朱思浩，羅顯志

(湖北大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院， 湖北 武漢 430062)

0 引言

濾波器常用的近似函數(shù)有4種：巴特沃斯函數(shù)、切比雪夫函數(shù)、橢圓函數(shù)、貝塞爾函數(shù).用巴特沃斯函數(shù)設(shè)計(jì)低通濾波器，仿真出來的幅頻特性曲線平坦，通常無起伏情況，阻頻帶持續(xù)降低，直至變?yōu)榱?在設(shè)計(jì)高階巴特沃斯低通濾波器時(shí)，前人通常用級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)法串聯(lián)數(shù)個(gè)二階巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)思路，形成高階巴特沃斯低通濾波器電路，再仿真其幅頻特性曲線.本設(shè)計(jì)在原有基礎(chǔ)上，做了兩點(diǎn)修改.首先，對(duì)電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改.ADA4084-2是一種軌至軌輸入和輸出的雙通道，單電源，10 MHz帶寬的芯片，用ADA4084-2做為電路的運(yùn)算放大器，它具有帶寬大、噪聲低、精度高的優(yōu)點(diǎn).每一級(jí)運(yùn)算放大器的反向輸入端接到下一級(jí)電路的電容[1].其次對(duì)設(shè)計(jì)的八階巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行噪聲分析.因?yàn)轭l譜噪聲密度是反映濾波器噪聲干擾強(qiáng)弱的重要指標(biāo)，通過與AD8671芯片的頻譜噪聲密度曲線進(jìn)行比較，看出設(shè)計(jì)的八階巴特沃斯低通濾波器在截止頻率處的抗噪聲干擾能力的強(qiáng)弱.

1 巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)

其系統(tǒng)函數(shù)歸一化形式為：

通常情況下保持通帶增益為0 db,設(shè)定d0=a0,在a0=an=1時(shí)，可以得到歸一化巴特沃斯多項(xiàng)式因子：當(dāng)濾波器的階數(shù)N=1時(shí)，它的多項(xiàng)式因子為s+1;濾波器的階數(shù)N=2時(shí)，多項(xiàng)式因子為s2+1.414s+1;濾波器的階數(shù)N=3時(shí)，多項(xiàng)式因子為(s+1)(s2+s+1)；濾波器的階數(shù)N=4時(shí)，它的多項(xiàng)式因子為(s2+0.765 4s+1)(s2+1.847 8s+1)；一直到濾波器的階數(shù)N=8時(shí)，多項(xiàng)式因子為(s2+0.398 6s+1)(s2+1.111s+1)(s2+1.663 0s+1)(s2+1.962 2s+1).為了便于理解，可用如表1來表示從一階濾波器至八階中，全部的多項(xiàng)式因子.

表1 歸一化的巴特沃斯多項(xiàng)式

由a0=an=d0=1時(shí)，可以得到如下公式：

此時(shí)的Butterworth多項(xiàng)式為：

sn+an-1sn-1+…+a2s2+a1s+1(a0=an=1)

用振幅的平方對(duì)頻率的關(guān)系來表示巴特沃斯低通濾波器，如下式所示：

上式中,n表示濾波器的階數(shù)，wc是截止頻率，ωp是通頻帶邊緣頻率，1/(1+ε2)=|H(ω)|2是通頻帶邊緣數(shù)值.如果該濾波器是N階的情況下，其相應(yīng)的振幅和頻率之間有這樣的一種關(guān)系：

式中，G是放大率，H是轉(zhuǎn)移函數(shù)，j是虛數(shù)單位，n是級(jí)數(shù)，w是角頻率.假設(shè)截止頻率wc=1的情況下，那么，該公式歸一化就是：

2 電路結(jié)構(gòu)

八階巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，本設(shè)計(jì)在原有基礎(chǔ)上，對(duì)電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改.八階巴特沃斯低通濾波器電路選用ADA4084-2型運(yùn)算放大器芯片，該芯片具有帶寬高、低噪聲、精度高、單位增益高的優(yōu)點(diǎn)，適合高階低通濾波器的設(shè)計(jì).該電路是由4個(gè)改進(jìn)后的二階Sallen-Key低通濾波器串聯(lián)形成.改進(jìn)后的二階Sallen-Key低通濾波器電路結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 改進(jìn)后二階Sallen-Key低通濾波器結(jié)構(gòu)圖

由圖1可以看出二階Sallen-Key低通濾波器電路結(jié)構(gòu)中，以ADA4084-2芯片作為Sallen-Key低通濾波器的有源器件，1個(gè)交流電壓源，2個(gè)電阻和1個(gè)電容相互連接接到ADA4084-2的同相輸入端，ADA4084-2的反相輸入端與1個(gè)電容的一端直接接到下一級(jí)放大電路中[2-3].根據(jù)基爾霍夫電壓規(guī)律，基爾霍夫電流規(guī)律和運(yùn)算放大器同相端的關(guān)系可以得到電路的傳遞函數(shù).傳遞函數(shù)如下所示：

