楊正璽，常洪振

(1.北京機(jī)電工程研究所，北京100074；2.北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京100076)

0 引言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程包括結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。其中,質(zhì)量矩陣儲(chǔ)存著結(jié)構(gòu)各部分的動(dòng)能,剛度矩陣存儲(chǔ)著結(jié)構(gòu)各部分的勢能,阻尼矩陣則代表能量在結(jié)構(gòu)的各部分之間的轉(zhuǎn)移(例如機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能),結(jié)構(gòu)的總能量通過這三個(gè)矩陣進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換,由此形成結(jié)構(gòu)持續(xù)的運(yùn)動(dòng)(振動(dòng)),結(jié)構(gòu)共振時(shí)的形態(tài),稱之為模態(tài)。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)對應(yīng)實(shí)際物理意義上的振動(dòng)形態(tài),在數(shù)學(xué)意義上則對應(yīng)非齊次微分方程的特征值問題。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型對應(yīng)的方程在物理坐標(biāo)系下,質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均是非對角的對稱正定矩陣,若直接求解方程難度較大。通常的做法是,借助模態(tài)向量基的正交性將結(jié)構(gòu)實(shí)際的非對角質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換為對角矩陣,這樣就可以將結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)系下的多自由度系統(tǒng)解耦為n個(gè)單自由度組成的系統(tǒng),由此方程求解可大為簡化。上述解耦過程得到的模態(tài)坐標(biāo)系下的對角質(zhì)量矩陣和剛度矩陣就稱為模態(tài)質(zhì)量陣、模態(tài)剛度陣,每個(gè)對角元素稱為結(jié)構(gòu)該階模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度。

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度是為了數(shù)學(xué)計(jì)算的方便在模態(tài)坐標(biāo)系下的定義,不再具有實(shí)際的物理意義和量綱。不過由于其也是對實(shí)際結(jié)構(gòu)的一種描述,在模態(tài)坐標(biāo)系下得到的這些參數(shù)也可通過廣義反變換的方式轉(zhuǎn)化為實(shí)際物理系下的力學(xué)參量[1],即具有實(shí)際物理意義。例如在航空航天領(lǐng)域可利用模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)振型參數(shù)來計(jì)算飛行器飛行過程的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程系數(shù)以及動(dòng)載荷,為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和載荷環(huán)境條件的設(shè)計(jì)提供重要依據(jù)[2-5]。由此看來,模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度等動(dòng)特性參數(shù)在航空航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中占據(jù)著重要的地位?；诖?一些學(xué)者已經(jīng)提出基于有限元模型獲取模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度的方法[6-9],但該方法的測試結(jié)果極依賴于所建立有限元模型精度,對于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的完整的有限模型難以建立,因此該方法有很大局限性。由于模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度可以通過結(jié)構(gòu)固有頻率相互導(dǎo)出,本文僅研究模態(tài)質(zhì)量獲取方法,其中重點(diǎn)研究試驗(yàn)測試方法。

1 公式法

根據(jù)定義,模態(tài)質(zhì)量矩陣等于結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)系下真實(shí)的質(zhì)量矩陣左乘模態(tài)振型矩陣的轉(zhuǎn)置,右乘模態(tài)振型矩陣為

式中:Mm為模態(tài)質(zhì)量矩陣;M為物理坐標(biāo)系下真實(shí)的質(zhì)量矩陣;Φ為模態(tài)振型;ΦT為模態(tài)振型矩陣的轉(zhuǎn)置。

式(1)中,需已知結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)系下真實(shí)質(zhì)量矩陣,對于復(fù)雜結(jié)構(gòu),需先建立有限元模型,物理坐標(biāo)系下真實(shí)質(zhì)量矩陣、模態(tài)振型均可通過有限元模型提取?？紤]到有限元模型與結(jié)構(gòu)相比有一定誤差,獲取的模態(tài)振型也會(huì)有誤差,并且直接通過完整的有限元模型提取的參數(shù)容量一般較大,不便于直接計(jì)算。工程中通常使用的方法是利用試驗(yàn)實(shí)測振型數(shù)據(jù)和有限元模型提取的物理坐標(biāo)系下真實(shí)質(zhì)量矩陣配合進(jìn)行計(jì)算,公式中的模態(tài)振型矩陣由試驗(yàn)來給出,真實(shí)質(zhì)量矩陣通過有限元模型縮聚到試驗(yàn)測點(diǎn)處的縮聚模型給出,這樣就極大減少計(jì)算量,同時(shí)提高結(jié)果的準(zhǔn)確性,但該方法仍需要建立結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型,因此,該方法對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)存在一定使用局限性。

