JohnW.M.Bush

麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系,馬薩諸塞州劍橋02139

1 引 言

流體力學(xué)和量子力學(xué)均致力于描述連續(xù)介質(zhì)中粒子和波的運(yùn)動(dòng),但是兩者所關(guān)心的尺度迥然相異.鑒于對(duì)流體系統(tǒng)的相對(duì)熟悉性和可達(dá)性,當(dāng)人們?cè)噲D理解量子力學(xué)的反?，F(xiàn)象時(shí),很自然的會(huì)與流體力學(xué)進(jìn)行類比.Newton (1979) 描述光子在乙醚中的跳躍就像石頭在池塘表面的跳躍.Young (1804) 通過與波紋水槽實(shí)驗(yàn)的類比證明光的波動(dòng)性.Berry 等 (1980) 研究了橫掃旋渦的平面波,作為 Aharomov–Bohm 效應(yīng)的流體力學(xué)比擬 (Coste 等 1999).最近對(duì)卡西米爾 (Casimir)效應(yīng)的流體力學(xué)比擬表明,法拉第波可以模擬真空波動(dòng)在相鄰物體間產(chǎn)生力的作用(Denardo et al.2009).流體和量子力學(xué)的理論在超流體(Donnelly 1993) 和玻色愛因斯坦凝聚態(tài)(Pitaevskii &Stringari 2003) 領(lǐng)域中匯合.在過去的十年里,第一個(gè)單粒子量子系統(tǒng)的流體動(dòng)力學(xué)比擬出現(xiàn)在Yves Couder 的巴黎實(shí)驗(yàn)室中.

當(dāng)毫米尺寸的液滴被放置于振蕩液槽上時(shí),他可與液體表面相互作用,在由其自身引發(fā)的液體表面波動(dòng)的引導(dǎo)下,以1 cm/s 的特征速度平穩(wěn)地穿行于液體表面(Couder et al.2005b,Protiere et al.2006) (圖1(c)).由此導(dǎo)致的行走液滴是液滴與波的空間延伸物(Eddi et al.2011b).憑借空間離域性,他們表現(xiàn)出一些以前被認(rèn)為是微觀量子領(lǐng)域所獨(dú)有的特征(Bush 2010).具體而言,行走液滴表現(xiàn)出類似于單粒子衍射(Couder & Fort 2006)、量子隧穿(Eddi et al.2009b)、量子化軌道(Fort et al.2010,Harris & Bush 2014a; Perrard et al.2014a,2014b)、軌道能級(jí)分裂(Eddi et al.2012,Oza et al.2014a) 和自旋態(tài) (Oza et al.2014a) 的行為.已經(jīng)觀察到在單粒子衍射 (Couder & Fort 2006)、受限體系中的運(yùn)動(dòng)(Harris et al.2013)、旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的軌道運(yùn)動(dòng)(Harris & Bush 2014a)、有心力下的軌道運(yùn)動(dòng)(Perrard et al.2014a,2014b)中出現(xiàn)相干的多模態(tài)統(tǒng)計(jì).第二節(jié)回顧行走液滴系統(tǒng)的基礎(chǔ)力學(xué)和類量子特性.合理描述行走液滴動(dòng)力學(xué)的理論模型則在第三節(jié)中進(jìn)行綜述.

第四節(jié)探討了流體系統(tǒng)與量子系統(tǒng)的現(xiàn)實(shí)主義描述之間的關(guān)系,其中大多數(shù)都根植于量子力學(xué)的流體力學(xué)表達(dá)(Madelung 1926).行走液滴系統(tǒng)與相對(duì)論量子動(dòng)力學(xué)的早期概念,即德布羅意(Louis de Broglie 1926,1930,1956,1987) 的雙解導(dǎo)航波理論,具有顯著的相似性.根據(jù)這一理論,微觀粒子在與其自身波場(chǎng)共振的情況下運(yùn)動(dòng).德布羅意的力學(xué)通過隨機(jī)電動(dòng)力學(xué)(SED)研究者的擴(kuò)展(Kracklauer 1992,de la Pena & Cetto 1996,Haisch & Rueda 2000) 也得以提及,并討論了他們與行走液滴系統(tǒng)的關(guān)系.雖然這篇綜述是以流動(dòng)力學(xué)家的角度和語言來寫的,但我希望他能激發(fā)流體力學(xué)界及其他領(lǐng)域的工作者重新審視和評(píng)估現(xiàn)實(shí)主義量子理論的興趣.