(1)

3 電路參數(shù)計(jì)算

設(shè)計(jì)此濾波器所用到的公式如下：

(2)

(3)

式中，W0為低通濾波器的轉(zhuǎn)折頻率，Q為低通濾波器的品質(zhì)因數(shù)，R1、R2、C1、C2分別表示八階低通濾波器第一級(jí)電路中電阻和電容.根據(jù)圖1可知，1個(gè)二階Sallen-Key濾波器中有4個(gè)未知數(shù)，它們分別是R1、R2、C1、C2. 由(2)式和(3)式來確定R1、R2、C1、C2.由于方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，不能直接通過方程來依次求解出R1、R2、C1、C2的數(shù)值.因而在求解這4個(gè)未知數(shù)時(shí)，必須要先確定2個(gè)電路元器件的參數(shù)值，然后再根據(jù)不同電阻電容之間的關(guān)系來確定剩下2個(gè)值，從而求解出R1、R2、C1、C2的數(shù)值[4-7].

在對(duì)低通濾波器中電阻電容等相關(guān)參數(shù)進(jìn)行取值時(shí)，經(jīng)常用到等值元件法.在該電路若用等值元件法對(duì)各級(jí)電路中的電阻電容進(jìn)行取值，即C1=C2，R1=R2；電路中只有2個(gè)未知的參數(shù)值：C1，R1，再根據(jù)濾波器電路的截止頻率與電容選取的關(guān)系確定電容C1，再將C1帶入上述(2)式，可以求得電阻R1.作為設(shè)計(jì)電路的一種方法，使用等值元件法設(shè)計(jì)電路其目的是為了減小元件的分散性，計(jì)算參數(shù)值時(shí)相對(duì)簡(jiǎn)便；但是使用等值元件法缺點(diǎn)很明顯.首先電路的截止頻率不能設(shè)置的太高，其次是對(duì)電路中Q值有所限制.考慮到使用等值元件法設(shè)計(jì)濾波器電路的諸多限制，所以用另外一種設(shè)計(jì)方式來設(shè)計(jì)該濾波器.[8]設(shè)計(jì)該濾波器，第一步要選擇合適的電容的阻值.通過分析可以清楚的了解到，在此需要進(jìn)行設(shè)計(jì)的電路中，需要用到200 kHz的截止頻率,同時(shí)，還要充分分析其截止頻率、電容的情況，并且要按照它們選取的關(guān)系確定各級(jí)電路中電容值[9-10].為了便于敘述，通過表2展現(xiàn)八階巴特沃斯低通濾波器各級(jí)電路的電阻、電容值.

表2 各級(jí)電路電阻電容數(shù)值表

八階巴特沃斯低通濾波器電路圖如圖2所示：

圖2 八階巴特沃斯低通濾波器

4 仿真結(jié)果

通過對(duì)此濾波器進(jìn)行分析，并且通過NI Multisim 14.0對(duì)其電路圖進(jìn)行仿真，得到以ADA4084-2型運(yùn)算放大器，為八階巴特沃斯低通濾波器的有源器件的幅度特性曲線圖，如圖3所示.

圖3 幅度特性曲線圖

以ADA4084-2型運(yùn)算放大器，為八階巴特沃斯低通濾波器的有源器件的頻譜噪聲密度曲線圖如圖4所示.

圖4 頻譜噪聲曲線圖

以AD8671運(yùn)算放大器芯片做為八階巴特沃斯低通濾波器有源器件，用NI Multisim 14.0繪圖工具進(jìn)行仿真得到幅度特性曲線圖，如圖5所示.

圖5 幅度特性曲線圖

以AD8671運(yùn)算放大器芯片作為八階巴特沃斯低通濾波器有源器件，其所對(duì)應(yīng)的頻譜噪聲密度曲線如圖6所示.

圖6 頻譜噪聲曲線圖

5 結(jié)論

通過將ADA4084-2型運(yùn)算放大器與AD8671運(yùn)算放大器芯片的噪聲分析比較可知：當(dāng)噪聲頻率在電路截止頻率200 kHz處，ADA4084-2型運(yùn)算放大器噪聲頻譜密度值低于AD8671運(yùn)算放大器噪聲頻譜密度值，噪聲頻率高于200 kHz時(shí)，ADA4084-2型運(yùn)算放大器的噪聲的頻譜密度曲線，比AD8671運(yùn)算放大器頻譜密度曲線下降的快.綜上可知：以ADA4084-2型運(yùn)算放大器作為八階巴特沃斯低通濾波器的有源器件是合適的，設(shè)計(jì)的八階巴特沃斯低通濾波器抗信號(hào)的噪聲干擾性能強(qiáng)，在濾波器領(lǐng)域有較大的應(yīng)用前景.