郭子漪 李 凱 康 琦 段 俐 胡文瑞

中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所微重力重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100190

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京100049

1 引 言

自然對(duì)流的流動(dòng)規(guī)律是流體力學(xué)的首要研究問題之一.自然對(duì)流是指流體在無外界直接驅(qū)動(dòng)力 (如壓力) 情況下自發(fā)產(chǎn)生的流動(dòng).浮力對(duì)流是體積力引起的一類重要的自然對(duì)流形式,其內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力來源于重力效應(yīng)下流體內(nèi)部溫度差或組分濃度差等形成的密度梯度,流體力學(xué)中通常用Rayleigh 數(shù)來表征溫度變化產(chǎn)生的浮力效應(yīng)與流體黏性及熱擴(kuò)散效應(yīng)之比,Rayleigh 數(shù)定義為Ra=gβ?Td3/νκ,其中g(shù)為重力加速度,β為熱膨脹系數(shù),?T為溫度差,d為特征長(zhǎng)度,ν為運(yùn)動(dòng)黏度,κ為熱擴(kuò)散系數(shù); 另一類重要的自然對(duì)流形式是流體界面力引起的流動(dòng),流體界面(自由面)給出流體所占物理區(qū)域的邊界,包括液/固界面、液/氣界面及分割不混溶液體的液/液界面.這一過程中流體界面張力及其梯度對(duì)界面位形及其形變起著至關(guān)重要的作用.流體界面張力大小與界面上溫度和組分濃度等相關(guān).對(duì)于大多數(shù)流體界面,界面張力隨溫度升高而減小.當(dāng)流體界面上存在溫度梯度時(shí),界面熱點(diǎn)處界面張力較小,冷點(diǎn)處界面張力較大,由此在界面上形成了從熱點(diǎn)到冷點(diǎn)的切向力,驅(qū)動(dòng)流體沿界面運(yùn)動(dòng);流體內(nèi)部則在流體黏性的作用下形成回流,由此引起的流體整體流動(dòng)稱為界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流(胡文瑞,徐碩昌1999,Walter 1987).由溫度梯度引起的界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流又被稱為熱毛細(xì)對(duì)流,其中常用的無量綱參數(shù)為Marangoni 數(shù),反應(yīng)了熱毛細(xì)對(duì)流中對(duì)流輸運(yùn)與熱擴(kuò)散之比,定義為Ma=?Td/ρνκ,其中為界面張力溫度系數(shù),ρ為流體密度.具有流體界面的流體體系中,浮力對(duì)流和界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流常常是耦合的,流體力學(xué)中通常用無量綱靜態(tài)或動(dòng)態(tài)Bond 數(shù)(Bo或Bd) 來表征重力(或浮力) 效應(yīng)與界面張力效應(yīng)的相對(duì)重要性,動(dòng)態(tài) Bond 數(shù)定義為Bd= ?ρgβd2.當(dāng)動(dòng)態(tài)Bond 數(shù)較大時(shí),重力效應(yīng)在體系內(nèi)占優(yōu),體系內(nèi)浮力對(duì)流占主導(dǎo); 當(dāng)Bond 數(shù)較小時(shí),即對(duì)于小尺度(特征尺度d小)或微重力環(huán)境下(g小)的體系,界面張力起主導(dǎo)作用.對(duì)于具有流體界面的流體體系,地面環(huán)境下,界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流通常作為次級(jí)作用為浮力對(duì)流所掩蓋;而在微重力環(huán)境下,重力效應(yīng)被極大地減弱,此時(shí)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流成為自然對(duì)流熱質(zhì)輸運(yùn)的基本形式(Johns and Narayanan 2002).例如,前期的空間晶體生長(zhǎng)探索實(shí)驗(yàn)中,曾預(yù)期空間微重力環(huán)境下,重力效應(yīng)極大減弱,生長(zhǎng)過程為純擴(kuò)散控制,可以生長(zhǎng)高品質(zhì)大尺寸晶體.然而實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),微重力環(huán)境下界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流占主導(dǎo)地位,其流動(dòng)強(qiáng)度甚至可以比擬地面生長(zhǎng)過程中的浮力對(duì)流.界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流同樣影響空間生長(zhǎng)晶體的質(zhì)量,當(dāng)其驅(qū)動(dòng)力大小超過臨界值時(shí),對(duì)流變?yōu)橹芷谛哉袷幍姆嵌ǔ?duì)流; 隨著驅(qū)動(dòng)力的不斷增大,對(duì)流最終發(fā)展為湍流.對(duì)于半導(dǎo)體硅這樣低Prandtl 數(shù)(Pr=ν/κ) 的熔體,非定常對(duì)流極易發(fā)生(Croll et al.1994),非定常的對(duì)流熱輸運(yùn)過程引起溫度場(chǎng)的脈動(dòng),使得生長(zhǎng)速率的脈動(dòng)與對(duì)流過程間接耦合起來,產(chǎn)生與地面生長(zhǎng)過程中的浮力對(duì)流類似的雜質(zhì)條紋.

混沌是自然界所固有的現(xiàn)象.Poincare (1899) 于19 世紀(jì)末研究三體問題時(shí)指出確定的動(dòng)力學(xué)方程的某些解存在不可預(yù)見性,從而開創(chuàng)了混沌理論.Lorentz (1963)于1963 年根據(jù)前期研究結(jié)果開創(chuàng)了用數(shù)值實(shí)驗(yàn)方法研究混沌現(xiàn)象的方法.自此混沌現(xiàn)象研究因其在理論和實(shí)際應(yīng)用中的重要性受到了持之以恒的關(guān)注并獲得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.在確定性系統(tǒng)中,轉(zhuǎn)捩過程是連接“確定” 與“隨機(jī)” 之間的橋梁,是一個(gè)強(qiáng)非線性過程.流體運(yùn)動(dòng)時(shí)空演化過程中的轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象最早由Reynolds通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)(唐登斌2015): 圓管中的水流流動(dòng)在超過某個(gè)臨界狀態(tài)時(shí)會(huì)從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?流動(dòng)從層流向湍流的轉(zhuǎn)捩過程主要分為兩個(gè)階段: 首先,隨著流動(dòng)驅(qū)動(dòng)力增大,流動(dòng)中的小擾動(dòng)線性發(fā)展,超過臨界狀態(tài)時(shí),穩(wěn)態(tài)層流失穩(wěn)發(fā)展成為非穩(wěn)態(tài)層流,這個(gè)過程可以視為臨界轉(zhuǎn)捩;隨著流動(dòng)驅(qū)動(dòng)力繼續(xù)增大,流動(dòng)中的非線性作用不斷增強(qiáng),大量諧波不斷產(chǎn)生,擾動(dòng)成為隨機(jī),導(dǎo)致非穩(wěn)態(tài)層流進(jìn)一步發(fā)展成為湍流,這個(gè)過程可以視為超臨界轉(zhuǎn)捩.邊界層理論(Prandtl 1904)表明層流和完全湍流間存在過渡區(qū)域(轉(zhuǎn)捩區(qū)).與直接研究極其復(fù)雜湍流的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相比,從轉(zhuǎn)捩過程的角度去探索層流如何轉(zhuǎn)化為湍流為研究復(fù)雜的湍流問題提供了“鑰匙” 和新視角,因而成為相關(guān)流體耗散系統(tǒng)中流體力學(xué)的前沿研究.

