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        數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課里的中國剩余定理和Lagrange插值公式

        2021-04-20 01:27:28劉合國徐行忠廖軍
        關(guān)鍵詞:歌訣韓信方程組

        劉合國,徐行忠,廖軍

        (湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430062)

        中國剩余定理在數(shù)學(xué)里起著重要的作用,是中國先賢智慧的結(jié)晶.該定理從數(shù)系的基本運(yùn)算律出發(fā),用最典型的“線性”方法解決問題,這種思想是極其深刻的.這些年來,我們在從事高等代數(shù)、初等數(shù)論、近世代數(shù)、代數(shù)學(xué)等課程的教學(xué)過程中,積累了對這個定理的認(rèn)識,它們對理解這個定理是有作用的.現(xiàn)不揣淺陋,撰寫成文,望同好者批評指正.

        本文中采用的術(shù)語和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的,按照文獻(xiàn)[1-3].

        1 四首歌訣

        《孫子算經(jīng)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)名著,成書于公元三世紀(jì)至五世紀(jì)左右,其卷下之26題,即是歷史上有名的“物不知數(shù)”:

        今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?

        《孫子算經(jīng)》不僅給出了正確答案,而且給出了完美的解法:

        答曰:二十三.

        術(shù)曰:三三數(shù)之剩二,置一百四十;五五數(shù)之剩三,置六十三;七七數(shù)之剩二,置三十.并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得.

        凡三三數(shù)之剩一,則置七十;五五數(shù)之剩一,則置二十一;七七數(shù)之剩一,則置十五.一百六以上,以一百五減之,即得.

        用現(xiàn)代語言重現(xiàn)這個解法,即同余方程組

        的答案為: 140+63+30=233,233-210=23.

        一般地,求解同余方程組

        的幾個關(guān)鍵數(shù)字是 70,21,15和105,答案為r:

        70a+21b+15c=105q+r,1≤r≤105.

        這個解法是非常奇特的!初看起來,它是迂回的,不是單刀直入的,但它抓住了問題的本質(zhì),找到了最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn),通過線性組合得到答案.這是絕頂?shù)闹腔郏∧纤未疚跏迥?1188),大型類書《錦繡萬花谷》問世,其前集卷三十八記載了一首“易數(shù)詩”:

        三人同行七十稀,五郎念一鎮(zhèn)相隨,

        七哥記取常十五,此是易數(shù)大希夷.

        這里“念”是“廿”的大寫,代表二十,詩里明白地點(diǎn)出了三個最關(guān)鍵的數(shù)字:70,21,15.面對虛寂玄妙的解答,古人發(fā)出了“易數(shù)希夷”的感嘆.

        在中國古代數(shù)學(xué)家里,秦九韶對中國剩余定理做出了決定性的貢獻(xiàn).秦九韶(1208—1261),字道古,生于普州安岳(今四川省安岳縣),在南宋淳祐七年(1247)完成了不朽著作《數(shù)書九章》,它是中國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一.科學(xué)史家George Sarton在所著《Introduction to the history of science》之卷II.2里高度評價秦九韶:

        One of the greatest mathematicians of his race,of his time,and indeed of all times.

        在《數(shù)書九章》里,秦九韶創(chuàng)造性地發(fā)明了大衍求一術(shù),即給出了解同余方程ax≡1(modm)的一般算法,這是求解中國剩余定理的決定性步驟.

        有宋一代,華夏文明昌盛,道學(xué)繁榮.秦九韶對他的數(shù)學(xué)成就是非常自豪的,《數(shù)書九章》序說:

        (數(shù))大則可以通神明,順性命;小則可以經(jīng)世務(wù),類萬物.要其歸,則數(shù)與道非二本也.

        秦九韶將數(shù)學(xué)提升到“道”的高度.清代揚(yáng)州學(xué)派的代表人物之一,“揚(yáng)州通儒”焦循(1763—1820)在《天元一釋》卷下高度評價秦九韶的歷史功績:

        大衍之術(shù),即《孫子算經(jīng)》三三五五七七之術(shù)也.此術(shù)《九章》所無,而見于《孫子》.今則歸入孺子,或以為戲.《孫子》雖詳其術(shù),而秦氏則闡其微而暢發(fā)之.其三三置七十,即大衍求一術(shù)也.