2 行走的液滴

當(dāng)毫米尺度的液滴懸浮在振蕩液槽表面時(shí)會(huì)出現(xiàn)有趣的現(xiàn)象(Walker 1978) (圖1),要理解這一現(xiàn)象需要熟悉非聚結(jié)現(xiàn)象(Neitzel & Dell’Aversana 2002) 和法拉第波(Miles & Henderson 1990).

2.1 法拉第懸浮

不經(jīng)意的觀察表明水滴可能會(huì)跳躍穿過水面(Jayaratne & Mason 1964).如果碰撞時(shí)間小于排擠液滴和液槽間的空氣層至范德華力引發(fā)聚結(jié)厚度所花費(fèi)的時(shí)間,則液滴就會(huì)反彈.盡管臨界厚度通常取決于液相和氣相的性質(zhì)以及系統(tǒng)清潔度,但通常約為100 nm (Couder et al.2005a;Terwagne et al.2007,2009).在回彈的情況下,空氣層在液滴和液槽之間傳遞潤(rùn)滑應(yīng)力(Reynolds 1886),從而導(dǎo)致液滴變形、減速和反轉(zhuǎn)(Gilet et al.2007,Gilet & Bush 2012).

圖1

考慮一種密度為ρ、運(yùn)動(dòng)黏度為υ、表面張力為σ的液體,在高度為H的水槽中被振幅為A0及頻率為f=ω/(2π)的垂直振動(dòng)所驅(qū)動(dòng).在液槽參考系中有效重力為g+γsinωt,其中g(shù)為重力加速度,γ=A0ω2.液體在較小的γ下保持靜止;然而當(dāng)γ超過法拉第波閾值γF時(shí),液層變?yōu)椴环€(wěn)定的法拉第波場(chǎng)(Faraday 1831) (圖1(a)).所引發(fā)的波的頻率為驅(qū)動(dòng)頻率一半的整數(shù)倍(Benjamin &Ursell 1954).盡管高次諧波有可能被激發(fā),但對(duì)于行走液滴系統(tǒng)中所使用的硅油,最不穩(wěn)定的波為分諧波,其頻率為外加驅(qū)動(dòng)頻率的一半(Benjamin & Ursell 1954),ωF=ω/2 (Douady 1990,Edwards& Fauve 1994,Kumar & Tuckerman 1994,Kumar 1996).因此,當(dāng)振動(dòng)頻率由小到大通過γF時(shí)首先出現(xiàn)分諧波,其波長(zhǎng)λF=2π/kF滿足水波色散關(guān)系ω2F=(gkF+σk3F/ρ)tanhkFH.實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括一個(gè)受到垂直振蕩 (f ≈20～150 Hz,A0≈0.1～1 mm) 的硅油池 (ν ≈1～10 cS,H ≈4～10 mm),該振蕩可產(chǎn)生振動(dòng)加速度γ5 g 及波長(zhǎng)λF≈3～10 mm.當(dāng)f80 Hz 和H7 mm,法拉第波實(shí)際上為滿足色散關(guān)系ω2F=σk3F/ρ的深水毛細(xì)波.

行走液滴實(shí)驗(yàn)在γ <γF下開展,因此在沒有液滴的情況下液體表面將保持平靜狀態(tài); 然而法拉第力是至關(guān)重要的.首先,他為系統(tǒng)提供動(dòng)力,為液滴運(yùn)動(dòng)及產(chǎn)生的波場(chǎng)提供能量; 其次,他為液槽預(yù)先準(zhǔn)備了一個(gè)單頻波場(chǎng).Eddi 等(2011b) 利用自由表面合成紋影技術(shù)表征了粒子撞擊振動(dòng)液槽(γ <γF) 產(chǎn)生的波場(chǎng)形式(Moisy et al.2009).碰撞后,瞬態(tài)波以約6 cm/s 的速度離開撞擊點(diǎn)向外傳播,尾跡中有一個(gè)法拉第駐波場(chǎng),他的存在時(shí)間取決于振動(dòng)頻率與法拉第閾值的接近程度.行走液滴的演示可以簡(jiǎn)化為將培養(yǎng)皿粘合在揚(yáng)聲器的低音喇叭上.用牙簽破壞液體界面產(chǎn)生所需尺寸(直徑D ≈0.6～1.0 mm) 的液滴,然后用閃光燈照明進(jìn)行充分展示.