作為空間自然對(duì)流熱質(zhì)輸運(yùn)的基本形式,界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流是流動(dòng)和傳熱強(qiáng)耦合的復(fù)雜非線性過程,同時(shí)也是一個(gè)多控制參數(shù)(包括體系的幾何位形、物性參數(shù)、界面熱邊界條件等) 耦合作用的過程,因而呈現(xiàn)出非常多樣性的流動(dòng)時(shí)空特征.例如,對(duì)于同一個(gè)模型問題,在其他參數(shù)不變的情況下,隨著界面上溫度梯度增大,界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流會(huì)呈現(xiàn)豐富多樣的流型,穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)、層流和湍流、周期振蕩、流動(dòng)分岔和混沌等.因此,界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流時(shí)空轉(zhuǎn)捩過程、轉(zhuǎn)捩機(jī)制、非線性特征及流動(dòng)向湍流轉(zhuǎn)捩途徑等基本規(guī)律成為微重力流體物理的重要研究?jī)?nèi)容和學(xué)科前沿.深入系統(tǒng)地開展相關(guān)內(nèi)容的研究將進(jìn)一步推動(dòng)小擾動(dòng)理論、能量法、弱非線性理論等流動(dòng)穩(wěn)定性理論的發(fā)展,促進(jìn)混沌理論、耗散結(jié)構(gòu)理論等新興科學(xué)的發(fā)展及其與微重力流體力學(xué)的融合,極大地豐富微重力流體力學(xué)的研究?jī)?nèi)容.

與此同時(shí),界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流在載人航天、登月計(jì)劃、火星探索和空間流體利用等諸方面都有較強(qiáng)的應(yīng)用背景,涉及諸如空間燃料輸運(yùn)過程和空間能源或熱管利用(Abe et al.2005) 等空間流體管理問題、空間生命保障系統(tǒng)、空間材料制造、空間焊接和空間生物技術(shù)等.因此開展相關(guān)流動(dòng)基本規(guī)律的研究對(duì)于人類認(rèn)識(shí)、探索和利用空間環(huán)境也具有重要的應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)對(duì)于指導(dǎo)和提高地面相關(guān)工業(yè)過程等都有重要意義.

2 界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流向湍流的轉(zhuǎn)捩

2.1 界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的臨界轉(zhuǎn)捩

液層模型是源自于空間晶體生長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)探索的簡(jiǎn)化模型,是研究微重力條件下界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流基本流動(dòng)規(guī)律的經(jīng)典模型.液層模型主要包括矩形液層 (rectangular pool)、環(huán)形液層(annular pool)和液橋(liquid bridge)(圖1)等.相對(duì)而言,液橋是一類特殊的液層模型.液橋中界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的流動(dòng)穩(wěn)定性研究成果極為豐富,相關(guān)系統(tǒng)的完整臨界轉(zhuǎn)捩描述詳見綜述(Hu et al.2008).除了極薄液層的情況,在絕大多數(shù)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的地面實(shí)驗(yàn)研究中,界面張力效應(yīng)和重力效應(yīng)間存在較強(qiáng)的耦合作用.例如,Riley 和Neitzel (1998) 的地面實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果表明,液層中熱流體波的特征,如傳播角度和振蕩頻率,隨著液層厚度的不同而改變,表現(xiàn)出與重力效應(yīng)的強(qiáng)耦合性.這與Chan 和Chen(2010)的研究結(jié)論一致.而另一方面,由于空間實(shí)驗(yàn)機(jī)會(huì)昂貴稀缺,界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的空間實(shí)驗(yàn)研究屈指可數(shù).Kamotani 等(1995,1999) 開展了圓形液池中界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流臨界轉(zhuǎn)捩的空間實(shí)驗(yàn)研究,實(shí)驗(yàn)采用的液層厚度相對(duì)較厚,高徑比約為1.實(shí)驗(yàn)研究了層流失穩(wěn)的臨界條件和臨界流動(dòng)振蕩模式,討論了其與加熱速率、自由面位形和激光束加熱面積的關(guān)系,并和相應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了比較.環(huán)形液層的特點(diǎn)是周向沒有壁面限制,熱流體波不會(huì)因?yàn)楸诿嬗绊懚p(Lappa 2009),可以更好地觀測(cè)熱流體波的基本參數(shù),例如臨界波數(shù)的變化.Schwabe 等(1999,2002) 開展了外加熱環(huán)形淺液池中界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的臨界轉(zhuǎn)捩空間實(shí)驗(yàn)研究.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明臨界值與液層尺度比無關(guān); 實(shí)驗(yàn)中還確認(rèn)了熱流體波的存在,當(dāng)液層高度很小時(shí),隨Marangoni 數(shù)的增加,流動(dòng)由同心多卷圈結(jié)構(gòu)發(fā)展為熱流體波; 而當(dāng)液層厚度較大時(shí),失穩(wěn)后的流動(dòng)比熱流體波更為復(fù)雜和不規(guī)則;此外,實(shí)驗(yàn)中還發(fā)現(xiàn)特殊的軸對(duì)稱臨界振蕩.但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析中沒有考慮自由面位形的影響,部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果與二維矩形液層的數(shù)值模擬結(jié)果有較大差別.近期,Jiang (2017a,2017b)通過實(shí)驗(yàn)研究了矩形液層熱毛細(xì)對(duì)流的轉(zhuǎn)捩問題,發(fā)現(xiàn)了多種轉(zhuǎn)捩途徑,并發(fā)現(xiàn)存在表面波動(dòng)不穩(wěn)定性.Kang 等(2019a,2019b,2019) 在實(shí)踐10號(hào)返回式科學(xué)衛(wèi)星上開展了內(nèi)加熱環(huán)形液池中界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的臨界轉(zhuǎn)捩空間實(shí)驗(yàn)研究,實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了層流失穩(wěn)的臨界條件,臨界振蕩流動(dòng)模式及振蕩頻率等,系統(tǒng)討論了上述臨界轉(zhuǎn)捩特征與液層體積比(自由面位形)關(guān)系.這里液層體積比定義為液層實(shí)際體積與對(duì)應(yīng)的水平液層的體積之比.此外,Kang 等(2019d,2020) 在天宮二號(hào)(TG-2) 空間實(shí)驗(yàn)完成了液橋熱毛細(xì)對(duì)流空間實(shí)驗(yàn),討論液橋高徑比– 體積比的幾何參數(shù)效應(yīng)、多次轉(zhuǎn)捩、波動(dòng)模式變換、以及分岔道路的復(fù)雜性.