2 基于頻響函數(shù)的試驗(yàn)方法

2.1 方法原理

根據(jù)模態(tài)理論,在比例粘性阻尼假設(shè)下,n自由度系統(tǒng)用模態(tài)參數(shù)表示的加速度頻響函數(shù)矩陣為

式中:ω為固有頻率;{φ}i為第i階模態(tài)的振型為第i階模態(tài)振型的轉(zhuǎn)置;Mi為模態(tài)質(zhì)量;Ki為模態(tài)剛度;Ci為阻尼系數(shù)。

簡單的單點(diǎn)激振情況下,上述矩陣的第l行第p列分量即在p點(diǎn)激振,l點(diǎn)測量的加速度傳遞函數(shù)為

上述頻響函數(shù)式子包含了各階模態(tài)參數(shù),對于一般的小阻尼系統(tǒng),若在模態(tài)密度不是很高、相鄰模態(tài)相互影響不大的情況下,式(3)可簡化為

式中:Ri為復(fù)常數(shù),表示第i階以外其他各階模態(tài)影響總和。

將式(4)的實(shí)部和虛部分開

當(dāng)Ri=0時(shí),根據(jù)式(5)和式(6)繪制實(shí)頻、虛頻曲線;當(dāng)Ri≠0,曲線將上移RiR和RiI。這時(shí)可直接由圖解識(shí)別法快速檢索求得模態(tài)參數(shù),分別確定該階模態(tài)的固有頻率ωi和模態(tài)阻尼比ξi。

2.2 錘擊法

若試驗(yàn)采用錘擊法,振型測量可由頻響函數(shù)矩陣中一行的虛部峰值得到。若將余項(xiàng)Ri當(dāng)做小量忽略,再令即在共振頻率處,則由式可得傳遞函數(shù)虛部峰值點(diǎn)的值為

錘擊法為響應(yīng)點(diǎn)l固定,激振點(diǎn)p=1,2,3…n時(shí),令其中m點(diǎn)為歸一化參考點(diǎn),即φmi=1,參考點(diǎn)m的頻響函數(shù)虛部峰值為

第p點(diǎn)的歸一化后振型為

整理可得錘擊法中該階模態(tài)質(zhì)量計(jì)算公式為

當(dāng)響應(yīng)點(diǎn)與歸一化點(diǎn)一致時(shí),模態(tài)質(zhì)量計(jì)算公式為

2.2 激振器法

若試驗(yàn)采用激振器法,推導(dǎo)過程與錘擊法類似,激振器法中模態(tài)質(zhì)量計(jì)算公式為

當(dāng)激振點(diǎn)與歸一化點(diǎn)一致時(shí),計(jì)算公式(12)與式(11)一致。

2.3 模態(tài)質(zhì)量的修正

由式(10)～(12)可以看到,模態(tài)質(zhì)量的測試精度直接取決于阻尼比ξ和頻響函數(shù)H的測量精度。對于阻尼比的精度,影響因素主要包括各階模態(tài)的分離程度、測試中所使用窗函數(shù)以及測試設(shè)備本身的頻率分辨力。在測試中可通過優(yōu)化激振位置盡量使各階模態(tài)分離,使分析頻段內(nèi)僅為單一模態(tài),以提高阻尼比識(shí)別的準(zhǔn)確性。對于測試設(shè)備的頻率分辨力則要求每次測試分析頻率上限值根據(jù)各階模態(tài)頻率分別設(shè)定,并且盡可能選擇低的上限。