精細(xì)的實(shí)驗(yàn)需要仔細(xì)地調(diào)平和控制振動(dòng)力(Goldman 2002,Harris & Bush 2014b).任何水平變化、非均勻振動(dòng)或虛假共振都會(huì)導(dǎo)致法拉第閾值的空間依賴性.步行系統(tǒng)的動(dòng)力和統(tǒng)計(jì)特性對(duì)所有系統(tǒng)參數(shù)、液滴大小、流體性質(zhì)以及作用力都高度敏感; 因此,可重復(fù)的實(shí)驗(yàn)需要同時(shí)控制和記錄每一個(gè)參數(shù).對(duì)于行走液滴系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的研究通常在略低于法拉第閾值的情況下進(jìn)行(Couder & Fort 2006; Harris et al.2013; Harris & Bush 2014a; Perrard et al.2014a,2014b).因此,實(shí)驗(yàn)的持續(xù)時(shí)間受到實(shí)驗(yàn)室溫度恒定性的制約,溫度變化通過與之同時(shí)發(fā)生的黏度變化改變法拉第閾值(Bechhoeffer et al.1995).液槽應(yīng)加蓋固定的蓋子來消除氣流,氣流的特征表現(xiàn)為彎曲而非筆直的液滴軌跡.收集可靠統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的另一個(gè)問題是液滴的壽命(Terwagne et al.2007).即使在受控環(huán)境中也會(huì)發(fā)生不規(guī)則的聚結(jié)事件,時(shí)間大約為一小時(shí),這可能是由于雜質(zhì)在液槽中沉淀所致.這種中斷清楚地表明了按需生成相同液滴機(jī)制的價(jià)值(Yang et al.1997,Terwagne 2012).

圖2

Couder 的課題組針對(duì)液滴直徑為D=2a、無量綱驅(qū)動(dòng)加速度為γ/g(Proti`ere et al.2005)、黏度 – 頻率組合為 50 cS～50 Hz (Proti`ere et al.2006) 及 20 cS～80 Hz (Eddi et al.2008) 表征液滴的彈跳行為.Mol′aˇcek 和 Bush (2013a,2013b) 和 Wind-Willassen 等 (2013) 推廣了這些研究以指導(dǎo)他們的理論發(fā)展.他們引入了振動(dòng)數(shù)即激勵(lì)頻率與液滴固有振蕩頻率的相對(duì)大小,在Vi? γ/g平面內(nèi)表征了不同黏性 – 頻率組合下的液滴行為.圖2 綜合了 20 cS～80 Hz 組合下的結(jié)果,顯示了最廣泛的行走模式.圖中顯示出了該系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵特性: 當(dāng)Vi≈0.65 時(shí),液滴在其固有頻率下更容易彈跳或行走.不同的彈跳狀態(tài)用(m,n) 表示,其中m/f表示彈跳模式的周期,在此期間液滴接觸自由表面n次.

當(dāng)γ小于彈跳閾值時(shí),液滴會(huì)與槽中液體融合.而稍大于閾值時(shí),彈跳以(1,1) 模態(tài)發(fā)生: 每個(gè)驅(qū)動(dòng)周期液滴碰撞液槽一次.提高加速度會(huì)導(dǎo)致(2,2) 彈跳模態(tài),在這種情況下液滴重復(fù)兩次彈跳,但跳躍的高度不同.對(duì)于相對(duì)較小和較大的液滴,可能會(huì)出現(xiàn)倍周期級(jí)聯(lián),最終導(dǎo)致混亂的跳躍或行走.對(duì)于液滴在有限尺寸范圍內(nèi),通常為0.6 mm

圖3

2.2 新古典行為

行走液滴系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵特性是路徑記憶(Edd et al.2011b).行走液滴在撞擊液面時(shí)受到的側(cè)向力取決于界面的局部?jī)A斜度(Proti`ere et al.2006),而界面的狀態(tài)取決于先前的撞擊(Eddi et al.2011b).在低記憶極限下,波浪很快被耗散掉,液滴只能感覺到最近撞擊產(chǎn)生的波浪.在高記憶下,波浪相對(duì)持久,液滴的軌跡取決于他遙遠(yuǎn)的過去.雖然此物理圖景由第3 節(jié)中描述的理論發(fā)展得以量化,但現(xiàn)在可以說,行走液滴的類量子特征在高記憶下出現(xiàn),就像接近法拉第閾值時(shí)出現(xiàn)的現(xiàn)象.