圖1

相比有限的空間實(shí)驗(yàn)結(jié)果,微重力條件下界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流臨界轉(zhuǎn)捩的理論和數(shù)值模擬研究的成果更為豐富.Pearson (1958) 重新分析了B′enard (1901) 的實(shí)驗(yàn),通過在邊界條件中加入界面張力項(xiàng),動(dòng)量方程中忽略重力項(xiàng),建立了純界面張力梯度作用下的數(shù)學(xué)物理模型,由理論分析給出了流動(dòng)由靜止?fàn)顟B(tài)到形成胞狀對(duì)流的臨界條件,與B′enard 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為符合.Pearson 的研究開啟了一系列對(duì)于液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的研究.Smith 和Davis(1983)利用線性穩(wěn)定性方法研究了微重力條件下無限長(zhǎng)的液層,其自由面上施加均勻溫度梯度,研究發(fā)現(xiàn),在自由面不變形假定下,除了Pearson 指出的定常卷圈結(jié)構(gòu)外還有熱流體波的失穩(wěn)形式; 當(dāng)考慮自由面變形時(shí),表面波不穩(wěn)定性的形式是行波.相關(guān)臨界值、傳播方向和臨界波數(shù)等受流體物性和界面?zhèn)鳠岬挠绊?此外,實(shí)際液層的有限邊界對(duì)熱流體波傳播有明顯限制,進(jìn)而影響其穩(wěn)定性.Xu 和Davis(1984)研究了軸向施加均勻溫度梯度的無限長(zhǎng)流體圓柱,同樣發(fā)現(xiàn)了與軸向成一定角度傳播的熱流體波.Smith 和Davis (1983,1986) 對(duì)熱流體波不穩(wěn)定性的物理機(jī)理進(jìn)行了討論,指出熱流體波是一種與熱效應(yīng)相關(guān)的波動(dòng),流場(chǎng)主要起對(duì)流輸運(yùn)的作用,即使在忽略表面變形時(shí)也會(huì)產(chǎn)生熱流體波.另一種表面波不穩(wěn)定性則是表面波動(dòng)變形與內(nèi)部剪切流動(dòng)耦合作用的結(jié)果,是純粹的流體動(dòng)力學(xué)效應(yīng).Derby 和Brown(1986)最早在微重力科學(xué)計(jì)劃支持下利用環(huán)形液層模型開展了提拉法空間晶體生長(zhǎng)的模型化研究.Laure 等(1990) 通過線性穩(wěn)定性理論和局部分岔理論分析了矩形液池界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的擾動(dòng)的空間分布等問題.Xu 和Zebib (1998) 對(duì)大Prandtl 數(shù)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流進(jìn)行了二維和三維數(shù)值模擬,對(duì)于二維模型,研究給出了較為完整的不同Prandtl 數(shù)與高徑比下流動(dòng)失穩(wěn)的臨界 Reynolds 數(shù) (Re=γ?TH/μν,其中γ=??σ/?T,H為特征長(zhǎng)度),并從能量角度分析了振蕩流產(chǎn)生的機(jī)制;對(duì)三維模型,研究給出了典型的Prandtl 數(shù)下不同高徑比時(shí)流動(dòng)失穩(wěn)的臨界Reynolds 數(shù);同時(shí),研究指出側(cè)壁可以起到抑制失穩(wěn)的作用,而第三個(gè)維度方向上的擾動(dòng)則會(huì)促進(jìn)失穩(wěn).Madruga 等(2003,2004) 對(duì)兩層流體在水平溫差作用下的界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流進(jìn)行了線性穩(wěn)定性分析,發(fā)現(xiàn)了三種不穩(wěn)定形式: 從冷端向熱端傳播的行波、從熱端向冷端傳播的行波,以及縱向卷圈.P′erezgarc′?a 等(2004) 理論分析了硅油液層厚度對(duì)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流線性穩(wěn)定性的影響,指出對(duì)流會(huì)從基本流失穩(wěn)為熱流體波或者縱向渦胞,是由不同的液層厚度所決定的.Li 等(2011a,2011b) 采用漸近分析方法研究了單層和雙層環(huán)形液層內(nèi)的定常軸對(duì)稱界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流.Shi 等(2006,2010) 開展了環(huán)形淺液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的線性穩(wěn)定性研究,分析了浮力效應(yīng)、旋轉(zhuǎn)等對(duì)穩(wěn)定性的影響,研究表明,隨著Marangoni 數(shù)增加,流動(dòng)由單一傳播方向和波數(shù)的熱流體波發(fā)展為各種傳播方向和波數(shù)的熱流體波的疊加狀態(tài).Sim 等(2003,2004) 采用三維直接數(shù)值模擬方法研究了環(huán)形液層內(nèi)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流從定常軸對(duì)稱到三維流動(dòng)的轉(zhuǎn)捩,發(fā)現(xiàn)了在不同尺度比 (厚度與半徑之比) 下,液層失穩(wěn)后出現(xiàn)沿周向的行波和駐波,并研究了界面換熱的影響.Li 等(2003,2004) 對(duì)不同深度外加熱環(huán)形淺液層中的小Prandtl 數(shù)熱毛細(xì)對(duì)流和浮力– 熱毛細(xì)對(duì)流進(jìn)行了三維數(shù)值模擬,考慮了底面絕熱和底面恒定熱流的情況,研究發(fā)現(xiàn)表面溫度場(chǎng)呈現(xiàn)的不同振蕩形式: 周向傳播的熱流體波、受到徑向擾動(dòng)調(diào)制的熱流體波、駐波等.石萬元等(2009)發(fā)現(xiàn)環(huán)形淺液池臨界轉(zhuǎn)捩后形成對(duì)數(shù)螺線形波紋的熱流體波,相應(yīng)傳播角為常數(shù)并隨著驅(qū)動(dòng)力增加而增大.Tang 和Hu (2007) 數(shù)值模擬研究微重力環(huán)境下矩形淺液池內(nèi)的熱流體波,對(duì)熱流體波的形成機(jī)理進(jìn)行了分析和討論.胡文瑞等(2010) 對(duì)矩形液池中的界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流起振過程進(jìn)行了數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)微重力條件下液池兩側(cè)的溫差超過臨界溫差時(shí),液池中就會(huì)出現(xiàn)振蕩對(duì)流,其漲落值遠(yuǎn)小于時(shí)間平均值,表現(xiàn)為從冷端向熱端傳播的熱流體波.Li 等(2012)對(duì)微重力環(huán)境下Marangoni 對(duì)流和熱毛細(xì)對(duì)流耦合的液層進(jìn)行了數(shù)值模擬,預(yù)測(cè)了耦合對(duì)流的多渦流結(jié)構(gòu)和臨界穩(wěn)定邊界,并報(bào)道了振蕩耦合對(duì)流.Ma 和Bothe (2011) 采用基于VOF 方法的直接數(shù)值模擬方法研究了動(dòng)態(tài)自由面形變對(duì)液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的影響.S′aenz 等(2013) 研究了淺矩形液池內(nèi)界面張力驅(qū)動(dòng)對(duì)流熱流體波及其動(dòng)態(tài)自由面形變對(duì)不穩(wěn)定性的影響.

值得指出的是前述對(duì)于界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流臨界轉(zhuǎn)捩的理論和數(shù)值模擬研究大多針對(duì)水平自由面模型開展.空間環(huán)境下自由面的形狀通常是彎曲的,自由面位形對(duì)于界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流及其穩(wěn)定性有重要的影響(Garnier & Normand 2001,Ma & Bothe 2011,Saenz et al.2013).從流體力學(xué)基礎(chǔ)研究和空間應(yīng)用兩方面來說,開展彎曲自由面液層體積效應(yīng)對(duì)流體流動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)捩特征的影響的研究都是非常必要的.

2.2 界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流向湍流轉(zhuǎn)捩的實(shí)驗(yàn)研究和直接數(shù)值模擬

臨界轉(zhuǎn)捩過程處于整個(gè)流動(dòng)向湍流轉(zhuǎn)捩過程的起始階段.后續(xù)由非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)向湍流的超臨界轉(zhuǎn)捩過程則表現(xiàn)出強(qiáng)非線性,其流動(dòng)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)捩基本規(guī)律(分岔途徑)的多樣性極大豐富了流體力學(xué)的內(nèi)容,同時(shí)其復(fù)雜性也給相關(guān)理論和實(shí)驗(yàn)研究帶來了巨大的挑戰(zhàn).分岔現(xiàn)象是系統(tǒng)內(nèi)部本身固有的特性,是指非線性動(dòng)力系統(tǒng)某一控制參數(shù)連續(xù)變化達(dá)到臨界值(分岔點(diǎn)) 時(shí),系統(tǒng)行為突然發(fā)生的質(zhì)變,即在分岔點(diǎn)會(huì)發(fā)生流動(dòng)流形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變.