        中國剩余定理玄妙高遠(yuǎn), 不斷被編成歌訣進(jìn)入小說筆記, 這個現(xiàn)象是十分罕見的.

        周密(1232—1298),字公瑾,生于杭州,工詩詞,擅書畫,是南宋筆記大家,著述甚豐,所著《志雅堂雜鈔》卷九之“陰陽算術(shù)”記載了一首解答“物不知數(shù)”的歌訣:

        三歲孩兒七十稀, 五留廿一事尤奇,

        七度上元重相會, 寒食清明便可知.

        前兩句蘊(yùn)含了兩個數(shù)字:70和21.上元節(jié)就是元宵節(jié),借指正月十五,這樣第三句蘊(yùn)含了數(shù)字“15”.第四句蘊(yùn)含了數(shù)字“105”,需要做點(diǎn)說明:在中國古代的很長時間里,把冬至當(dāng)作新年的開始,冬至距寒食清明節(jié)多在105天.這樣解“物不知數(shù)”的關(guān)鍵數(shù)字:70,21,15和105都在歌訣里出現(xiàn)了.

        褚人獲(1635—1682),字稼軒,江蘇長州人.未中試,多才多藝,著有《隋唐演義》,《堅(jiān)瓠集》等.其《堅(jiān)瓠集》戊集卷一之“隔壁笑”記載了一首歌訣:

        三人逢零七十稀,五馬沿盤廿一奇(一作五人折桂廿一枝),

        七星約在元宵里,一百零五定為除.

        顯然,這首歌訣同樣寫下了解“物不知數(shù)”的四個關(guān)鍵數(shù)字:70,21,15和105.

        程大位(1533—1606),字汝思,安徽休寧人.他在經(jīng)商過程中,積累了豐富的數(shù)學(xué)問題及其解法,編撰了《直指算法統(tǒng)宗》,強(qiáng)調(diào)指出數(shù)學(xué)在國計(jì)民生中的重要性,其《書直指算法統(tǒng)宗后》寫道:

        數(shù)居六藝之一,其來尚矣,蓋自虙戲宰世,龍馬負(fù)圖,而數(shù)肇端.軒后紀(jì)歷,隸首作算,而法始衍.故圣人繼天立極,所以齊度量而立民信者,不外黃鐘九寸之管,所以定四時而成歲功者,不外周天三百六十五度之?dāng)?shù).以至遠(yuǎn)而天地之高廣,近而山川之浩衍,大而朝廷軍國之需,小而民生日用之費(fèi),皆莫能外.?dāng)?shù)詎不重己哉?

        程大位在書里把不少問題的解法用歌訣的形式呈現(xiàn)出來.特別地,他在卷五里將“物不知總”的解法寫成了通俗易懂、廣為傳頌的“孫子歌”:

        三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,

        七子團(tuán)圓正半月,除百零五便得知.

        “物不知數(shù)”及其解法的影響超出了數(shù)學(xué)之外,例如金庸在他的成名之作《射雕英雄傳》里,就引述了“物不知數(shù)”和程大位的歌訣,用來加強(qiáng)其行文的份量.當(dāng)然,這屬于“誤引”,因《射雕英雄傳》講述的是南宋故事,那時程大位的歌訣還未問世.中國剩余定理對中國文化的影響于此也可見一斑.

        2 歌訣的意義

        在這節(jié)我們要研究為什么70,21,15和105就是求解“物不知數(shù)”的關(guān)鍵.105=3×5×7,105的來歷是一目了然的,容易看到

        粗略地說,70,21,15就是求解同余方程組

        (1)

        的“基底”,a,b,c只是解的“坐標(biāo)”.方程組 (1)的解為

        x≡a·70+b·21+c·15(mod105).

