廣東省廣州市番禺中學(xué)(511400) 黃 殷

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011 年第10 期第30 頁刊登了李愛生老師的《常數(shù)替換 精彩迭現(xiàn)》[1]一文,筆者讀后受益匪淺.該文從一道例題出發(fā),利用“常量替換法”探究出圓錐曲線的多個(gè)結(jié)論.筆者認(rèn)為該文章里的一些定理,還值得作進(jìn)一步的探究推廣,于是挑選了其中的定理7、8、9,在學(xué)校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課堂里,進(jìn)行了探究教學(xué),取得了不錯(cuò)的效果.以下是本節(jié)課的課堂實(shí)錄與反思.

1 原問題呈現(xiàn)

定理7P(s,t)是橢圓=1(a ＞0,b ＞0)上一點(diǎn),直線l與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且PA⊥PB,則直線l過定點(diǎn)

定理8P(s,t)是雙曲線=1(a ＞0,b ＞0,a/=b)上一點(diǎn),直線l與該雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),且PA⊥PB,則直線l過定點(diǎn)

定理9P(s,t)是拋物線y2=2px(p/=0)上一點(diǎn),直線l與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn),且PA⊥PB,則直線l過定點(diǎn)(s+2p,?t).

對(duì)于定理8,筆者在黑板上展示了李老師給出的證明過程:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 直 線l:y=kx+m, 即雙曲線即

又因P(s,t) 在雙曲線上, 故有= 1, 即b2s2?a2t2=a2b2, 所 以①可化為b2(x ?s)2?a2(y ?t)2+2[b2(x ?s)s ?a2(y ?t)t]·1=0,即

得:=?1, 即m=故直線l的方程為該直線經(jīng)過定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),驗(yàn)算可知,結(jié)論仍成立.

2 教師引導(dǎo)探究

在展示了以上證明過程后,筆者提出了以下問題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

欣賞了剛才的推導(dǎo)過程, 學(xué)生聽到老師所提的問題后,均躍躍欲試,在做一番推導(dǎo)和討論交流后,有一位學(xué)生舉起了手,我讓他上臺(tái)板書.

師: 很好! 參考剛才這位同學(xué)推導(dǎo)的結(jié)論,我們是不是可得到以下精彩的結(jié)論呢?

結(jié)論1P(s,t) 是雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0) 上 一 點(diǎn), 直線l與 該 雙 曲線相交 于A、B兩 點(diǎn), 且kP A · kP B=n,n為常數(shù)且n /=則直線l過定點(diǎn)

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示認(rèn)同.看著自己推導(dǎo)出來的結(jié)論,學(xué)生的成功感油然而生!

師: 結(jié)論1 其實(shí)是定理8 的一般形式.對(duì)于定理7,我們能不能也得出它的一般形式呢?

學(xué)生異口同聲地回答: 能!

師: 怎樣得到呢?

師: 不錯(cuò)! 這是一種常規(guī)的思路,但過程會(huì)繁瑣一些.大家再想想,有沒有其他的方法呢?

生3: 其實(shí)只要把雙曲線方程中的“?b2”改為“b2”, 就變成橢圓的方程了.那我覺得把結(jié)論1 中所有的“?b2”改為“b2”就行了.

生3 話音剛落,課室里發(fā)出了一陣討論聲,不少學(xué)生都在點(diǎn)頭,并向生3 投去敬佩的眼光.

師: 很好! 看來生3 這位同學(xué)確實(shí)是動(dòng)了腦筋思考的.不錯(cuò), 剛才我們用“=n”替換了(*) 式的=?1”,得到了一個(gè)精彩的結(jié)論,現(xiàn)如果用“?b2”替換結(jié)論1 中的“b2”,我們同樣可以得到另一個(gè)精彩的結(jié)論.

結(jié)論2P(s,t) 是橢圓= 1(a ＞0,b ＞0)上一點(diǎn), 直線l與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn), 且kP A ·kP B=n,n為常數(shù)且n /=則直線l過定點(diǎn)

這時(shí),筆者明顯感覺到課室的“溫度”上升了,有在討論推導(dǎo)過程的, 也有在嘖嘖贊嘆的, 還聽到有學(xué)生討論定理9的一般形式.

師: 大家再想一想,能否進(jìn)一步得出定理9 的一般形式呢?

幾個(gè)學(xué)生不約而同地說: 可以用“kP A ·kP B=n”代替定理9 中的“PA⊥PB”.

師: 非常好! 看來同學(xué)們已經(jīng)感受到“替代”的威力了.下面給大家一點(diǎn)時(shí)間推導(dǎo),然后請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)來為大家板演.