對(duì)于浮力對(duì)流這一經(jīng)典流體動(dòng)力學(xué)耗散體系,對(duì)其流動(dòng)發(fā)展至湍流的超臨界轉(zhuǎn)捩過程研究較多,也相對(duì)系統(tǒng)化.根據(jù)現(xiàn)有研究結(jié)果,向湍流轉(zhuǎn)捩的典型分岔途徑大致分為:

(1) 倍周期分岔途徑(Feigenbaum 途徑): 規(guī)則運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(如周期運(yùn)動(dòng)) 通過周期不斷加倍方式轉(zhuǎn)捩成為湍流(Feigenbaum 1979);

(2)準(zhǔn)周期分岔途徑: 運(yùn)動(dòng)通過由連續(xù)的周期運(yùn)動(dòng)變化至準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的Hopf 分岔轉(zhuǎn)捩為湍流,其間需要激發(fā)三個(gè)不可公約頻率(RTN 途徑),或者出現(xiàn)具有鎖頻特征的兩個(gè)不可公約頻率(Ruelle and Takens 1971);

(3) 陣發(fā)分岔途徑: 運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)與準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)與不同混沌間的反復(fù)切換(間歇) (Pomeau and Manneville 1980);

(4) 切分岔途徑: 在切分岔點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)發(fā)生奇數(shù)倍周期分岔,而后隨著參數(shù)繼續(xù)改變,可能由倍周期或準(zhǔn)周期途徑通向混沌(Broze & Hussain 1996),此外,切分岔也被認(rèn)為與某類陣發(fā)現(xiàn)象的形成機(jī)制有關(guān).

Gollub 和Benson (1980) 通過液層中Rayleigh-B′enard 流動(dòng)的地面實(shí)驗(yàn)確認(rèn)了若干向湍流轉(zhuǎn)捩的途徑 (圖2): 隨著 Rayleigh 數(shù)的增加,穩(wěn)態(tài)流動(dòng)演化成為周期性的振蕩,然后通過倍周期分岔(Feigenbaum 途徑)、具有鎖頻特征的準(zhǔn)周期分岔、具有三個(gè)不可公約頻率的準(zhǔn)周期分岔(RTN 途徑) 或者陣發(fā)途徑中的一種轉(zhuǎn)捩成為湍流,具體通過何種途徑與液層的幾何位形和流體物性有著復(fù)雜依賴關(guān)系,取決于相關(guān)耗散動(dòng)力學(xué)體系控制參數(shù),如Reynolds 數(shù)、Prandtl 數(shù)和體系幾何位形(Mukutmoni & Yang 1993) 等.Braun 等(1998) 通過二維數(shù)值模擬研究了流動(dòng)向湍流轉(zhuǎn)捩的途徑,分析了其與Reynolds 數(shù)、邊界條件和長(zhǎng)高比的關(guān)系.Saha 等(2000)識(shí)別了通過方柱的二維流動(dòng)經(jīng)由具有鎖頻特征的準(zhǔn)周期途徑向湍流轉(zhuǎn)捩的過程.其他轉(zhuǎn)捩途徑,如倍周期分岔途徑(Libchaber and Maurer 1978)、RTN 途徑 (Ruelle & Takens 1971,Newhouse et al.1978)、陣發(fā)途徑 (Pomeau &Manneville 1980) 也都在研究中得到確認(rèn).

Jiang 等(2017a,2017b) 通過矩形液層中熱毛細(xì)對(duì)流的地面實(shí)驗(yàn),在不同Prandtl 數(shù)和高徑比下發(fā)現(xiàn)了幾種流動(dòng)轉(zhuǎn)捩的切分岔途徑,包括三周期分岔、五周期分岔及伴隨準(zhǔn)周期分岔的切分岔等,還觀察到了陣發(fā)現(xiàn)象(圖3),給出了相應(yīng)的相軌跡描述(圖4); 并利用紅外熱像儀實(shí)時(shí)測(cè)量了流體表面溫度,發(fā)現(xiàn)了熱毛細(xì)對(duì)流表面溫度分布的波動(dòng)特性(圖5).近期,Kang 等(2019a) 在實(shí)踐10 號(hào)返回式科學(xué)衛(wèi)星上利用內(nèi)加熱環(huán)形液池中界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的空間實(shí)驗(yàn)研究了流動(dòng)的超臨界轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象,主要研究了體積比和不同加熱模式對(duì)于穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩途徑的影響,驗(yàn)證了體積比效應(yīng)理論; 發(fā)現(xiàn)流動(dòng)失穩(wěn)從駐波開始,通過競(jìng)爭(zhēng)轉(zhuǎn)化為行波,然后駐波行波耦合; 發(fā)現(xiàn)流動(dòng)模式以波數(shù)4 轉(zhuǎn)3 為主要形式,與體積比有關(guān); 發(fā)現(xiàn)了二頻準(zhǔn)周期和1/2 倍周期這種單一的分岔過程,并與受浮力對(duì)流影響的地面實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.由于空間實(shí)驗(yàn)條件所限,流動(dòng)沒有最終轉(zhuǎn)捩進(jìn)入湍流 (圖6～圖9).Kang 等 (2019d,2020) 在 2016 年 —2019 年歷時(shí) 34 個(gè)月,完成了 740 組液橋熱毛細(xì)對(duì)流研究,積累了大量的空間實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).空間實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了液橋高徑比與體積比的綜合效應(yīng)新規(guī)律以及“跳變” 的新效應(yīng),發(fā)現(xiàn)低頻模式起振區(qū)具有多次轉(zhuǎn)捩; 給出液橋行波和駐波完整的轉(zhuǎn)換圖譜,探索了毛細(xì)流動(dòng)體系通向混沌的分岔道路的復(fù)雜特征(圖10～圖12).

圖2

對(duì)于界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流這一相對(duì)較新的流體動(dòng)力學(xué)耗散體系,在對(duì)流動(dòng)向湍流超臨界轉(zhuǎn)捩過程的探索中,無論是實(shí)驗(yàn)研究還是理論分析都相當(dāng)缺乏.由前述可見,在絕大多數(shù)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的地面實(shí)驗(yàn)研究中無法區(qū)分存在較強(qiáng)耦合作用的界面張力效應(yīng)和重力效應(yīng);而空間實(shí)驗(yàn)的昂貴成本導(dǎo)致界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的空間實(shí)驗(yàn)研究屈指可數(shù);因此,數(shù)值研究、理論分析和實(shí)驗(yàn)研究一起成為了相關(guān)內(nèi)容科學(xué)探索研究的三個(gè)相互依存、不可缺少的方法.流動(dòng)的控制方程組加上邊界條件可以看作特定函數(shù)空間上的無窮維動(dòng)力系統(tǒng),系統(tǒng)的解是時(shí)空坐標(biāo)下的函數(shù),反映了流動(dòng)狀態(tài).流動(dòng)由層流向湍流轉(zhuǎn)捩的現(xiàn)象可以用系統(tǒng)吸引子隨參數(shù)改變而相應(yīng)地發(fā)生變化來描述.動(dòng)力系統(tǒng)以時(shí)間為參數(shù)的解曲線在相空間中的分布情況構(gòu)成系統(tǒng)的相圖,若在某個(gè)參數(shù)附近,相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了改變,則稱系統(tǒng)在這個(gè)參數(shù)處發(fā)生了分岔.分岔又可分為全局分岔和局部分岔: 較大的不變集與平衡點(diǎn)重疊,導(dǎo)致大范圍內(nèi)相圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變的現(xiàn)象,稱為全局分岔,比如同宿分岔、異宿分岔等; 而平衡點(diǎn)、閉軌等解的穩(wěn)定性或者數(shù)目發(fā)生變化的現(xiàn)象,一般稱為局部分岔,研究局部分岔的方法一般是分析局部穩(wěn)定性.本文重點(diǎn)關(guān)注局部分岔.在對(duì)流向湍流轉(zhuǎn)捩的數(shù)值研究中,期望達(dá)到的目標(biāo)是: (1) 得到給定參數(shù)下盡可能多的解,包括定常解、周期解,穩(wěn)定、不穩(wěn)定的解等; (2) 得到每個(gè)解隨參數(shù)改變的變化情況,判斷不同解之間隨參數(shù)改變是否有聯(lián)系,是如何聯(lián)系的; 正確識(shí)別出分岔點(diǎn),得到分岔的臨界參數(shù)、分岔發(fā)生前后流動(dòng)狀態(tài)的變化; (3) 不同參數(shù)與其對(duì)應(yīng)的解曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系構(gòu)成分岔圖,希望由上述(1) 和(2) 的內(nèi)容總結(jié)出完整的分岔圖,并在此基礎(chǔ)上與不同系統(tǒng)的分岔圖進(jìn)行對(duì)比以探索更深層次的規(guī)律.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