        按照中國古代傳統(tǒng),取x為最小正整數(shù)當(dāng)作方程組(1)的解.

        為了理解上面“基底”的準(zhǔn)確意義,我們引進(jìn)一個概念.

        設(shè)R是含幺交換環(huán),RM是R上的模.如果X是M的非零元組成的子集,滿足

        1)M的任意元m可表示為m=r1x1+r2x2+…+ruxu,ri∈R,xi∈X,即M=∑x∈XRx.

        2)若s1y1+s2y2+…+svyv=0,其中si∈R,yi∈X, 則s1y1=s2y2=…=svyv=0.

        那么我們稱X是M的一組基底.

        順便提一下,含幺環(huán)里單位元的正交冪等元之分解是研究環(huán)結(jié)構(gòu)的重要工具.

        例1解方程x3-3x+5≡0 (mod105).

        解:方程化為

        化簡(2a)式,由Fermat小定理,x3≡x(mod3),得

        x≡1(mod3)

        (3)

        化簡(2b)式,x(x2-3)≡0(mod5),因5x2-3, 故

        x≡0(mod5)

        (4)

        化簡(2c)式,由Fermat小定理,x6≡1(mod7),故x3≡±1(mod7),代入(2c)式,得3x≡5±1(mod7),所以

        x≡2(mod7)或x≡6(mod7)

        (5)

        運(yùn)用歌訣解得x≡100(mod105)或x≡55(mod105).

        3 中國剩余定理

        理解了前一節(jié)里70,21,15在求解“物不知數(shù)”的意義,我們就可以自然地推出一般形式的中國剩余定理,其中的關(guān)鍵一步是秦九韶的“大衍求一術(shù)”.

        定理3.1(中國剩余定理) 設(shè)m1,m2,…,mn是兩兩互素的正整數(shù),對任意整數(shù)a1,a2,…,an,下列方程組

        在模m1m2…mn下有唯一解.

        定理3.1的證明對任意的1≤i≤n, 設(shè)xi滿足同余方程組

        xi≡δij(modmj),1≤j≤n.

        其中δij是Kronecker符號,xi≡1(modmi)等價于xi+uimi=1;對所有的j≠i,xi≡0(modmj)等價于xi=vi∏j≠imj.即有

        因(mi,∏j≠imj)=1,據(jù)大衍求一術(shù),可得ui,vi,進(jìn)而得到xi.

        記x=a1x1+a2x2+…+anxn,容易驗(yàn)證x即是解.

        下證唯一性.設(shè)a,b是方程組的兩個解,則有

        則a≡b(modmi)對任意的1≤i≤n成立,于是a≡b(modm1m2…mn).

        uimi+viMi=1.

        取xi=viMi.將上述前n-1個式子相乘得到

        另一方面,容易驗(yàn)證如下的事實(shí).

        中國剩余定理是解決存在性問題的有力工具.

        例2證明對任意正整數(shù)n,均存在n個連續(xù)整數(shù),它們都有一個平方因子.

        證明選取n個互異素數(shù)p1,p2,…,pn,考慮下面的同余方程組

        例3證明對任意正整數(shù)n,存在整數(shù)a和b,使對任意的1≤r,s≤n,都有(a+r,b+s)>1.

        證明選取n2個互異素數(shù)pij,1≤i,j≤n.設(shè)a是同余方程組

        的解,b是同余方程組

        的解.對任意的1≤r,s≤n,有prs∣(a+r,b+s),從而(a+r,b+s)>1.

        4 單刀直入的解法

        在上一節(jié)求解線性同余方程組時,我們采用的方法是間接地找到所需的“基底”,再通過線性組合得到問題的答案,這與我們之前求解線性方程組的思路具有很大不同.接下來,我們借用解線性方程組的理念來處理中國剩余定理的求解問題,其出發(fā)點(diǎn)是下面兩條:

        (i) 設(shè)k,m是正整數(shù),a,b是整數(shù),則

        a≡b(modm)?m∣(a-b)

        ?km∣(ka-kb)

        ?ka≡kb(modkm)

        (ii) 中國剩余定理.

