王振忠，喻 宏，胡 赟

(中國原子能科學(xué)研究院 反應(yīng)堆工程技術(shù)研究部，北京 102413)

探測器三維空間響應(yīng)函數(shù)(SRF)通常有兩種計(jì)算方法[1]：一是通過求解中子輸運(yùn)方程，得到堆芯某處中子源引起的探測器響應(yīng)，即正向輸運(yùn)計(jì)算方法；二是通過求解共軛中子輸運(yùn)方程，得到探測器為共軛源時(shí)堆芯各處的中子價(jià)值函數(shù)，即共軛輸運(yùn)計(jì)算方法。其中，共軛輸運(yùn)計(jì)算方法可實(shí)現(xiàn)一次性全堆芯求解，相比于正向輸運(yùn)計(jì)算方法計(jì)算時(shí)間更少。

目前，探測器SRF多采用離散縱標(biāo)程序通過共軛輸運(yùn)計(jì)算方法計(jì)算[2-6]。離散縱標(biāo)程序中中子注量率分布的計(jì)算精度取決于網(wǎng)格劃分、能群數(shù)目、角度離散數(shù)和散射截面展開階數(shù)等因素。通常精細(xì)化的計(jì)算條件可得到更為精確的SRF結(jié)果，對于探測器與堆芯距離較遠(yuǎn)的鈉冷快堆，采用精細(xì)化網(wǎng)格劃分將會花費(fèi)巨大的計(jì)算資源。因此需研究計(jì)算條件對SRF計(jì)算的影響。其次，考慮到動態(tài)刻棒試驗(yàn)中，堆芯布置和控制棒棒位發(fā)生變化，因此需研究堆芯狀態(tài)對SRF的影響。

本文利用快堆專用多群常數(shù)庫VITAMIN-FRD[7]和三維離散縱標(biāo)程序DENOVO[8]，研究中國實(shí)驗(yàn)快堆(CEFR)堆芯共軛中子注量率分布形狀對計(jì)算條件的敏感性?；诠曹椵斶\(yùn)計(jì)算方法，計(jì)算三維SRF對控制棒棒位、燃耗累積、裝載過程等因素的敏感性。

1 探測器SRF計(jì)算方法

1.1 共軛輸運(yùn)計(jì)算方法

設(shè)探測器中子響應(yīng)宏觀截面為Σd(r0,E)，堆芯內(nèi)ri處中子源強(qiáng)度S(ri,E,Ω)在堆芯外r0處探測器的響應(yīng)Rd(ri)可寫為：

Σd(r,E)δ(r-r0)dEdΩ

(1)

式中：r為空間位置；E為能量；Ω為角度；Φi為堆芯內(nèi)ri處中子源在相空間(r,E,Ω)內(nèi)的中子角注量率；δ(r-r0)為狄拉克函數(shù)。當(dāng)S(ri,E,Ω)為單位強(qiáng)度時(shí)，稱為探測器關(guān)于ri位置的SRF。

假設(shè)堆芯ri處中子源為各向同性，根據(jù)共軛理論，得到ri處中子源對應(yīng)探測器空間的響應(yīng)函數(shù)：

δ(r-ri)/4πdEdΩ

(2)

式中：χ(r,E)為裂變譜；Φ*為相空間(r,E,Ω)內(nèi)的共軛中子角注量率。

式(1)、(2)分別對應(yīng)正向輸運(yùn)計(jì)算方法和共軛輸運(yùn)計(jì)算方法計(jì)算公式。采用共軛輸運(yùn)計(jì)算方法時(shí)，往往需要對計(jì)算模型全區(qū)域進(jìn)行精確的共軛中子注量率計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算中感興趣區(qū)域?yàn)槿剂辖M件(有裂變源)區(qū)域共軛中子注量率，并非計(jì)算模型全區(qū)域。

按探測器總響應(yīng)值歸一化探測器SRF，可得到體積元Vi內(nèi)中子源對探測器響應(yīng)值的貢獻(xiàn)份額w(i)為：

(3)

式中，V為反應(yīng)堆堆芯所包含的體積。

對于空間和能量離散，則w(i)可表示為：

(4)

式中：ΔVi為體積元Vi的體積；(ΔE)g為g群能量寬度；Φ*(ri,Eg)為ri處能量為Eg的共軛中子注量率分布；G為能群數(shù)；N為堆芯節(jié)塊數(shù)。

若對分子和分母中Φ*進(jìn)行歸一化處理，w(i)不受影響，即w(i)與Φ*數(shù)值無關(guān)，與Φ*分布形狀有關(guān)。

1.2 計(jì)算流程

根據(jù)式(4)可知，計(jì)算探測器SRF需確定反應(yīng)堆裂變譜和共軛中子注量率分布。采用臨界蒙特卡羅程序KENO-Ⅵ[9]計(jì)算堆芯裂變源分布(按指定網(wǎng)格統(tǒng)計(jì))；共軛中子注量率由三維SN程序DENOVO求解。具體計(jì)算流程如下。

