廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 鄧春源

2021年八省市高考適應(yīng)性考試落下帷幕,這是由教育部考試中心命題,針對八省市(江蘇、河北、廣東、湖南、湖北、重慶、福建、遼寧)新高考進(jìn)行的一次適應(yīng)性模擬考試,簡稱八省市高考適應(yīng)性考試.這次考試一方面為我省新高考的開啟指明了備考的方向,另一方面通過測試檢查也促使我們反思初等教育中存在的問題,逐步補(bǔ)足我們的短板,早日實(shí)現(xiàn)廣東教育大省的宏偉目標(biāo).這次八省市高考適應(yīng)性考試的數(shù)學(xué)測試是新高考模式下文理合卷后的一次大規(guī)模的模擬測試,試卷展現(xiàn)形式靈活,試題回歸教材,重視對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的考查,多維度檢驗(yàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.這次考試重在演練與測試,從命題、制卷、組考、評卷到錄取等各個(gè)環(huán)節(jié)都嚴(yán)格參照高考標(biāo)準(zhǔn),讓考生了解新高考的考試方式和考試流程,熟悉新高考試卷結(jié)構(gòu)、試題風(fēng)格、題型難度等,也是對全省各考點(diǎn)的準(zhǔn)備和組織情況的一次演練.

這次文理合卷模擬考試,雖然試題的整體難度不大,但是試題活性度有所增加,沒有出現(xiàn)像以往考試那樣明顯的送分題目,我們的考生一下子還不能適應(yīng),使得廣東的數(shù)學(xué)科平均分會較往年高考的平均分降低很多.模擬試卷的素材多源于教材,命制中出現(xiàn)的開放題、情境化試題讓人耳目一新,這可能代表著今后數(shù)學(xué)試題的命題趨勢,為數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)備考明確了方向.在這種趨勢下,我們老師在今后的教學(xué)中,要更好地做到授人以魚不如授之以漁的教學(xué)理念.下面我們以這次八省市高考適應(yīng)性考試的四個(gè)填空題為例,探討試題給我們的啟示,為即將到來的新高考做好準(zhǔn)備.

一、試題呈現(xiàn)

13.圓臺上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10 的球面上,其上、下底面半徑分別為4 和5,則該圓臺的體積為____.

14.若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為____,____.

15.寫出一個(gè)最小正周期為2 的奇函數(shù)____.

16.對一個(gè)物理量做n次測量,并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差為 使 誤 差εn在(?0.5,0.5)的概率不小于0.9545, 至少需要測量____次(若X ～N(μ,σ2), 則P(|X?μ|＜2σ)=0.9545).

二、試題解析

13.解析圓臺的下底面半徑為5, 故下底面在外接球的大圓上,如圖1所示,設(shè)球的球心為O, 圓臺上底面的圓心 為O′,則圓臺的高OO′=由此得圓臺體積(52+5×4+42)=61π.

圖1

14.解析建立如圖2 直角坐標(biāo)系, 正方形OABC中, 對角線OB所在直線的斜率為2, 設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為θ, 則tanθ= 2, 由正方形性質(zhì)可知,直線OA的傾斜角為θ ?45°,直線OC的傾斜角為θ+ 45°, 故kOA= tan(θ ?45°) =,kOC= tan(θ+45°) ==?3.(或者利用kOA·kOC=?1,得kOC=?3),答案為

圖2

15.解析由f(x) 的最小正周期為2, 且是奇函數(shù), 可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)f(x)=Asⅰnωx,(A/=0),根據(jù)最小正周期T== 2,可得ω=π.故函數(shù)可以是f(x) =Asⅰnπx(A /= 0)中任一個(gè),可取f(x)=sⅰnπx.如圖3,故答案可以為f(x)=sⅰnπx.

圖3

16.解析如圖4, 根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知: 要使誤差εn在(?0.5,0.5) 的概率不小于0.9545, 則(μ?2σ,μ+2σ)?(?0.5,0.5)且所以0.5 ≥故答案為32.