        下面設(shè)m1,m2,…,mn是兩兩互素的正整數(shù),對任意整數(shù)a1,a2,…,an,求解同余方程組

        (6)

        為了進(jìn)行線性運(yùn)算,我們需要把模統(tǒng)一化,記M=m1m2…mn,Mi=M/mi.則上面的方程組(6)式等價于下面的方程組(7)式.

        (7)

        因(M1,M2,…,Mn)=1,故存在整數(shù)k1,k2,…,kn, 使k1M1+k2M2+…+knMn=1.于是x≡k1M1a1+k2M2a2+…+knMnan(modM).根據(jù)中國剩余定理里解的唯一性,x即為所求.

        上面的步驟可以用兩句話來概括.

        (iii) 統(tǒng)一模,即把方程組(6)式化為方程組(7)式.

        (iv) 湊“1”,即由方程組(7)里x的系數(shù)M1,M2,…,Mn經(jīng)過整數(shù)線性組合湊出“1”即可.

        下面舉例說明.

        例4(韓信點(diǎn)兵) 相傳劉邦拜韓信為大將后,某天來到韓信的練兵場,見有約二千名士兵正在操練.期間韓信告訴劉邦,他并不知道練兵場上到底有多少士兵,但如果命令士兵們先后以七人一組,十一人一組,十三人一組集結(jié)成小組,并把每次余下不能組成七人(或十一人,或十三人)的人數(shù)報給他,他就可以知道士兵的準(zhǔn)確人數(shù).劉邦很驚訝,就按照韓信的要求做了一番操作,報給韓信三個數(shù)字:3,4,8.韓信很快就告訴劉邦,士兵數(shù)目是1 984.劉邦驗(yàn)證答案后,非常信服,確信韓信具有非凡的才能.

        用數(shù)學(xué)語言翻譯這個故事,即是求解

        (8)

        其中x在2 000左右.如果這個故事是真實(shí)的,那么在劉邦到來之前韓信肯定知道幾個關(guān)鍵的數(shù)字:715, 364,924和7×11×13=1 001,韓信根據(jù)報給他的3個數(shù):3,4,8,即可進(jìn)行計(jì)算:

        3×715+4×364+8×924=10 993,10 993-9×1 001=1 984,

        1984就是士兵數(shù)目. 現(xiàn)在我們用本節(jié)的方法再來求解一次.

        解: 同余方程組(8)等價于

        (9b)-(9c)得

        14x≡-252(mod1 001)

        (10)

        (9a)-(10)×10得

        3x≡429+2 520≡2 949≡-54(mod1 001)

        (11)

        (9b)-(11)×30得

        x≡364+54×30=1 984(mod1 001).

        故操練的士兵數(shù)為1984.

        我們可以把本節(jié)的方法推廣到一般情形.

        定理4.1設(shè)m1,m2,…,mn都是正整數(shù),則同余方程組

        有解的充要條件是對1≤i,j≤n,均有(mi,mj)∣(bi-bj).

        當(dāng)方程組有解時,記M=[m1,m2,…,mn],Mi=M/mi,則存在整數(shù)k1,k2,…,kn使得k1M1+k2M2+…+knMn=1,方程組的解為

        x≡k1M1b1+k2M2b2+…+knMnbn(modM).

        例5解同余方程組

        解. 容易驗(yàn)證(mi,mj)∣(bi-bj), 因此方程組有解.由于[6,9,15]=90, 原方程組等價于

        將第二個方程加上第三個方程減去第一個方程得到x≡67(mod90).

        5 從中國剩余定理到Lagrange插值公式

        設(shè)F是一個域,F(xiàn)上的多項(xiàng)式環(huán)F[x]和整數(shù)環(huán)Z是最常見的兩個Euclid環(huán).我們可以把前面的中國剩余定理推廣到F[x]. 為方便計(jì),先引進(jìn)一個符號.

