[7]一個 (S,R)-雙模sCR稱為半對偶化的,如果它滿足下面5條:

        (1)sC有一個S-投射分解,并且分解式中的每一項都是有限生成的左S-投射模;

        (2)CR有一個R-投射分解,并且分解式中的每一項都是有限生成的右R-投射模;

        (3) 自然的同倫映射sSs→ HomR(C,C)是一個同構(gòu);

        (4) 自然的同倫映射RRR→ Homs(C,C)是一個同構(gòu);

        定義1.3[7]設(shè)sCR是一半對偶化雙模. 由C誘導(dǎo)的AusLander類Ac(R)是由滿足下列條件的左R-模M構(gòu)成的集合:

        (3)自然的賦值同態(tài)映射μM:M→ Homs(C,C?RM) 是一個同構(gòu).

        由半對偶化模C誘導(dǎo)的 Bass 類Bc(S)是由滿足下列條件的左S-模N構(gòu)成的集合:

        (3)自然的賦值同態(tài)映射μN:C?RHoms(C,N)→N是一個同構(gòu).

        設(shè)sCR是環(huán)S和R上的半對偶化雙模.本文中,為了方便書寫,我們用符號Hc代替函子Homs(C,-);用Tc代替函子C?R-.

        對于任意的左R-模X和左S-模Y,符號μX:X→HCTC(X)和υY:TCHC(Y)→Y代表兩個自然的賦值同態(tài)映射.

        2 主要結(jié)果

        首先,給出偏Auslander類和偏Bass類的概念.

        (2) 自然的賦值同態(tài)映射μM:M→ Homs(C,C?RM) 是一個同構(gòu).

        (2)自然的賦值同態(tài)映射υN:C?RHoms(C,N) →N是一個同構(gòu).

        命題2.1 設(shè)0 →L→M→N→ 0 是一左R-模正和序列,并且在函子Tc下仍保持正和.

        證明只證(1),(2)的證明和(1)類似.

        由假設(shè)知,存在一個正和序列:0→TC(L)→TC(M)→TC(N)→0.對該正合序列應(yīng)用左正合函子HC,得到如下交換圖:

        首先證明下列范疇間的等價,該等價補充了經(jīng)典的Foxby等價,是文獻[7,Proposition 4.1]的一個推廣.

        (2)的證明與(1)類似.

        由定義知,AC(R)?CT∩Fix(μC),BC(S)?C⊥∩Fix(υC).因此通過命題2.2有定理2.1.

        定理2.1 下述表格推廣了Foxby等價.

        設(shè)Ic(R)代表C-內(nèi)射R-模類,coresIc(R)代表具有一個properC-內(nèi)射余分解的左R-模構(gòu)成的集合,Pc(S)代表C-投射模類,resPc(S)代表具有一個properC-投射分解的左S-模構(gòu)成的集合,見定義1.1.

        命題2.3 對于任意的左R-模M和左S-模N,有

        證明只證明(1),因為(2)的證明和(1)類似.

        由文獻 [7,Proposition 5.3(b)(c)]知,Ic(R) 在任意結(jié)合環(huán)R上都是一個包絡(luò)類.

        由定義1.1知M∈coresIc(R) ?M有一個properC-內(nèi)射余分解Δ,即Δ=0→M→HC(I0)→HC(I1)→…→HC(Ii)→…,對于任意的i≥0,Ii都是內(nèi)射左S-模.且該C-內(nèi)射余分解Δ在函子HomR(-,HC(E))(E是任意內(nèi)射R-模)下是正合的.由Hom-tensor的伴隨性同構(gòu)知,該C-內(nèi)射分解Δ在函子TC下是正合的,即序列TC(Δ)=0→TC(M)→TCHC(I0)→TCHC(I1)→…→TCHC(Ii)→…是正合的.因為Ii是內(nèi)射的,所以TCHC(Ii)?Ii.因此有

        (1)HCTC(Δ)?Δ?HCTC(M)?M;

        定理2.2 設(shè)sCR是一個半對偶化雙模.

        (3)的證明方法對偶于(1),故省去證明.

        注2.2 由命題2.3和定理2.2知,當CR的平坦維數(shù)有限(sC的投射維數(shù)有限)時,具有properC-內(nèi)射余分解(properC-投射分解)的左R-模(左S-模)一定在Auslander類Ac(R)(Bass類Bc(S))中,即Takahashi和White的結(jié)論[9]的逆命題是成立的.

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