圖4

三、試題分析

第13 題考查圓臺與球的切接問題,首先依據(jù)幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,確定圓臺下底面在球中的位置,然后利用幾何關(guān)系得出圓臺的高度,即可求得其體積.考查的知識點(diǎn)是圓臺體積公式,同時(shí)也考查了考生空間想象能力,考生要根據(jù)所給條件判定圓臺在球體內(nèi)的位置,才能正確算出圓臺的高.而本題的失分點(diǎn)在于圓臺體積公式并未給出,需要考生記住公式或者會推導(dǎo)出公式,否則,無法得出答案.解答中出現(xiàn)了像不規(guī)范書寫,說明同學(xué)們平時(shí)沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣;出現(xiàn)了像的解答屬于公式記憶錯誤,但出現(xiàn)許多像的解答就讓人百思不得其解了.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出:“了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法,運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì),建立空間觀念”.2020年山東省適應(yīng)性考試填空題第15 題: 若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為4 的正方形,則該圓柱的外接球的表面積為____.有似曾相識的感覺.近年幾何體的外接球問題依然熱度不減,但命題方向由多面體外接球涉及旋轉(zhuǎn)體外接球,筆者也曾撰文求多面體外接球問題時(shí)可以先轉(zhuǎn)化求旋轉(zhuǎn)體外接球.

第14 題題目呈現(xiàn)靈活,給人耳目一新的感覺,體現(xiàn)了命題人智慧,僅利用正切和角公式求直線斜率,這樣簡單的命題背景,一下子就把考生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)給區(qū)分出來了.正方形在平面內(nèi),位置怎樣擺放不確定,正方形的頂點(diǎn)可以落在原點(diǎn),也可以不在,上下左右移動均可,正方形的邊長也不確定,想畫多長都行.僅告訴正方形的對角線的斜率為2,要求考生發(fā)揮想象,無圖想圖,靈活建立平面直角坐標(biāo)系,考查兩直線的垂直關(guān)系,正切和角公式等知識點(diǎn).部分考生得出直角邊的直線方程為y=這種答案與要填如斜率不相符,也反映了考生的理解錯誤.典型錯誤是學(xué)生空間想象能力不足,沒有判斷好兩條直角邊斜率與對角線斜率的關(guān)系,把正確答案和?3 錯弄成和3.一個(gè)令人驚訝的事實(shí)是,多半考生沒有用到當(dāng)兩條直線斜率存在時(shí),其斜率乘積為?1 這一事實(shí).

《課標(biāo)》指出:“在命題中,選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體”,“在命題中,應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成,關(guān)注學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的能力”.

第15 題是一個(gè)首次出現(xiàn)的新題型,試題采用開放式設(shè)計(jì), 答案不唯一, 主要考查學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)積累.考生可以根據(jù)自己的理解和知識儲備,舉出多種符合要求的函數(shù).試題體現(xiàn)了理性思維和數(shù)學(xué)探究的學(xué)科素養(yǎng), 主要考查了考生的創(chuàng)新能力、邏輯推理能力,落實(shí)了基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性的考查要求.這一試題解答情況是4 個(gè)題目中最好的,考生得分率最高.試題讓考生寫一個(gè)周期為2 的奇函數(shù),許多考生給出f(x) = sⅰnπx的正確解答.實(shí)際上這一題考查的知識非常靈活, 考生可以借助誘導(dǎo)公式給出多種正確答案,例如f(x)=asⅰn(πx+kπ),也可依據(jù)自己的知識儲備選擇連續(xù)的奇函數(shù)、離散的奇函數(shù),或分段奇函數(shù),知識背景是傅里葉分析的一個(gè)應(yīng)用.出現(xiàn)的典型答題錯誤是y= sⅰn 2x,y= sⅰn(π+x),y=f(x) = sⅰnπx(x ∈Z)等情況,是對基本周期計(jì)算公式掌握不牢導(dǎo)致.

本質(zhì)上, 該題考查的是一個(gè)滿足f(x) +f(?x) = 0,f(x)=f(x+2)(或f(x)+f(x+1)=0)的連續(xù)或非連續(xù)的函數(shù)(例如離散的函數(shù),其定義域可以是實(shí)數(shù)集R,也可以是實(shí)數(shù)集R 上的無限個(gè)離散的點(diǎn)).這樣的函數(shù)是無窮盡的,這就要求我們的考生結(jié)合已有的認(rèn)知,在考場中發(fā)揮自己的想象空間.多數(shù)考生能夠想到正弦函數(shù),除此之外,常見的還有以下幾種(k ∈Z):

1.定義域?yàn)镽 上的連續(xù)函數(shù):f(x)=

2.離散的定義域或非R 上的函數(shù):f(x) =

3.分段函數(shù):

開放題既考查學(xué)生對基本數(shù)學(xué)概念的掌握情況, 也有利于考生臨場發(fā)揮.解答中也有一些鮮見的例子, 例如f(x)=αsⅰn(πx+kπ),說明考生對該知識不僅掌握,還有靈活的運(yùn)用.