需要指出的是,無論實(shí)驗(yàn)研究還是數(shù)值模擬,都需要最終對(duì)獲得的速度場(chǎng)或溫度場(chǎng)在時(shí)空坐標(biāo)上的值開展非線性分析,用時(shí)間序列的頻譜特性及相空間重構(gòu)等方法來定量確定時(shí)序混沌.定常解失穩(wěn)的臨界參數(shù)及擾動(dòng)增長(zhǎng)后的波動(dòng)特性可以通過分析速度場(chǎng)及溫度場(chǎng)的時(shí)空演化圖得到.但是隨著參數(shù)的增大,解變得越來越復(fù)雜,流場(chǎng)的分布圖不足以定量反應(yīng)流動(dòng)特性,也無法確認(rèn)解是否為混沌解.出于上述考慮,需要進(jìn)行簡(jiǎn)化操作,其中一個(gè)簡(jiǎn)化方向是將復(fù)雜的時(shí)空混沌簡(jiǎn)化為時(shí)序混沌,即固定空間上某個(gè)位置,取它的宏觀量 (溫度或者速度分量) 隨時(shí)間的變化序列,考慮不同參數(shù)下對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列的特性,這樣做實(shí)際上是默認(rèn)了系統(tǒng)宏觀量的時(shí)間序列可以反應(yīng)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為(雖然這樣做會(huì)損失系統(tǒng)的部分信息).通過對(duì)流動(dòng)的時(shí)間序列信息分析判斷對(duì)流通向混沌的途徑已經(jīng)有了一套較為完整的流程: 首先,周期解及準(zhǔn)周期解各自有其對(duì)應(yīng)的頻譜特性,進(jìn)一步,由時(shí)頻譜可以從整體上反映頻率特性隨參數(shù)改變而變化的過程,通向混沌的各種途徑可由時(shí)頻譜的具體特點(diǎn)來識(shí)別.Feigenbaum 途徑的特點(diǎn)是原周期吸引子失穩(wěn),產(chǎn)生周期加倍的吸引子,重復(fù)此倍周期分岔過程,最終產(chǎn)生混沌吸引子,表現(xiàn)在頻譜中就是依次出現(xiàn)1/2 基頻,1/4基頻,······,1/2n基頻,······; Ruelle-Takens 途徑的特點(diǎn)是經(jīng)歷了至少兩次 Hopf 分岔,且第二次Hopf 分岔后通常出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,表現(xiàn)在頻譜中就是出現(xiàn)兩個(gè)以上不可公約頻率; 陣發(fā)途徑的特點(diǎn)是原周期吸引子失穩(wěn),產(chǎn)生一個(gè)新的吸引子,這個(gè)新的吸引子時(shí)而是周期運(yùn)動(dòng),時(shí)而是混亂的“隨機(jī)”運(yùn)動(dòng),且進(jìn)入混亂狀態(tài)的時(shí)間點(diǎn)是沒有規(guī)律的.切分岔途徑在頻譜中的表現(xiàn)通常是出現(xiàn)1/3 基頻或1/5 基頻等.一般來說,當(dāng)頻譜呈現(xiàn)出以上幾種途徑的特性時(shí),就可能預(yù)示著隨參數(shù)的繼續(xù)增長(zhǎng),最終系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生混沌吸引子.但是反之,混沌狀態(tài)并不全是經(jīng)由上述途徑產(chǎn)生的,在一些研究中還觀察到了其他特殊現(xiàn)象(Lappa 2009).其次,對(duì)于一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),一般在相空間中觀察解的行為,但是直接數(shù)值模擬方法中的分析對(duì)象總是一維的時(shí)間序列,系統(tǒng)在原相空間中的行為隱藏在一維時(shí)間序列的信息中,為了還原這些信息,一般采用相空間重構(gòu)法,其主要思想是由吸引子的一維時(shí)間序列重構(gòu)出高維吸引子,高維吸引子位于一個(gè)重構(gòu)的相空間中,Takens 定理(Takens 1981)從理論上保證了重構(gòu)相空間中的吸引子與原系統(tǒng)的吸引子有相似的動(dòng)力學(xué)特性(比如,吸引子的周期、準(zhǔn)周期性質(zhì)、吸引子的維數(shù)、是否為混沌吸引子等等),雖然重構(gòu)出的空間并不是原系統(tǒng)真正的狀態(tài)空間(因?yàn)檎嬲南到y(tǒng)是無窮維的),但是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)與研究結(jié)果,相空間重構(gòu)法可以在一定程度上還原出系統(tǒng)主要的動(dòng)力學(xué)特性.相空間重構(gòu)的算法主要包括延遲時(shí)間的選取和嵌入維數(shù)的選取兩方面,目前常用的方法有 G-P 算法(Grassberger & Procaccia 1983)、互信息法(Packard et al.1980,Fraser & Swinney 1986)、C-C 方法 (Kim et al.1999) 等,其主要思想大致是取使得重構(gòu)序列在相空間中得到充分展開的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)為最佳的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù),以還原盡可能多的動(dòng)力學(xué)信息.此外,在重構(gòu)相空間中觀察吸引子,不但可以進(jìn)一步驗(yàn)證一維時(shí)間序列的周期及準(zhǔn)周期特性,還為混沌時(shí)間序列的定量判斷提供方便.例如,解對(duì)初值敏感一般量化為兩個(gè)初始距離很近的解的距離隨時(shí)間呈指數(shù)發(fā)散的程度,這一現(xiàn)象可以用Lyapunov 指數(shù)定量刻畫,n維系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)含n個(gè)指數(shù),分別表示軌道在各個(gè)方向上的變化情況.Lyapunov 指數(shù)其實(shí)就是離散系統(tǒng)在多次迭代中平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)(呂金虎等2002),對(duì)于耗散系統(tǒng),如果某個(gè)吸引子的最大Lyapunov 指數(shù)大于0,則可視其為混沌吸引子.在實(shí)際計(jì)算中,將Lyapunov 指數(shù)的前j個(gè)指數(shù)之和近似為前j個(gè)主軸定義的j維立體體積指數(shù)增加的長(zhǎng)期平均速率,由此可計(jì)算所有的n個(gè)指數(shù).此外,對(duì)耗散系統(tǒng),更加關(guān)心最大Lyapunov 指數(shù),計(jì)算時(shí)間序列的最大Lyapunov 指數(shù)的方法主要有: Wolf 方法(Wolf et al.1985)、Jacobian 方法(Barna &Tsuda 1993)、p- 范數(shù)算法 (Barna & Tsuda 1993)、小數(shù)據(jù)量方法 (Rosenstein et al.1993) 等,它們都是基于相空間重構(gòu)方法對(duì)重構(gòu)吸引子計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù),其中Wolf 方法較為常用,它適用于時(shí)間序列無噪聲,切空間中小向量的演變高度非線性的情況.除此之外,還可以在重構(gòu)相空間中運(yùn)用關(guān)聯(lián)維算法(Grassberger & Procaccia 1983)、排列熵算法(Bandt & Pompe 2002)等進(jìn)一步確認(rèn)混沌吸引子.

