張海燕, 莫 帥, 趙月云, 毛安民

(曲阜師范大學數學科學學院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

本文討論如下一類重要的四階橢圓型方程

(*)

設V(x)=0,q(x)≡1,3被光滑區(qū)域Ω?3所代替,并且在?Ω上u=?u=0,則問題(*)轉化為下述四階基爾霍夫方程

在文獻[3]中,Ma運用變分方法來研究非局部四階基爾霍夫方程

的正解的存在性以及多重性.

在問題(*)中,當a=1,b=0,且q(x)=1時,在N上問題(*)便轉化為著名的四階橢圓型方程

(**)

對問題(**)的研究已有很多工作. 例如,Yin和Wu[8]通過利用山路定理和對稱山路定理研究問題(**)超線性情況下有無窮多個高能量解,為了克服Sobolev 嵌入緊性缺失的情況,他們假設V(x)滿足 (V′)V∈C(N,),滿足其中a1>0為常數. 而且,對于任何M>0,meas{x∈N,V(x)≤M}<∞,其中meas(·)為在N中的勒貝格測度.

隨后,在條件(V′)下,Ye和Tang[9]獲得了無窮多個高能量解和低能量解,從而對文獻[8]中的結果得到了進一步的推廣. 最近,Avci, et al.[2]通過利用變分方法以及截斷方法研究如下問題

得到了至少有一個正解.

綜上可知,四階非局部基爾霍夫問題的正解、高能量解、低能量解的存在性已得到廣泛、深入的研究,但是關于四階非局部基爾霍夫問題的山路解以及基態(tài)解的結果很少. 受以上文獻啟發(fā),本文利用山路定理研究問題(*)的山路解以及基態(tài)解. 對V(x)以及q(x)作如下假設,其中a,b>0為常數,

(A)q(x)>0為連續(xù)函數且存在R0>0,使得

(V)V∈C(3,)滿足且存在使得

對f(x,u)作如下假設,

(f1) 對任意的x∈3,有一致成立.

(f3) 對所有的x∈3,存在d0滿足使得成立,其中u∈且S2由(2.1)定義.

對于V(x),條件(V′)是一個經典的限制條件用來確保嵌入的緊性. 在文獻[1]中,Bartsch 和Wang證實了以上限制條件(V)弱于(V′). 當然,在文獻[7] 中仍然有其他方法確保緊性條件成立. 在這篇論文中,我們使用比(V′)更弱的條件(V)來獲得嵌入的緊性.

1 主要結果

本文的研究主要結果如下.

定理1.1 假設(f1)-(f3),(V)和(A)成立,若l>μ,其中

(ⅱ)問題(*)至少有一個基態(tài)解.

與已有文獻工作相比較，本文的工作的新穎之處主要體現在以下兩方面.

(2)用q(x)f(x,u)來代替通常的非線性項f(x,u),形式上較為復雜,這使得對于驗證泛函的山路幾何結構有一定的困難. 大多數文章用變分方法以及截斷方法研究四階非局部基爾霍夫問題的正解、高能量解、低能量解,極少有文章研究此類方程的基態(tài)解以及山路解. 因此,本文的工作是對已有四階非局部基爾霍夫問題研究的有益的補充和推廣.

本文結構如下,第2節(jié)給出必要的預備知識和變分框架,第3節(jié)給出相關引理以及主要定理的證明.

2 預備知識和變分框架

本文采用如下記號. 定義Sobolev空間

H:=H2(3):={u∈L2(3):?u,Δu∈L2(3)},

內積以及范數分別為

工作空間為

內積和范數分別為

|u|p≤Sp‖u‖,?u∈E.

(2.1)

(2.2)

在已有條件下可得Ib∈C1(E,),并且對于任意的u,v∈E,有

(2.3)

定義2.2 設E為巴拿赫空間,E*為E的對偶空間,如果對任意的序列{un},I(un)→c,I′(un)→0,序列{un}都有一個收斂子列,則稱泛函I滿足(PS)c條件.

引理2.3 設E為實的巴拿赫空間,假設I∈C1(E,),使得對某個α<η,ρ>0,e∈E且‖e‖>ρ,有成立. 設且則存在序列{un}?E,使得當n→∞時,有且I′(un)→0.

3 定理的證明

首先證明下列引理.

引理3.1 假設(f1)-(f3),(V)以及(A)成立,則

(ⅰ)存在ρ>0,α>0,使得對所有的u∈E,且‖u‖=ρ,有Ib(u)≥α>0.

證明(ⅰ) 由條件(f1)和(f2)知,對任意的ε>0,存在p>1和C=C(ε)>0使得

f(x,u)≤ε|u|+C|u|p,?x∈3,

(3.1)

則有

(3.2)

其中A=A(ε,p)>0. 而且,由(f1)-(f3) 以及(A) 知,存在C1>0使得

q(x)≤C1,?x∈3.

(3.3)

因此,由(3.2)和(3.3) 知,對任意的u∈E,有

取e=t0u且t0足夠大,因此I0(e)=I0(t0u)<0,且‖e‖=t0‖u‖>ρ.

對于引理3.1給出的α和e,根據引理2.3知,存在(PS)序列{un}?E使得

(3.4)

引理3.2 假設(V),(f1)-(f3)和(A)成立,則由(3.1)定義的{un}有一個收斂的子序列.

證明對于足夠大的n,由(f3),(2.2)以及(2.3)知

以上討論得出了{un}的有界性. 接下來,證明序列{un}有一個收斂的子序列. 仍把子列記為{un},假設un?u在E中,un→u在Ls(3)中,其中2≤s<6,un→u幾乎處處在3中,則

通過計算可得

因為

εC2|un-u|2+C3C1|un-u|p+1→0,n→∞.

顯然,由于當n→∞時,有I′b(un)→0,所以有n→∞時,得出〈I′b(un)-I′b(u),un-u〉→0,所以當n→∞時,有‖un-u‖E→0成立. 證畢.

定理1.1的證明(ⅰ) 由引理3.1,3.2以及引理2.3可證得此結果.

(ⅱ)為了獲得基態(tài)解,用K表示Ib的非平凡臨界點集. 設m=inf{Ib(u):u∈K},很容易得出K為非空的. 對于任何u∈K,有

因此,對于任意的u∈K,有

0≥‖u‖2-εC1S2‖u‖2-CC1Sp+1‖u‖p+1.

(3.5)

由于對任意的u∈K,均有u≠0,則由(3.5)知,對任意的u∈K,有

(3.6)

因此,在K中,序列的任何極限點均非零.

我們斷言Ib在K中下方有界. 也就是說,對所有的u∈K,存在M>0,使得Ib(u)≥-M. 否則,對任意的n∈,存在{un}?K使得Ib(un)<-n.由3.1(ⅰ)知結合Ib(un)<-n,這意味著當n→∞時,有 ‖un‖→+∞. 正如引理3.2的證明,我們知道‖un‖→+∞是不可能的. 則Ib在K中是下方有界的. 因此m≥-M. 設使得當n→∞時,有則對于序列以及實數m,(3.4)式成立. 下面的步驟與引理3.2中的證明相似,我們可以得出在H中是有界的,把其子列仍記為且有其中而且以及因此,為問題(*)的基態(tài)解. 證畢.