1) 多群數(shù)據(jù)庫制作

利用PASC截面處理程序包[10]將多群主庫VITAMIN-FRD制作為AMPX工作格式數(shù)據(jù)庫(KENO-Ⅵ使用)和ANISN宏觀截面數(shù)據(jù)庫(DENOVO使用)。

2) 裂變源計(jì)算

利用KENO-Ⅵ對反應(yīng)堆堆芯區(qū)域建模和臨界計(jì)算，按照DENOVO共軛計(jì)算時(shí)網(wǎng)格統(tǒng)計(jì)裂變源分布，并轉(zhuǎn)存為裂變源文件。

3) 共軛中子注量率計(jì)算

建立以探測器為共軛源的全區(qū)域計(jì)算模型，利用DENOVO進(jìn)行共軛輸運(yùn)方程求解，得到共軛中子注量率分布文件。

4) SRF計(jì)算

根據(jù)式(4)自編計(jì)算腳本程序，讀取裂變源文件和共軛中子注量率分布文件，進(jìn)行探測器SRF計(jì)算，并根據(jù)圖1網(wǎng)格與組件位置轉(zhuǎn)換關(guān)系，計(jì)算對應(yīng)組件三維SRF。

2 計(jì)算模型

CEFR是我國建成的首座池式鈉冷快堆[11]，鈉池內(nèi)探測器位于石墨屏蔽柱區(qū)域。故計(jì)算模型包含堆芯區(qū)域、圍板、鋼套屏、石墨屏蔽柱和探測器。堆芯區(qū)域組件包含中子源組件、燃料組件、控制棒組件(安全、補(bǔ)償、調(diào)節(jié))、鋼反射組件、硼屏蔽組件和模擬組件。與燃料棒及冷卻劑通道尺寸相比，堆芯區(qū)域快中子平均自由程較長[12-13]，計(jì)算模型中所有組件均采用組件柵元內(nèi)均勻化描述。堆芯外區(qū)域圍板、鋼套屏、石墨屏蔽柱采用均勻化描述。探測器位于石墨屏蔽柱區(qū)域內(nèi)，中心點(diǎn)距堆芯中心位置226.5 cm，中心點(diǎn)與堆芯中心位置高度對齊。CEFR首次臨界堆芯和探測器布置如圖2所示。以圖2中箭頭起始位置為原點(diǎn)(高度對應(yīng)堆芯活性區(qū)中心)，建立如圖2所示的坐標(biāo)軸，其中z軸方向垂直于紙面向外。

圖1 六角形組件直角網(wǎng)格等效劃分示意圖 Fig.1 Conversion between hexagonal cross section of subassembly and rectangular grid

圖2 CEFR首次臨界堆芯(a)和探測器(b)布置Fig.2 Core (a) and detector (b) layout of clean-core criticality state of CEFR

3 結(jié)果與討論

3.1 共軛中子注量率分布形狀對計(jì)算條件的敏感性

大尺度中子輸運(yùn)確定論計(jì)算，中子輸運(yùn)結(jié)果主要受模型網(wǎng)格尺寸、截面數(shù)據(jù)庫的能群結(jié)構(gòu)、角度離散數(shù)和散射截面展開階數(shù)等影響。選取過原點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的網(wǎng)格內(nèi)共軛中子注量率分布形狀為研究對象，研究網(wǎng)格劃分、能群數(shù)目、角度離散數(shù)和散射截面展開階數(shù)對共軛中子注量率分布形狀的影響，獲取平衡計(jì)算精度和計(jì)算資源開銷的優(yōu)化方案。

燃料組件區(qū)域采用固定寬度網(wǎng)格(遠(yuǎn)小于平均自由程(約為10 cm)，如圖1所示)劃分，以保證燃料組件區(qū)域共軛中子注量率分布形狀的計(jì)算精度。采用探測器總響應(yīng)值歸一化后，得到燃料組件區(qū)域共軛中子注量率分布形狀，如圖3所示。

1) 能群數(shù)目的影響

參考CEFR物理、屏蔽設(shè)計(jì)中采用的截面數(shù)據(jù)庫——NVITAMIN-C[11]的能群結(jié)構(gòu)，將VITAMIN-FRD經(jīng)過MALOCS模塊[10]精簡為171群數(shù)據(jù)庫。使用171群與514群截面數(shù)據(jù)庫計(jì)算的共軛中子注量率分布形狀如圖3a所示。由于誤差傳遞，能群數(shù)目改變后在遠(yuǎn)離探測器區(qū)域共軛中子注量率分布形狀偏差增大。以能群劃分較為精細(xì)的514群數(shù)據(jù)庫計(jì)算結(jié)果為參考解。隨所處位置與探測器距離的增加，171群共軛中子注量率分布形狀與參考解的相對偏差由12%增大到25%。因此，計(jì)算中采用514群截面數(shù)據(jù)庫。