頻響函數(shù)是有量綱的,雖然試驗(yàn)系統(tǒng)中的力和加速度傳感器一般都要求使用提供的靈敏度標(biāo)定值,但通常計(jì)量部門所做的標(biāo)定是在靜載下或特定頻率下的。頻響函數(shù)測試是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程,頻率范圍廣,傳感器靈敏度將會(huì)發(fā)生變化,特別對于力傳感器,錘擊法中所測得的力值是錘頭和傳感器之間的力,并不是直接作用于結(jié)構(gòu)上的力,它與所使用力錘的重量、錘頭以及結(jié)構(gòu)的材質(zhì)都有關(guān)[10-11]。為保證頻響函數(shù)測試的準(zhǔn)確度,測試前需要先對所用的測試設(shè)備作組合動(dòng)態(tài)標(biāo)定。

通常采用文獻(xiàn)中介紹的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊絕對標(biāo)定法。如圖1所示,標(biāo)定過程所使用的測試系統(tǒng)與模態(tài)測試系統(tǒng)相同,只是將結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件改換為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊或砝碼。

圖1 修正方法示意圖

將砝碼用橡膠繩懸吊起來,在砝碼的一個(gè)端面中心粘貼加速度傳感器,另一端面中心作為錘擊點(diǎn)或激振點(diǎn),在錘擊點(diǎn)或激振點(diǎn)位置粘貼一片與實(shí)際結(jié)構(gòu)相同的材料。標(biāo)定過程的分析儀頻率上限取模態(tài)測試時(shí)可能采用的最高頻率,窗函數(shù)甚至指標(biāo)都應(yīng)與模態(tài)測試時(shí)相同,會(huì)對標(biāo)定結(jié)果產(chǎn)生較大影響。標(biāo)定過程與模態(tài)測試相同也取多次測試平均,次數(shù)可適當(dāng)增加。標(biāo)定結(jié)果曲線為一條有小幅波動(dòng)的水平直線,可在所標(biāo)定的頻率范圍內(nèi)取若干點(diǎn)的平均值作為最終標(biāo)定值。根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)量為m的砝碼,自身頻率足夠高,在所標(biāo)定的頻率范圍內(nèi),其頻響函數(shù)應(yīng)與靜態(tài)時(shí)一致,為1/m,故系統(tǒng)的標(biāo)定系數(shù)可寫為

模態(tài)試驗(yàn)直接測得的頻響函數(shù)值H試,可由式(13)修正為實(shí)際的頻響函數(shù)值

將式(14)代入式(10)和(12),可得模態(tài)質(zhì)量的修正結(jié)果。

3 基于頻率變化率的試驗(yàn)方法

上述基于頻響函數(shù)的試驗(yàn)法存在不足:一是要測定準(zhǔn)確的阻尼比值,對于密集模態(tài)情況需要多次優(yōu)化激振位置,工作量大且效果有限,阻尼比的準(zhǔn)確度難以保證;二是測定準(zhǔn)確的激振力和響應(yīng)的幅值,要求傳感器和測量儀器有準(zhǔn)確的靈敏度標(biāo)定值,傳感器和測量儀器通常僅在計(jì)量部門所做的靜載或特定頻率下的標(biāo)定值是不夠的,需要在模態(tài)測試前對實(shí)際使用的測量系統(tǒng)作組合動(dòng)態(tài)標(biāo)定,較為繁瑣。本節(jié)所介紹的基于頻率變化率的試驗(yàn)方法不需要測量力幅和振幅的絕對值,避免了標(biāo)定程序,更為簡便可靠。

首先使試件處于某階模態(tài)共振點(diǎn),然后在試件上一點(diǎn)或若干點(diǎn)上逐級(jí)增附加質(zhì)量,改變激振頻率,重新建立共振,測量相應(yīng)的共振頻率移動(dòng)量即可確定模態(tài)質(zhì)量。假設(shè)附加質(zhì)量后試件振型不變,則模態(tài)剛度也不變,即