2.2.1 單粒子衍射

Couder 和Fort(2006)通過對(duì)行走液滴狹縫衍射的研究為其類量子行為提供了第一個(gè)證據(jù).在他們的單縫研究中,行走液滴被逐個(gè)引導(dǎo)至障礙物的縫隙處(圖3).當(dāng)液滴通過狹縫時(shí),由于導(dǎo)航波場(chǎng)和障礙物的相互作用,他們偏離了原來的路徑.他們將125 個(gè)液滴引導(dǎo)至在垂直入射時(shí)具有均勻空間密度的狹縫,提供了入射平面波的最佳近似值.行走液滴的衍射由遠(yuǎn)場(chǎng)偏轉(zhuǎn)角α來量化.α的直方圖呈波浪狀,有三個(gè)峰值,與所預(yù)期的波長(zhǎng)為λF的單頻波干涉振幅大致一致(圖3(b)).他們的模擬得到了定性相似的分布.這個(gè)系統(tǒng)代表了Taylor (1909) 博士論文中單光子衍射實(shí)驗(yàn)的流體力學(xué)比擬.

Couder 和 Fort (2006) 第二項(xiàng)研究探究了光子或電子雙縫實(shí)驗(yàn)的流體力學(xué)比擬 (Davisson &Germer 1927,Bach et al.2013),其不可測(cè)性被廣泛接受(Feynman et al.1964).α的波型直方圖,與波長(zhǎng)為λF的單頻波經(jīng)雙縫衍射后的振幅基本一致.我們建議如下機(jī)制.當(dāng)行走液滴通過某一個(gè)狹縫時(shí),其導(dǎo)航波同時(shí)通過兩個(gè)狹縫.因此,液滴通過導(dǎo)航波有效地感知第二條狹縫.通過比較導(dǎo)航波的衰減時(shí)間和液滴的平移時(shí)間可以很容易地檢驗(yàn)這種依賴于行走液滴空間離域性的相互作用的可行性.

Couder 和Fort (2006) 指出,如果不能直接觀察行走液滴,可以借助導(dǎo)航波的衍射推斷位置和動(dòng)量的不確定性原理.因此,如果觀察者不能確定交叉點(diǎn),他(她) 將無法預(yù)測(cè)液滴的最終軌跡,從而導(dǎo)致動(dòng)量的不確定性.如果不能解析液滴的彈跳相位,特別是當(dāng)液滴與液槽接觸和自由飛行時(shí),可能會(huì)推斷出另一個(gè)不確定性.考慮到行走液滴穿過狹縫時(shí)與波場(chǎng)的復(fù)雜相互作用,人們期望他的路徑取決于反彈相位.α對(duì)交叉點(diǎn)的明顯無關(guān)性表明了這種依賴性.Couder 和Fort (2006) 的實(shí)驗(yàn)表明狹縫內(nèi)的導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)足夠復(fù)雜,乃至是混沌的,偏轉(zhuǎn)角α對(duì)交叉點(diǎn)和反彈相位都很敏感.

2.2.2 隧穿

Eddi 等(2009b) 研究了行走液滴與由薄流體層覆蓋的勢(shì)壘的相互作用.導(dǎo)航波場(chǎng)入射到勢(shì)壘上會(huì)產(chǎn)生部分反射和穿過勢(shì)壘衰減的倏逝尾波.反射波通常會(huì)引起接近勢(shì)壘的液滴的反射; 但是,液滴與波障的相互作用偶爾會(huì)允許液滴穿過隧道.隧穿概率隨勢(shì)壘寬度呈現(xiàn)指數(shù)下降,但隨著γ接近法拉第閾值而逐漸增大.再次強(qiáng)調(diào),類量子行為(Gamow 1928) 源于導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué),不可預(yù)測(cè)性的根源在于液滴與其空間擴(kuò)展導(dǎo)航波的復(fù)雜相互作用.