《課標(biāo)》指出:“命題時(shí),應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用題,還應(yīng)包括開放性的問題和探究性問題,重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識,問題情景的設(shè)計(jì)應(yīng)自然合理.開放性問題和探究性問題的評分應(yīng)遵循滿意原則和加分原則,達(dá)到測試的基本要求視為滿意,有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實(shí)際情況加分.在命制應(yīng)用題、開放性問題和探究性問題時(shí),要注意公平性和閱卷的可操作性.”

第16 題考查正態(tài)分布的基本知識,試題條件充足,也給出了明顯的提示,考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.但答題情況不太好,說明考生對概率論的一些基礎(chǔ)知識點(diǎn)掌握不牢.本題的情景熟悉而不落俗套,設(shè)計(jì)的問題自然而新穎.試題接近考生,貼近生活,使考生體會統(tǒng)計(jì)與概率知識與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān),在工作和生活中有著廣泛而重要的應(yīng)用,形成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)知識指導(dǎo)社會實(shí)踐的意識,提高綜合實(shí)踐能力.試題注重對基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性考查, 而綜合性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科之間的融合.此外,情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

《課標(biāo)》指出:“感悟服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,知道連續(xù)型隨機(jī)變量, 基于隨機(jī)變量及其分布解決簡單的實(shí)際問題.”,“通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.通過具體實(shí)例,借助頻率直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)分布的特征.了解正態(tài)分布的均值,方差及其含義.”

綜合分析,試題注重基本知識的考查,注重基本概念的理解和應(yīng)用,打破了命題的固有套路,增強(qiáng)了開放性和靈活性, 要求學(xué)生能夠靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題.填空題四個(gè)題合計(jì)20 分,全省中有超過一半的考生得零分,平均分預(yù)計(jì)不會高于5 分.我們要盡快找出造成這種窘境的影響因素,反思教學(xué)中存在的不足,及時(shí)調(diào)整教學(xué)方式,優(yōu)化教學(xué)方法,提高教學(xué)水平,為培養(yǎng)出更多基本扎實(shí),思維活躍、開拓創(chuàng)新的人才做好充足準(zhǔn)備.

四、教學(xué)思考

1 認(rèn)真研讀《課標(biāo)》,合理利用教材

目前高考處于“三新一舊”(即新高考改革方案、新課程方案、新課程標(biāo)準(zhǔn)、舊教材)的過渡階段, 認(rèn)真研讀《課標(biāo)》,領(lǐng)會新課程理念和學(xué)科核心素養(yǎng),合理利用舊教材,適當(dāng)關(guān)注新教材.例如第16 題,設(shè)置了與物理學(xué)科間融合的科學(xué)情境,較好地考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.在《課標(biāo)》中對正態(tài)分布要求是“通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量”,而新教材在編寫時(shí)較好地落實(shí)了這一點(diǎn),在新教材《高中數(shù)學(xué)選擇性必修三(人教A 版)》中第83 頁正是通過“自動流水線上包裝食鹽的誤差”來引入連續(xù)性的隨機(jī)變量,之后提到了“在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.如某些物理量的測量誤差...”這與第16 題的背景高度吻合.沒有了考試大綱,《課標(biāo)》就是高考命題的依據(jù), 而新教材在編寫上以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為宗旨,體現(xiàn)并落實(shí)《課標(biāo)》提出的基本理念和目標(biāo)要求,同時(shí)又與新高考接軌,由此可見,研究新教材勢在必行,合理利用新、舊教材值得教師們探討.當(dāng)然,無論使用舊教材還是新教材,都要以教材知識為本,對教材上的知識點(diǎn)、例題加以概括、提高和延伸,起到舉一反三、逐類旁通的效果.

2 明確高考要求,領(lǐng)悟試題變化

《中國高考評價(jià)體系》中提出了高考改革將以“一核”、“四層”、“四翼”為考查要求,通過設(shè)置真實(shí)的問題情境,考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力,允許學(xué)生從多角度作答,使“死記硬背”“機(jī)械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”的收益大大降低,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)從“解題”向“解決問題”、“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變.這次測試打破了命題的固有套路,重視數(shù)學(xué)知識的理解與應(yīng)用能力,對機(jī)械式刷題的備考模式敲響了警鐘.機(jī)械刷題模式培養(yǎng)的學(xué)生只知其然,而不知其所以然,固化了學(xué)生的思維,對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)深造和創(chuàng)新能力培養(yǎng)都會產(chǎn)生不良影響.在大學(xué)一年級新生中,缺乏分析和解決問題能力的同學(xué)并不少見,他們在學(xué)習(xí)遇到困難時(shí),總渴望老師能給一個(gè)解題“法寶”套進(jìn)去就能得出答案,他們也會得意的把以前老師刷題“法寶”枚舉一些,這種功利式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式限制了思維發(fā)展,很難培養(yǎng)出優(yōu)秀創(chuàng)新人才.