        設(shè)m(x)是F[x]的非常數(shù)多項(xiàng)式,f(x),g(x)∈F[x],若m(x)整除f(x)-g(x), 則記為f(x)≡g(x)(modm(x)).這與Z上的同余符號具有類似的性質(zhì):

        設(shè)f1(x)≡g1(x)(modm(x)),f2(x)≡g2(x)(modm(x)),k(x)∈F[x],則k(x)f1(x)+f2(x)≡k(x)g1(x)+g2(x)(modm(x)).

        f(x)≡ri(x)(modmi(x)),1≤i≤n.

        定理5.1的證明完全類似中國剩余定理的證明過程求f1(x),f2(x),…,fn(x).對任意的1≤i≤n,由于(mi(x),∏j≠imj(x))=1,則存在多項(xiàng)式ui(x),vi(x),使得ui(x)mi(x)+vi(x)∏j≠imj(x)=1.取fi(x)=vi(x)∏j≠imj(x).則fi(x)滿足

        fi(x)≡δij(modmj(x)),1≤j≤n.

        g(x)=r1(x)f1(x)+r2(x)f2(x)+…+rn(x)fn(x)

        =q(x)m1(x)m2(x)…mn(x)+r(x).

        則r(x)即為所求方程組的解.

        下證解的唯一性.設(shè)a(x),b(x)都是滿足定理中方程組的解, 即

        a(x)≡ri(x)(modmi(x)),1≤i≤n,

        b(x)≡ri(x)(modmi(x)),1≤i≤n.

        ui(x)mi(x)+vi(x)Mi(x)=1.

        將上述n-1個式子相乘得到

        對任意g(x)∈F[x],g(x)=u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+un(x)fn(x).于是

        另一方面,在R上,我們?nèi)菀昨?yàn)證下面的關(guān)系式:

        接下來我們考慮定理的最極端情況.設(shè)a1,a2,…,an是F上的n個兩兩互異的元素, 此時m1(x)=x-a1,m2(x)=x-a2,…,mn(x)=x-an是F[x]的兩兩互素的多項(xiàng)式.根據(jù)上述定理,對F上的任意n個元素b1,b2,…,bn, 存在唯一的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式f(x), 使得對每個1≤i≤n, 有

        f(x)≡bi(modx-ai),

        即存在qi(x)∈F[x], 使f(x)=qi(x)(x-ai)+bi,這等價于f(ai)=bi,這樣我們就得到了

        定理5.2(Lagrange插值定理) 設(shè)a1,a2,…,an是F的n個兩兩互異的元素,則對F的任意n個元素b1,b2,…,bn,存在唯一次數(shù)

        遵循中國剩余定理的思路,我們能夠程序化地求出L(x).

        對每個1≤i≤n, 求次數(shù)小于n的多項(xiàng)式Li(x), 使

        Li(aj)=δij,1≤j≤n.

        容易看出

        這樣L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x).

        L1(x),L2(x),…,Ln(x)是域F上的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式構(gòu)成的n維線性空間F[x]n的一組基底.事實(shí)上,L1(x),L2(x),…,Ln(x)線性無關(guān).若k1L1(x)+k2L2(x)+…+knLn(x)=0,ki∈F,分別以x=a1,a2,…,an代入,則得k1=k2=…=kn=0.

        又dimFF[x]n=n. 因此L1(x),L2(x),…,Ln(x)是線性空間F[x]n的一組基底.

        (iii)L1(x)+L2(x)+…+Ln(x)=1.

        6 另兩種線性代數(shù)推導(dǎo)

        上節(jié)從中國剩余定理出發(fā),導(dǎo)出Lagrange插值公式, 這個過程也是迂回的.由于本研究主要是從線性方法入手,下面給出Lagrange插值公式的另外兩個線性代數(shù)證明.

        證法一對F上的n個兩兩互異的元素a1,a2,…,an,以及F上的任意n個元素b1,b2,…,bn. 關(guān)于未知數(shù)x0,x1,…,xn-1的線性方程組

        的系數(shù)行列式是a1,a2,…,an的Vandermonde行列式,它顯然不等于0,故該線性方程組有且僅有一組解(x0,x1,…,xn-1),于是多項(xiàng)式L(x)=x0+x1x+x2x2+…+xn-1xn-1即為所求.