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

基于以上非線性分析方法,Mukolobwiez 等(1998) 最早于1998 年實(shí)驗(yàn)研究了側(cè)壁加熱狹長(zhǎng)環(huán)形管道內(nèi)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流超臨界熱流體波的非線性動(dòng)力學(xué)過程.研究結(jié)果表明該流動(dòng)表現(xiàn)出超臨界Eckhaus 不穩(wěn)定性.后續(xù)Garnier 等(2003a,2003b) 研究了側(cè)壁加熱狹長(zhǎng)環(huán)形和封閉管道內(nèi)界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流超臨界熱流體波和調(diào)制波的非線性動(dòng)力學(xué)過程,并利用Ginzburg-Landau方程組分析了實(shí)驗(yàn)結(jié)果.Tang 等(1995) 通過地基小尺寸實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬對(duì)液橋界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流開展了研究,確認(rèn)了倍周期分岔的轉(zhuǎn)捩途徑,并且對(duì)倍周期分岔的特性進(jìn)行了相關(guān)分析,得到了與Feigenbaum 常數(shù)理論值非常接近的實(shí)驗(yàn)常數(shù).Frank 和Schwabe (1997,1999)利用空間實(shí)驗(yàn)研究了不同流體介質(zhì)液橋的界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的時(shí)空流動(dòng)結(jié)構(gòu),并從空間結(jié)構(gòu)的角度分析了準(zhǔn)周期和倍周期這兩種轉(zhuǎn)捩途徑.Bucchignani 和Mansutti (2004) 對(duì)Prandtl 數(shù)為23 的矩形液層中的浮力– 熱毛細(xì)對(duì)流進(jìn)行了三維數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)當(dāng)Marangoni 數(shù)固定,Rayleigh 數(shù)增加時(shí),流動(dòng)的轉(zhuǎn)捩途徑與Rayleigh 數(shù)的變化方式有關(guān): 觀察到了“周期解→二頻準(zhǔn)周期解→三頻準(zhǔn)周期解→混沌”這一途徑; 并且通過取特定的初值,還得到了一個(gè)各階段均為定常流的轉(zhuǎn)捩過程(圖13).Rahal 等 (2007) 以 Marangoni 數(shù)為控制參數(shù),實(shí)驗(yàn)研究了 B′enard-Marangoni 對(duì)流向湍流轉(zhuǎn)捩的過程,在一定參數(shù)范圍確認(rèn)了對(duì)流經(jīng)歷了周期運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)最終發(fā)展成為湍流的過程.實(shí)驗(yàn)還觀察到時(shí)間混沌向時(shí)空混沌的轉(zhuǎn)捩過程.Chen (2010) 和 Li (2010) 等通過數(shù)值模擬方法研究了矩形液池內(nèi)水平溫度梯度和濃度梯度作用下的雙擴(kuò)散Marangoni 對(duì)流轉(zhuǎn)捩過程,確認(rèn)了準(zhǔn)周期轉(zhuǎn)捩 (RTN 途徑) 途徑.Aa 等 (2010) 通過數(shù)值模擬研究液橋界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流,發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔的轉(zhuǎn)捩途徑,并且對(duì)倍周期分岔各個(gè)階段進(jìn)行了相空間重構(gòu),得到了跟理論值非常接近的Feigenbaum 常數(shù).Li 等(2012)對(duì)微重力環(huán)境下Marangoni 對(duì)流和熱毛細(xì)對(duì)流耦合的液層進(jìn)行了數(shù)值模擬,確定臨界轉(zhuǎn)捩的穩(wěn)定邊界,并報(bào)道了振蕩耦合對(duì)流的多渦流結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)捩過程.Zhu 等(2013)對(duì)矩形液層中的浮力– 熱毛細(xì)對(duì)流進(jìn)行了地面實(shí)驗(yàn),研究了Prandtl 數(shù)為10,16 和25 時(shí)不同長(zhǎng)高比液層中對(duì)流隨Marangoni 數(shù)增加發(fā)生的轉(zhuǎn)捩過程,發(fā)現(xiàn)了“周期狀態(tài)→準(zhǔn)周期狀態(tài)→混沌”途徑及Feigenbaum 途徑.Yu (2015) 等通過地面實(shí)驗(yàn)研究了環(huán)形淺液池界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流熱流體波特性,發(fā)現(xiàn)隨著Re增加,對(duì)流依次經(jīng)歷二維穩(wěn)態(tài)流、熱流體波和混沌現(xiàn)象.作為國(guó)際空間站–中俄合作項(xiàng)目“矩形液池?zé)崦?xì)對(duì)流研究”(Zona-K)的預(yù)先研究,Li(2016)等通過數(shù)值模擬研究了二維液層熱毛細(xì)對(duì)流分岔轉(zhuǎn)捩過程,發(fā)現(xiàn)了流動(dòng)向湍流轉(zhuǎn)捩的具有鎖頻特征的準(zhǔn)周期分岔途徑與倍周期分岔途徑,研究表明不同的液層長(zhǎng)高比可能導(dǎo)致不同的轉(zhuǎn)捩途徑(圖14).Zhang(2018)對(duì)小Prandtl 數(shù)為環(huán)形液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流進(jìn)行了三維數(shù)值模擬,并且考慮了自由面存在熱耗散的情況.研究發(fā)現(xiàn)界面換熱較小 (接近 0) 時(shí),隨著Marangoni 數(shù)增加,流動(dòng)依次經(jīng)歷二維軸對(duì)稱定常流→三維定常流→熱流體波與徑向行波共存→徑向行波→混沌; 當(dāng)界面換熱較大(接近1) 時(shí),隨著Marangoni 數(shù)增加,對(duì)流依次經(jīng)歷了二維軸對(duì)稱定常流→熱流體波→混沌(圖15 和圖16).

圖13

圖14

圖15

以上相關(guān)研究結(jié)果表明: 液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的各種工況下確實(shí)觀察到了流動(dòng)通過若干典型途徑組合通向混沌,證實(shí)了這些理論上的轉(zhuǎn)捩途徑在實(shí)際物理場(chǎng)景中是可能的; 而另一方面,在一些實(shí)驗(yàn)中雖然觀察到了具有以上若干分岔模式特征的頻譜,但是流動(dòng)最終沒有發(fā)展進(jìn)入混沌.這些例外背后可能是實(shí)驗(yàn)條件限制的原因,也可能蘊(yùn)藏著別的機(jī)理解釋.