對ωi求導(dǎo)可得

式中:ΔMi為各點(diǎn)附加質(zhì)量mp與對應(yīng)的p點(diǎn)規(guī)格化振型平方乘積的總和。

為避免偶然誤差影響,提高測試準(zhǔn)確度,可繪制一條質(zhì)量變化-頻率變化曲線,取得曲線起始點(diǎn)附近的斜率值,將其代入公式中計(jì)算模態(tài)質(zhì)量。

由于該方法假設(shè)附加質(zhì)量后試件振型不變,即模態(tài)剛度不變,因此附加質(zhì)量的大小不應(yīng)過大,參考飛行器相關(guān)模態(tài)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[12]中對于邊界支承工裝所產(chǎn)生的附加質(zhì)量要求的規(guī)定,本文定性給出該方法中附加質(zhì)量的大小應(yīng)小于試驗(yàn)件質(zhì)量的1%,供使用中參考。

4 應(yīng)用實(shí)例

采用梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)測試方法驗(yàn)證,尺寸為長1500 mm×寬100 mm×厚3 mm,模態(tài)質(zhì)量以右端部所在位置歸一化,主要考慮梁的前三階模態(tài)。首先建立有限元模型以利用公式法計(jì)算模態(tài)質(zhì)量,并以此結(jié)果作為評(píng)定試驗(yàn)方法獲取結(jié)果的基準(zhǔn)。

進(jìn)行錘擊法自由模態(tài)試驗(yàn),在右端部和中間位置布置兩個(gè)響應(yīng)測點(diǎn),變換錘擊點(diǎn)進(jìn)行模態(tài)測量,梁結(jié)構(gòu)實(shí)物如圖2,有限無模型圖3所示。

圖2 梁結(jié)構(gòu)實(shí)物圖

圖3 梁結(jié)構(gòu)有限元模型

重點(diǎn)獲取準(zhǔn)確的傳遞函數(shù)曲線并識(shí)別模態(tài)阻尼比參數(shù),并利用砝碼對傳感器和測試系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)合標(biāo)定,如圖4利用錘擊方法計(jì)算模態(tài)質(zhì)量。

圖4 傳感器和測試系統(tǒng)的聯(lián)合標(biāo)定

重新進(jìn)行錘擊法自由模態(tài)試驗(yàn),在右端部即歸一化點(diǎn)處逐級(jí)粘結(jié)不同質(zhì)量的砝碼(如圖5),然后重新測量結(jié)構(gòu)的共振頻率,利用第3節(jié)介紹的方法作出質(zhì)量變化-頻率變化曲線,如圖6所示,取得曲線起始點(diǎn)附近的斜率值代入第3節(jié)公式中,計(jì)算模態(tài)質(zhì)量。

圖5 梁結(jié)構(gòu)上附加不同質(zhì)量的砝碼

圖6 模態(tài)質(zhì)量變化-頻率變化曲線

兩種試驗(yàn)方法得到的梁前三階模態(tài)質(zhì)量結(jié)果與公式法計(jì)算的基準(zhǔn)的對比(括號(hào)內(nèi)為誤差百分比)見表1所示。

表1 兩種測試方法與公式計(jì)算基準(zhǔn)結(jié)果對比

由表可知,頻響函數(shù)法得到的結(jié)果除一階模態(tài)誤差為15%外,二階、三階結(jié)果誤差為30%,35%,誤差較大;基于頻率變化率的試驗(yàn)方法得到的結(jié)果各階模態(tài)誤差均可控制在20%左右,能夠滿足實(shí)際工程的需要。

5 結(jié)論

基于有限元模型的公式法獲取模態(tài)質(zhì)量在工程中僅局限于簡單結(jié)構(gòu)的使用,本文對基于頻響函數(shù)、頻率變化率獲取模態(tài)質(zhì)量參數(shù)的試驗(yàn)測試方法進(jìn)行了研究,并應(yīng)用于實(shí)際梁結(jié)構(gòu),對兩種試驗(yàn)測試方法獲得的結(jié)果與公式法計(jì)算的基準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行對比,表明基于頻率變化率的試驗(yàn)方法得到的結(jié)果誤差可控制在20%左右,能夠滿足實(shí)際工程的需要,為獲取復(fù)雜結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量參數(shù)提供了可行的方法。