        下面我們來求出這個多項(xiàng)式的顯式表達(dá).方程組的系數(shù)行列式為

        根據(jù)Cramer法則,

        其中Δk,i+1是Δ的第k行第i+1列元素的代數(shù)余子式,于是

        L(x)=x0+x1x+x2x2+…+xn-1xn-1

        證法二考慮下面的函數(shù)方程

        則L(x)為所求的多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)L(x)滿足上述方程.事實(shí)上,按第一行展開左邊的行列式,即知L(x)是F上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式.當(dāng)L(x)滿足上述方程時,對每個1≤i≤n,有

        則有

        必須L(ai)-bi=0,即L(ai)=bi.

        再按最后一列展開函數(shù)方程中的行列式,化簡得到

        7 應(yīng)用

        在處理多項(xiàng)式的存在性問題時,中國剩余定理和Lagrange插值公式是兩個合適的工具.

        例6證明對任意的n階復(fù)矩陣A, 存在多項(xiàng)式s(λ),n(λ),使得A=s(A)+n(A), 并且s(A)是可對角化矩陣,n(A)是冪零矩陣.

        證明設(shè)A的特征值為λ1,λ2,…,λr,A的極小多項(xiàng)式為

        設(shè)Ui為λi的根子空間,即

        Ui={α∈Cn∣(A-λiE)miα=0},

        根據(jù)中國剩余定理,存在多項(xiàng)式s(λ),使得

        我們斷言s(A)是可對角化矩陣,A-s(A)是冪零矩陣.事實(shí)上,對每個1≤i≤r,從s(λ)≡λi(mod(λ-λi)mi),知存在fi(λ),使得s(λ)=λi+fi(λ)(λ-λi)mi.則有s(A)=λiE+fi(A)(A-λiE)mi.因此s(A)純量地作用在Ui上,即有s(A)αij=λiαij,1≤j≤ni.于是s(A)有n個線性無關(guān)的特征向量,從而是可以對角化的.

        例7設(shè)n階矩陣A有n個互異的特征值,AB=BA. 證明B=f(A),對某個多項(xiàng)式f(x)∈F[x]成立.

        證明由于n階矩陣A有n個互異的特征值,則存在n階可逆矩陣P,使得

        由條件有AB=BA,故P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP.注意到對i≠j,我們有λi≠λj,則可得P-1BP為對角矩陣.設(shè)

        則由Lagrange插值公式,存在唯一次數(shù)小于n的多項(xiàng)式f(x), 使得f(λi)=μi,對所有的1≤i≤n成立.

        因此P-1BP=f(P-1AP),從而得B=f(A).

        8 一般性結(jié)論

        前面涉及的中國剩余定理及其證明對一般的含幺環(huán)也是成立的,我們從文獻(xiàn)[3]中摘錄下面的兩個定理,略去它們的證明.

        定理8.1(中國剩余定理) 設(shè)含幺環(huán)R的理想I1,I2,…,In兩兩互素,則對R的任意元素a1,a2,…,an,

        在模I1∩I2∩…∩In下有唯一解.

        定理8.2設(shè)含幺環(huán)R的理想I1,I2,…,In兩兩互素,則有環(huán)同構(gòu)

        R/I1∩I2∩…∩In?R/I1⊕R/I2…⊕R/In.

        曾有專家認(rèn)為,下面的群論結(jié)果也屬于中國剩余定理.

        設(shè)G是一個群,M和N都是G的正規(guī)子群,G=MN, 則

        G/M∩N?G/M×G/N.

        我們是不能認(rèn)同這個觀點(diǎn)的.中國剩余定理是非常自然的插值工具,是數(shù)系運(yùn)算之基本法則的絕佳體現(xiàn),是線性方法的深刻應(yīng)用.除了在形式上與定理8.2的最簡單情況相似外,這個群論結(jié)果與中國剩余定理的內(nèi)涵是沒有什么關(guān)聯(lián)的.

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