2.3 分岔理論及其數(shù)值算法在流體力學(xué)研究中的應(yīng)用

通過分析實(shí)驗(yàn)或直接數(shù)值模擬獲得的流動(dòng)時(shí)序數(shù)據(jù)研究轉(zhuǎn)捩規(guī)律的整個(gè)過程比較繁瑣,需要在大量離散的數(shù)據(jù)序列中尋找分岔點(diǎn),而目前對(duì)于分岔點(diǎn)的確定還沒有更簡(jiǎn)便的方法.近年來,一種新的思路,即分岔問題的數(shù)值算法得到了研究者的關(guān)注,這類方法基于分岔理論,構(gòu)造系統(tǒng)的解及分岔點(diǎn)的代數(shù)方程,通過數(shù)值解法得到分支關(guān)于參數(shù)的曲線,在得到完整的分岔圖上有其優(yōu)勢(shì).

分岔的數(shù)值算法主要包括以下幾個(gè)內(nèi)容: (1) 計(jì)算系統(tǒng)定常解及其關(guān)于參數(shù)的曲線 (分支),(2) 確定分岔點(diǎn),(3) 選取曲線通過分岔點(diǎn)后的分支方向

對(duì)于周期解,可用Poincare 截面將問題化為求定常解,所以只需考慮定常解關(guān)于參數(shù)的曲線,設(shè)系統(tǒng)為

圖16

式中p為參數(shù)u ∈Rn.系統(tǒng)定常解滿足方程

由隱函數(shù)定理及其相關(guān)推廣,在系統(tǒng)滿足一定光滑性的條件下,存在滿足上述方程的狀態(tài)空間中的整體解曲線u(p),求解這條曲線也就是要在不同參數(shù)下解定常解方程,所用的一類方法是延續(xù)算法 (continuation),其實(shí)本質(zhì)上就是微分方程的迭代解法,最簡(jiǎn)單的就是牛頓迭代法,由于迭代初值會(huì)影響收斂結(jié)果,一般采用預(yù)估– 校正算法來得到更精確的迭代初值; 此外,在實(shí)際的場(chǎng)景中解的維數(shù)通常很高,這時(shí)可考慮用擬牛頓法來避免直接對(duì)高維矩陣求逆.在曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(fold point or turning point) 處,不能再取參數(shù)p為曲線參數(shù),此時(shí)一般采用擬弧長(zhǎng)延續(xù)法(pseudoarclength continuation),引入?yún)?shù)s,將參數(shù)p也看作變量,建立關(guān)于s的迭代方程組.

為了用數(shù)值算法確定出分岔點(diǎn),這里將分岔點(diǎn)定義為滿足: 在曲線的分岔點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi),總存在不在曲線上的滿足定常解方程的點(diǎn).此外,由定理,使Jacobi 矩陣Φu(u(p),p) 的行列式符號(hào)改變的點(diǎn)就是一個(gè)分岔點(diǎn).基于上述結(jié)論,發(fā)展出了許多判斷分岔點(diǎn)的數(shù)值方法,最簡(jiǎn)單的想法是求解Jacobi 矩陣行列式的零點(diǎn),可以直接求解,也可以通過計(jì)算矩陣特征值來求解,矩陣特征值的求解有一整套完整的理論及許多數(shù)值算法,比如Arnoldi 方法等.對(duì)于一些特定類型的分岔,也有特定的數(shù)值算法: 許多流體力學(xué)方程具有特殊的對(duì)稱性,而破壞這種對(duì)稱性的分岔自然就成為一個(gè)關(guān)注重點(diǎn),Cliffe 等(2000) 總結(jié)了其中一種Z2對(duì)稱破缺分岔的性質(zhì)及其相應(yīng)數(shù)值算法; Hopf分岔也是一類在理論與實(shí)際應(yīng)用中比較重要的分岔,在Hopf 分岔點(diǎn)處,定常解失穩(wěn),產(chǎn)生周期解,體現(xiàn)在Jacobi 矩陣上的變化就是一對(duì)共軛特征值的實(shí)部由負(fù)變正,利用這一條件,Jepson (1981),Griewank 和Reddien (1983) 給出了計(jì)算Hopf 分岔的方程,但是轉(zhuǎn)折點(diǎn)也滿足他們給出的方程,隨后,Werner 和Janovsky (1991)添加了額外的方程,解決了Jepson,Griewank 和Reddien 的方程無法排除轉(zhuǎn)折點(diǎn)的問題.

事實(shí)上,直觀地來看,分岔點(diǎn)處的有兩個(gè)不同的非零切方向,沿這兩個(gè)方向可繼續(xù)延拓出通過分岔點(diǎn)之后的曲線.數(shù)值計(jì)算上,可以直接利用分岔點(diǎn)的性質(zhì)解出兩個(gè)切方向,作為延續(xù)算法下一步的初值,當(dāng)已知其中一條分支時(shí),還可利用Lyapunov-Schmidt 方法等計(jì)算另一條分支,此外,還有擾動(dòng)方法(perturbed bifurcation) 等,上述方法的詳情可見Keller (1987) 的書.

基于分岔理論建立分支曲線和分岔點(diǎn)的方程后,下一步要考慮求解所得到的高維線性方程.數(shù)值求解線性方程和特征值的理論龐雜,方法眾多.對(duì)于實(shí)際的流體力學(xué)問題,離散后的方程一般維數(shù)較高,在運(yùn)用迭代法解方程時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生算法復(fù)雜度過高、無法求解,或收斂速度過慢等問題,需要根據(jù)流體系統(tǒng)的具體性質(zhì),選取合適的算法.例如,在計(jì)算定常解時(shí),一種常采用的迭代算法是Krylov 子空間法,其中,為了降低子空間維數(shù),可以用預(yù)處理矩陣或時(shí)間積分等方法簡(jiǎn)化方程(Tuckerman 2020),更為系統(tǒng)的處理方法可以參考Dijkstra 等(2014) 的綜述文章.

上述分岔理論與數(shù)值算法在浮力對(duì)流和界面張力梯度對(duì)流的研究中已有相關(guān)應(yīng)用: Salinger等 (2002,2005) 將延續(xù)算法推廣到分岔點(diǎn)上,計(jì)算了二維方形腔內(nèi) Rayleigh-B′enard 對(duì)流的 Hopf分岔點(diǎn)關(guān)于長(zhǎng)寬比的曲線,而后又計(jì)算了三維立方體腔內(nèi)兩種邊界條件下的 Rayleigh-B′enard 對(duì)流的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、叉形分岔點(diǎn)、Hopf 分岔點(diǎn),還得到了分岔點(diǎn)關(guān)于另一個(gè)參數(shù)Prandtl 數(shù)的變化曲線.Boro′nska 和Tuckerman(2010a,2010b)對(duì)圓柱形容器中Rayleigh-B′enard 對(duì)流進(jìn)行直接數(shù)值模擬,在給定的Prandtl 數(shù)和體積比下、相同的Rayleigh 數(shù)處得到了幾種不同的定常流和振蕩流,確認(rèn)了流動(dòng)還與初始狀態(tài)有關(guān),又通過計(jì)算分岔點(diǎn),得到定常解及周期解通過分岔相互轉(zhuǎn)變的關(guān)系,給出了較為完整的分支圖(圖17).此外,文中對(duì)于三維流動(dòng)的數(shù)值處理方法也有一定借鑒意義.Dijkstra和Henk (1992) 數(shù)值研究了小長(zhǎng)高比的二維矩形腔中的Rayleigh-B′enard-Marangoni 胞狀對(duì)流結(jié)構(gòu),將延續(xù)算法用于計(jì)算分岔點(diǎn)關(guān)于參數(shù): 長(zhǎng)高比、Biot 數(shù) (Bi=ηH/κ,其中H為容器高度,η為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù))和Prandtl 數(shù)的變化曲線,發(fā)現(xiàn)更小的Biot 數(shù)或Prandtl 數(shù)以及滑移的邊界條件會(huì)使定常流的斑圖結(jié)構(gòu)更加豐富.Chen 等(1997) 研究了自由面不變形的圓柱形液橋中的熱毛細(xì)對(duì)流,通過解分岔方程計(jì)算了靜態(tài)分岔和Hopf 分岔,發(fā)現(xiàn)在不同Prandtl 數(shù)和高徑比下有不同的失穩(wěn)模式.Cliffe 和Tavener (1998) 數(shù)值研究了二維矩形腔中考慮自由面變形的Marangoni-B′enard 對(duì)流,發(fā)現(xiàn)多種不同類型的分岔現(xiàn)象,其中計(jì)算對(duì)稱破缺分岔點(diǎn)和轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)用了Werner 和Spence(1980,1984) 文章中的方法.