2) 角度離散數(shù)(SN)和散射截面展開階數(shù)(PN)的影響

快堆堆芯燃料組件區(qū)域中子平均自由程長，且中子注量率角分布各向異性比堆芯外區(qū)域弱，采用S8、P3與S16、P5近似時(shí)共軛中子注量率分布形狀的相對偏差小于3%，如圖3b所示。因此采用S8、P3近似可在保證計(jì)算精度的前提下降低計(jì)算資源。

3) 網(wǎng)格劃分的影響

隨網(wǎng)格寬度的增加，幾何描述精度降低，輸運(yùn)方程求解的誤差增加。以5 cm寬網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果為參考解，由圖3c可見，粗網(wǎng)格共軛中子注量率分布形狀與參考解的相對偏差，隨所處位置與探測器距離的增加而增大，隨網(wǎng)格寬度的增加而增大。當(dāng)網(wǎng)格寬度為10 cm時(shí)，共軛中子注量率分布形狀與參考解的最大相對偏差出現(xiàn)在遠(yuǎn)離探測器區(qū)域(約14.2%)。在遠(yuǎn)離探測器區(qū)域共軛中子注量率分布形狀低，對探測器貢獻(xiàn)小，可認(rèn)為對探測器SRF計(jì)算影響較小。因此，在粗網(wǎng)格條件下(≤10 cm)可獲得有效的共軛中子注量率分布形狀。

共軛中子注量率分布形狀對能群數(shù)目的敏感性較高，但對網(wǎng)格尺寸、角度離散數(shù)和散射截面展開階數(shù)的敏感性較低。探測器SRF計(jì)算時(shí)，可使用低計(jì)算條件(網(wǎng)格寬度為10 cm，514群截面數(shù)據(jù)庫，S8、P3近似)的共軛中子注量率分布形狀預(yù)估高計(jì)算條件(網(wǎng)格寬度為5 cm，514群截面數(shù)據(jù)庫，S16、P5近似)時(shí)計(jì)算結(jié)果。

3.2 SRF對堆芯狀態(tài)的敏感性分析

反應(yīng)堆運(yùn)行過程中存在著燃料組件裝載、控制棒棒位改變、燃耗累積等堆芯狀態(tài)變化都會對探測器響應(yīng)造成一定的影響。通過研究探測器SRF對堆芯狀態(tài)參數(shù)的敏感性，可建立探測器SRF插值表，供動態(tài)刻棒試驗(yàn)中使用。

CEFR凈堆臨界堆芯布置時(shí)，堆芯中所有組件對鈉池內(nèi)探測器均有貢獻(xiàn)，如圖4所示。徑向上，組件內(nèi)SRF隨所處組件與探測器距離的增加而減?。惠S向上，組件內(nèi)SRF關(guān)于堆芯中心點(diǎn)對稱，隨所處位置與堆芯中心點(diǎn)距離的增加而減小。

圖3 共軛中子注量率分布形狀Fig.3 Shape of adjoint neutron fluence rate

1) 控制棒位置的影響

反應(yīng)堆運(yùn)行時(shí)控制棒處于臨界棒位附近。本文以控制棒兩種極限狀態(tài)(全部插入堆芯(ARI)和全部拔出堆芯(ARO)狀態(tài))為例，研究控制棒棒位對組件內(nèi)SRF的影響。

控制棒插入堆芯前后，堆芯中心區(qū)域和靠近探測器區(qū)域的組件內(nèi)SRF變化明顯，如圖5所示。其中，圖5a是利用SN程序基于共軛輸運(yùn)計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果，圖5b是利用CADIS方法的蒙特卡羅(簡稱蒙卡)偏倚輸運(yùn)[14-16]，基于正向輸運(yùn)計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果。由圖5可看出SN與蒙卡求解結(jié)果符合良好。控制棒插入堆芯前后，控制棒對組件內(nèi)SRF影響與控制棒在堆芯所處位置有關(guān)：隨控制棒位置與探測器距離的增加，控制棒對其周圍組件內(nèi)SRF的影響越小。控制棒插入堆芯后，吸收體吸收位于控制棒的遠(yuǎn)離探測器側(cè)的組件內(nèi)中子，使對應(yīng)組件內(nèi)中子難以到達(dá)探測器，造成對應(yīng)組件中子對探測器響應(yīng)的貢獻(xiàn)降低?？刂瓢艟嗵綔y器越近，位于控制棒的遠(yuǎn)離探測器側(cè)的組件數(shù)越多，該控制棒對組件內(nèi)SRF的影響也就越大。

a——徑向；b——軸向圖4 凈堆臨界堆芯布置組件內(nèi)SRF的分布Fig.4 SRF distribution of clean-core layout

紅色為負(fù)值，黃色為正值；為便于顯示，截?cái)嘀禐?×10-4；偏差=SRFARI-SRFARO a——SN方法；b——蒙特卡羅方法圖5 組件內(nèi)SRF徑向偏差分布Fig.5 Radial deviation distribution of SRF