生4: 證明: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx+m,即拋物線y2=2px可變?yōu)閽佄锞€

又因P(s,t) 在拋物線y2= 2px上, 故有t2= 2ps, 所以②可 化 為(y ?t)2+ 2[t(y ?t)?p(x ?s)]·1 = 0, 即(y ?t)2+2[t(y ?t)?p(x ?s)]·整理,得因 為kP A · kP B=n, 所 以=n, 則=n,解得m=

故直線l的方程為y=?t,該直線經(jīng)過定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),驗(yàn)算可知,結(jié)論仍成立.

師: 通過推導(dǎo)探究,我們不難發(fā)現(xiàn),通過“替代”,在拋物線中也可以得到精彩的結(jié)論.

結(jié)論3P(s,t)是拋物線y2=2px(p/=0)上一點(diǎn),直線l與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn),且kP A·kP B=n,n為常數(shù)且n/=0,則直線l過定點(diǎn)

3 層層推進(jìn),拓展探究

話音剛落,課室中開始“騷動(dòng)”起來,討論聲、爭(zhēng)辯聲時(shí)起彼伏.

師(微笑,投去肯定的眼光): 你們可以大膽地試一試.

這兩位同學(xué)分別就雙曲線與橢圓、拋物線進(jìn)行探究并上臺(tái)板書.

師: 根據(jù)同學(xué)們的推導(dǎo),我們可得到以下一組更精彩的結(jié)論:

結(jié)論4P(s,t)是雙曲線上一點(diǎn),直線l與該雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),且kP A+kP B=n,n為常數(shù)且n/=0,則直線l過定點(diǎn)

結(jié)論5P(s,t)是橢圓=1(a ＞0,b ＞0)上一點(diǎn),直線l與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且kP A+kP B=n,n為常數(shù)且n/=0,則直線l過定點(diǎn)

結(jié)論6P(s,t)是拋物線y2= 2px上一點(diǎn),直線l與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn), 且kP A+kP B=n,n為常數(shù)且n/=0,則直線l過定點(diǎn)

至此,學(xué)生們都雀躍地沉浸在自己探究所得的這些結(jié)論中.

師: 從一個(gè)問題出發(fā),結(jié)合其產(chǎn)生的背景,通過探究推理,展望其未來的發(fā)展,這過程雖艱辛,但卻是快樂的! 只要我們抱著一顆不斷探索、不斷追求的恒心,其收獲一定是豐富而精彩的!

4 課后反思

4.1 關(guān)于數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種實(shí)踐性較強(qiáng)的教育教學(xué)活動(dòng),學(xué)生應(yīng)通過自己親身參與的探究活動(dòng)來獲取知識(shí)、得出結(jié)論,而不是由教師將現(xiàn)成的知識(shí)、結(jié)論通過傳遞式教學(xué)直接教給學(xué)生.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)所探究的問題不一定是課本上的,亦可充分利用課外的資源.除此,教師還要了解學(xué)生已有知識(shí),學(xué)生能達(dá)到“最近發(fā)展區(qū)”等.本節(jié)研究性學(xué)習(xí)課就是在學(xué)生學(xué)習(xí)完“圓錐曲線”這一章,掌握了橢圓、雙曲線、拋物線的方程、圖像和性質(zhì)等問題后開展的.

4.2 教師主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程中學(xué)生的主體地位,因此教師要發(fā)揚(yáng)民主教學(xué),要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與探究.更重要的是,教師應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生提出獨(dú)立見解,還應(yīng)認(rèn)真聆聽學(xué)生的提問,引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考和探究問題,使學(xué)生的思維和創(chuàng)造性在課堂中發(fā)光.如本節(jié)課中學(xué)生2 的證明方法雖然比較麻煩,但卻是很多學(xué)生首先會(huì)想到的方法.教師此時(shí)就要發(fā)揮主導(dǎo)作用,一方面要給予充分的肯定,另一方面要引導(dǎo)學(xué)生思考其他的方法,喚醒學(xué)生的探究意識(shí).

4.3 教師的設(shè)問是關(guān)鍵

本節(jié)課設(shè)置了一些列的啟發(fā)性問題, 如:“...改為...”、“能不能得出它的一般形式”、“有沒有其他的方法”這些問題都具有很大的發(fā)散性,從而激發(fā)了學(xué)生的求知欲望和創(chuàng)新熱情.學(xué)生通過參與探究過程,培養(yǎng)了自身的發(fā)散思維能力和創(chuàng)造性、開拓性思維品質(zhì).學(xué)生也能很好地感受到由探究所得帶來的成功感和喜悅感.