圖17

基于流動(dòng)宏觀量的時(shí)序數(shù)據(jù)的直接分析方法,比較繁瑣,且數(shù)據(jù)具有離散性,數(shù)據(jù)量大,導(dǎo)致得到的分岔圖具有一定的離散性和不完整; 分岔問題的數(shù)值算法是基于分岔理論,構(gòu)造系統(tǒng)的解及分岔點(diǎn)的代數(shù)方程,通過數(shù)值解法得到分支曲線及分岔點(diǎn),這種方法可以定位可能的分岔點(diǎn)的大致位置,避免了在大量時(shí)序數(shù)據(jù)中查找分岔點(diǎn)的盲目性,所計(jì)算出的分支包括穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解,較之直接數(shù)值模擬所得到的穩(wěn)定解更為全面,而且還可以得到不同分支之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)變關(guān)系的信息,是獲得較為完整的流動(dòng)形態(tài)及分岔圖的有力工具.但是,不同的流體體系有各自的物理機(jī)制,方程及其對(duì)應(yīng)的解可能有特殊的性質(zhì)(比如對(duì)稱性),在處理不同對(duì)流問題時(shí),需要根據(jù)具體條件,采取不同的變換或是簡(jiǎn)化、近似的手段來得到足夠準(zhǔn)確的數(shù)值結(jié)果,總之,對(duì)于一個(gè)新的體系建立一套合適的分岔計(jì)算方法的過程并不比分析時(shí)序數(shù)據(jù)來得簡(jiǎn)單.由此可見,分岔的數(shù)值算法在界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流上的應(yīng)用仍具有相當(dāng)?shù)纳钊胙芯靠臻g.

3 結(jié)論與展望

界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流是空間自然對(duì)流熱質(zhì)輸運(yùn)的基本形式,對(duì)其時(shí)空轉(zhuǎn)捩過程、轉(zhuǎn)捩機(jī)制、非線性特征及流動(dòng)向湍流轉(zhuǎn)捩途徑等基本規(guī)律的研究,一方面可以豐富非線性動(dòng)力學(xué)的相關(guān)理論,另一方面對(duì)于人類認(rèn)識(shí)、探索和利用空間環(huán)境也具有重要的應(yīng)用價(jià)值,是微重力流體物理的重要研究?jī)?nèi)容和學(xué)科前沿.本文對(duì)目前的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié),重點(diǎn)介紹了研究液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流的實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬方法,雖然已有的研究已經(jīng)得到在不同模型和工況下的各種轉(zhuǎn)捩模式,但是在轉(zhuǎn)捩規(guī)律上仍需要更深入的探索,可以從以下幾個(gè)方面著手:

(1)理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果的正確性需要由實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證,空間實(shí)驗(yàn)可以滿足微重力環(huán)境、長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)的要求,但是空間實(shí)驗(yàn)有一定難度且機(jī)會(huì)來之不易,故而可以考慮進(jìn)一步發(fā)展實(shí)驗(yàn)手段,以實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬中采用的更豐富的工況; 以及加強(qiáng)對(duì)實(shí)驗(yàn)條件的控制,以降低無關(guān)因素的干擾,提高實(shí)驗(yàn)精度.

(2) 目前關(guān)于液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流向湍流的超臨界轉(zhuǎn)捩在數(shù)值方法上主要有流動(dòng)時(shí)序數(shù)據(jù)的分析和分岔問題的數(shù)值算法.流動(dòng)宏觀量的時(shí)序數(shù)據(jù)來自實(shí)驗(yàn)結(jié)果或者直接數(shù)值模擬,對(duì)于后者,需要對(duì)于不同參數(shù)分別進(jìn)行數(shù)值模擬,再通過時(shí)間序列頻譜及其混沌特性的定量計(jì)算分析流動(dòng)轉(zhuǎn)捩規(guī)律,即在大量的離散的數(shù)據(jù)序列中尋找分岔點(diǎn),故此過程比較繁瑣.而通過構(gòu)造分岔方程對(duì)分岔進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的方法雖然可以一步到位,但是在選取分岔方程,解高維線性、非線性方程等過程中均需要根據(jù)具體的流動(dòng)模型進(jìn)行調(diào)整,具有一定難度,且對(duì)于更加復(fù)雜的流動(dòng)模式需要更大的計(jì)算量,用此算法也無法直接計(jì)算得到混沌解.上述兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn),目前在轉(zhuǎn)捩過程的數(shù)值研究中較為常用的仍是在不同參數(shù)下進(jìn)行直接數(shù)值模擬,而后對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析,識(shí)別分岔點(diǎn); 在直接對(duì)分岔進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的研究中,也常常需要通過直接數(shù)值模擬來驗(yàn)證分岔得到的解的可靠性與準(zhǔn)確性,在今后的研究中可考慮進(jìn)一步將兩種方法結(jié)合運(yùn)用,互相補(bǔ)充、驗(yàn)證.

(3) 液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流向湍流轉(zhuǎn)捩的過程中會(huì)產(chǎn)生豐富的流動(dòng)模式,轉(zhuǎn)捩過程除了與上文提到的液層模型、無量綱參數(shù)(Prandtl 數(shù)、高徑比、體積比等) 有關(guān),還受到熱邊界條件(如體系是否絕熱)、加熱方式及加熱速率等因素的影響; 此外,在具體的應(yīng)用場(chǎng)景中通常有多種流動(dòng)相互作用,考慮界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流與其他諸如浮力、電磁場(chǎng)、旋轉(zhuǎn)等效應(yīng)的耦合,對(duì)于重新檢視已發(fā)現(xiàn)的轉(zhuǎn)捩途徑以及尋找新的轉(zhuǎn)捩途徑均有一定的積極意義.

(4) 目前對(duì)于液層界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流向湍流轉(zhuǎn)捩的研究仍不夠完善,在對(duì)超臨界轉(zhuǎn)捩階段的實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬研究中觀察到了許多復(fù)雜的轉(zhuǎn)捩模式,但大多只是現(xiàn)象上的描述,并未總結(jié)出普遍的規(guī)律; 對(duì)于流動(dòng)最終能否通向混沌暫無普適的判據(jù),流動(dòng)通向混沌過程中出現(xiàn)的諸如陣發(fā)、鎖頻等特殊的現(xiàn)象也尚未有更本質(zhì)的機(jī)理上的解釋.總之,對(duì)于轉(zhuǎn)捩規(guī)律的深入理解,需要界面張力梯度驅(qū)動(dòng)對(duì)流這一非線性模型在理論上的進(jìn)一步發(fā)展,未來道阻且長(zhǎng).

致謝國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11972353,U1738116).