另一方面，控制棒對周圍組件內(nèi)SRF的影響也與控制棒和組件之間的相對位置有關(guān)：組件位于控制棒的靠近探測器側(cè)時(shí)，控制棒插入后會使組件內(nèi)SRF增加；組件位于控制棒的遠(yuǎn)離探測器側(cè)時(shí)，控制棒插入后會使組件內(nèi)SRF減小。

控制棒插入堆芯前后，選取最靠近探測器的控制棒組件(5-13，如圖2a所示)的相鄰6盒燃料組件，其組件內(nèi)SRF的相對偏差軸向分布如圖6所示?？刂瓢粑挥贏RI與ARO狀態(tài)時(shí)，相對偏差最大的組件是位于控制棒的遠(yuǎn)離探測器側(cè)的組件(4-10)；相對偏差隨組件位置由控制棒的遠(yuǎn)離探測器側(cè)向靠近探測器側(cè)的移動而減小。這說明控制棒對周圍組件內(nèi)SRF軸向分布的影響也與控制棒和組件之間的相對位置有關(guān)。

相對偏差=(SRFARI-SRFARO)/SRFARO×100%圖6 組件內(nèi)SRF的軸向相對偏差分布Fig.6 Axial relative deviation distribution of SRF

2) 裝載過程、燃耗累積的影響

CEFR首次臨界和首爐堆芯布置之間，堆芯燃料組件數(shù)目相差7盒(如圖2a中灰色組件所示)。裝載組件前后，組件內(nèi)SRF的偏差隨所處組件與探測器距離的增加而減?。恍卵b載組件對裝載位置周圍組件的SRF未產(chǎn)生明顯影響，即燃料組件內(nèi)SRF對新裝載組件在堆芯所處位置不敏感，如圖7a所示。

平衡態(tài)堆芯布置壽期初與壽期末相比，燃料組件內(nèi)SRF偏差均小于0.001，如圖7b所示，表明燃耗累積對組件內(nèi)SRF的影響不明顯。

相對于控制棒插入和燃耗累積，燃料組件裝載對組件內(nèi)SRF的影響更大?？刂瓢魧M件內(nèi)SRF的影響與控制棒在堆芯中所處位置有關(guān)；組件內(nèi)SRF受控制棒影響程度與該組件和控制棒相對位置有關(guān)。燃耗累積對組件內(nèi)SRF影響并不明顯。

圖7 組件內(nèi)SRF徑向偏差分布Fig.7 Radial deviation distribution of SRF

4 結(jié)論

本文使用SN程序?qū)EFR鈉池內(nèi)探測器SRF進(jìn)行了計(jì)算，主要對具有大尺寸、深穿透問題的探測器SRF計(jì)算模型中共軛中子注量率對計(jì)算條件的敏感性、鈉池內(nèi)探測器SRF對堆芯狀態(tài)的敏感性進(jìn)行了分析，可得出以下結(jié)論。

1) 堆芯燃料組件區(qū)域共軛中子注量率分布形狀對網(wǎng)格寬度、角度離散數(shù)和散射截面展開階數(shù)的敏感性較低，可利用低計(jì)算條件的共軛中子注量率分布形狀預(yù)估高計(jì)算條件下計(jì)算結(jié)果。

2) CEFR鈉池內(nèi)探測器SRF隨組件與探測器距離的增加而減小。與壓水堆不同，CEFR堆芯內(nèi)組件對探測器貢獻(xiàn)均較為明顯。

3) 燃料組件裝載對組件內(nèi)SRF的影響不可忽略；控制棒對組件內(nèi)SRF的影響與探測器在堆芯所處位置、組件和控制棒相對位置有關(guān)，但總體上控制棒對堆芯組件內(nèi)SRF的影響不大。

從動態(tài)刻棒方法看，基于共軛輸運(yùn)計(jì)算方法，使用SN程序可快速、有效地計(jì)算出CEFR鈉池內(nèi)探測器SRF，便于CEFR控制棒刻度(換料后)時(shí)探測器SRF的重新計(jì)算。

本文可對CEFR堆容器外探測器和示范快堆(大型鈉冷快堆)探測器SRF計(jì)算提供方法和技術(shù)參考，為快堆領(lǐng)域選擇合適探測器安裝位置提供理論依據(jù)，為快堆實(shí)現(xiàn)動態(tài)刻棒提供技術(shù)積累。