高考數(shù)學(xué)學(xué)科命題通過創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)與試題形式,較好地發(fā)揮著高考引導(dǎo)教學(xué)的功能.例如第15 題這個(gè)結(jié)論開放的新題型,沒有唯一答案,給考生留有展示空間,有助于創(chuàng)新性人才選拔.多選題賦分規(guī)則做了調(diào)整,由之前部分選對的得3 分改為2 分,這樣修改可以更好檢測學(xué)生水平,避免投機(jī)取巧蒙混過關(guān),更好體現(xiàn)不同層次學(xué)生獲得不同分?jǐn)?shù)的選才理念.領(lǐng)悟到高考試題命制變化意圖,教學(xué)中就要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo),以知識為載體,突出理性思維,培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識.

3 立足“四基”“四能”,提升數(shù)學(xué)思維能力

高考數(shù)學(xué)重視對“四基”、“四能”落實(shí),立足數(shù)學(xué)本質(zhì),著重考查數(shù)學(xué)思想、應(yīng)用能力及創(chuàng)新能力等.以“四基”為根考查相關(guān)概念性知識要素,以“四能“為干考查相關(guān)知識的性質(zhì)及應(yīng)用等,把類化、拓展性等知識作為考查核心素養(yǎng)的抓手,科學(xué)考查數(shù)學(xué)的必備知識、關(guān)鍵能力、與學(xué)科素養(yǎng).例如第14題求直線斜率,題目設(shè)計(jì)新穎,呈現(xiàn)靈活,要求考生無圖想圖,恰當(dāng)圖形擺放是基本活動經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn),正確答案得出是關(guān)鍵能力的達(dá)成.

教學(xué)中存在著“考什么、教什么、學(xué)什么”和“不考便不教、不學(xué)”的功利做法,導(dǎo)致對知識本質(zhì)缺乏理解,忽視學(xué)生知識遷移能力培養(yǎng).例如第13 題求圓臺的體積,失分原因就在于主觀認(rèn)為圓臺體積公式不會考, 即使考也會給出公式,而這次考試出乎意料正中軟肋,考生不記得公式,也不會利用圓錐去推導(dǎo),自然無謂失分.同樣,雙曲線一般不出大題,這次在第20 題出了道雙曲線大題,即使設(shè)問方式比較常規(guī),求解方法也是通性通法,也使得考生驚慌失色,束手無策.圓臺與圓錐間的化歸與轉(zhuǎn)化思想,雙曲線與橢圓的聯(lián)想類比思想,這些典型的數(shù)學(xué)思想方法要在日常的教學(xué)中去滲透,要讓這些思想方法能遷移內(nèi)化成理性思維能力,還要能將這些數(shù)學(xué)思維能力體現(xiàn)在操作應(yīng)用上.

當(dāng)拿到一個(gè)關(guān)于橢圓的問題,能否靜下心來把它做好?做好之后能否進(jìn)一步去思考,換成拋物線會怎么樣? 換成雙曲線會怎么樣? 不能因?yàn)椤半p曲線不考”就不去做, 類比推理、延申拓展、變式探究,都是在這個(gè)過程中體現(xiàn)的,構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)體系也是在這個(gè)過程中完成的.當(dāng)認(rèn)真地思考過后,數(shù)學(xué)思維水平自然就在加深,數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力自然就在提高.人們常說“一道題做透了,遠(yuǎn)勝于100 道題”,就是這個(gè)道理.即使題目再變,也不會覺得可怕,因?yàn)樗械囊?guī)律都已被掌握,這就是真正的“看透了”.高考要求考生應(yīng)該具有的觸類旁通、融會貫通的邏輯思維能力,所以,教學(xué)中我們要加強(qiáng)通性通法的教學(xué)力度,重視一題多解、一題多變的思維拓展,注重思想與方法的總結(jié)與提煉,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),更有效地提升他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及分析問題與解決問題的能力.