張 成， 郭 棟

(①滁州城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部；②滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，239000，安徽省滁州市)

0 引 言

令Α表示D={z:|z|<1}解析且具有標(biāo)準(zhǔn)形式

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

的f(z)的全體. 用S表示Α中單葉函數(shù)全體.

(2)

Das和Singh[2]引入了函數(shù)類Cs，f(z)由(1)式給出，滿足

(3)

對每任意的單葉f存在逆函數(shù)f-1，f-1定義在圓盤|ω|

f-1(ω)=ω+d2ω2+d3ω3+d4ω4+…=ω-a2ω2+

(4)

對f∈S，L?wner[3]得到了f-1的系數(shù)dn(n≥2)的上界.

2017年，Thomas和Halim[4]引入了對稱的Toeplitz行列式，定義如下

特別地

在D內(nèi)解析形且Re(p(z))>0，具有形式

p(z)=1+c1z+c2z2+c3z3+…

函數(shù)的全體記為P.為證明主要定理，需要如下引理.

引理1[9]假設(shè)p(z)=1+c1z+c2z2+…∈P，則存在復(fù)數(shù)x,ζ(|x|≤1,|ζ|≤1)滿足

(5)

在(5)式展開式中，比較z,z2和z3的系數(shù)得

(6)

在(4)式，帶入(6)式中的a2,a3和a4值得

(7)

(8)

假定c1=c∈[0,2]，利用三角不等式得

證明由(7)式得

像定理1的證明，不失一般性令c1=c∈[0,2]，應(yīng)用三角不等式得

8c3MN+14c2|x|3M2+28c|x|M2N+c2|x|4M2+

4c|x|2M2N+32c2|x|M+4M2N2+16|x|2M2|=φ(c,|x|)

其中X=4-c2,N=1-|x|2.

(ⅰ)c=2時，φ(2,|x|)=0.

首先求|d2-d4|的最大值.利用(7)式和引理1，經(jīng)簡單計算得

c|x|2(4-c2)+2(4-c2)(1-|x|2)]=φ(c|x|),

其中c=c1∈[0,2].

(ⅰ)c=2時，φ(2,|x|)=0.

4|x|2(4-c2)2+c2|x|2(4-c2)+2c(4-c2)(1-|x|2)]=φ(c,|x|),

其中c=c1∈[0,2].

證明利用引理1和(7)式,對|T3(1)|計算得

類似地，假定c1=c∈[0,2]，將c1=c帶入上式，應(yīng)用三角不等式得

2 Cs逆的上界

證明因f∈Cs,則由(3)式得

(9)

在(9)式兩邊，比較兩邊z,z2和z3的系數(shù)得

(10)

在(4)式中帶入(10)式中的a2,a3和a4值，得

(11)

(12)

假定c1=c∈[0,2]，對上式應(yīng)用三角不等式得

證明由(11)式得

假定c1=c∈[0,2]，利用|ζ|<1和三角不等式得

66c2|x|3M2+132c|x|M2N+9c2|x|4M2+36c|x|2M2N+

36M2N2+256c2|x|M+256|x|2M2]=φ(c,|x|),

其中M=4-c2,N=1-|x|2.

定理7 若f∈Cs,逆函數(shù)的系數(shù)由(4)式給出.則有

18c(4-c2)(1-|x|2)]=φ(c,|x|),

其中c1=c∈[0,2].

定理8 若f∈Cs,逆函數(shù)的系數(shù)由(4)式給出.則有

證明利用引理1和(11)式,對|T3(1)|計算得

類似前述定理的證明，不失一般性，假定c1=c∈[0,2]，將c1=c帶入上式，應(yīng)用三角不等式得