2.2.3 受限幾何中的運(yùn)動(dòng)

第二種實(shí)驗(yàn)安排是針對(duì)受限幾何 (特別是圓形腔) 中的行走液滴,研究表明具有一致的相干統(tǒng)計(jì)行為 (Harris & Bush 2013,Harris et al.2013) (見補(bǔ)充視頻 1; 可搜索《流體力學(xué)年鑒》主頁http://www.annualreviews.org上的補(bǔ)充材料鏈接).在低記憶情形,行走液滴會(huì)在圓腔內(nèi)繞圈循環(huán).當(dāng)路徑記憶增大時(shí),逐漸出現(xiàn)復(fù)雜的軌道: 擺動(dòng)的圓形軌道、漂移的橢圓軌道或周轉(zhuǎn)圓.在非常高的記憶下,由于邊界反射引起的波場(chǎng)的復(fù)雜性,軌跡變得復(fù)雜并且可能是混沌的(圖4(a)).

圖4(b)中所示的直方圖表明在這種混沌的導(dǎo)航波動(dòng)中出現(xiàn)了一致的統(tǒng)計(jì)行為.行走液滴在腔中的特定位置出現(xiàn)的概率大致由腔內(nèi)預(yù)置激勵(lì)頻率產(chǎn)生法拉第波模態(tài)的振幅所決定.與單粒子衍射(Couder & Fort 2006) 的情況一樣,直方圖中的波長(zhǎng)與導(dǎo)航波大致相同,但其形式由系統(tǒng)幾何形狀決定.由于腔已調(diào)整為適合單個(gè)法拉第模態(tài),因此除了導(dǎo)航波波長(zhǎng)λF和腔的幾何形狀之外,在不了解任何動(dòng)力學(xué)的情況下可以預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)信息.因此,觀察到的統(tǒng)計(jì)行為大致類似于量子圍欄實(shí)驗(yàn)(Crommie et al.1993a,1993b),量子圍欄實(shí)驗(yàn)表明在銅基底上捕獲的電子密度是具有德布羅意波長(zhǎng)λdB的波狀圖案,其形式由腔形狀所規(guī)定(Fiete & Heller 2003).

2.2.4 旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)

在繞垂直軸以角頻率?旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系下,在水平方向上以速度u0勻速運(yùn)動(dòng)的物體執(zhí)行半徑為ri=u0/2?的慣性軌道,此時(shí)慣性力mu20/ri由科氏力2m?u0所平衡.Fort 等 (2010) 研究了旋轉(zhuǎn)振動(dòng)液槽上的行走液滴,表征了軌道半徑r0對(duì)?的依賴關(guān)系.在低記憶區(qū),行走液滴的軌道半徑隨旋轉(zhuǎn)速率單調(diào)減小,滿足關(guān)系式r0=c0ri,其中c0≈1.3 是一個(gè)擬合參數(shù).在高記憶區(qū),r0不再隨著?連續(xù)變化: 相反,某些軌道半徑是被禁止的.然后,軌道的量子化通過行走液滴與其自身尾跡的相互作用而出現(xiàn)(圖5).

圖5

圖6

由于作用在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中質(zhì)量m上的科氏力2m˙xp×?等同于與勻強(qiáng)電場(chǎng)B中作用于電荷q上的洛倫茲力q˙xp×B(Weinstein & Pounder 1945),Fort 等(2010)提出了行走液滴量子化慣性軌道與電子朗道能級(jí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在高記憶區(qū),軌道半徑大致以法拉第波長(zhǎng)量子化,就像朗道能級(jí)是在德布羅意(de Broglie) 波長(zhǎng)上量子化一樣.Eddi 等(2012) 通過研究旋轉(zhuǎn)對(duì)一對(duì)繞行液滴的影響進(jìn)一步探究了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.他們發(fā)現(xiàn),軌道半徑增加或減小取決于這對(duì)液滴相對(duì)于液槽的旋轉(zhuǎn)方向是相同還是相反,這與原子能級(jí)的塞曼分裂類似.

Harris 和Bush (2014a) 再次討論了旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),他們證明了軌道量子化僅在有限的激勵(lì)加速度范圍內(nèi)出現(xiàn).他們?cè)敿?xì)描述了軌道量子化的出現(xiàn)(圖5) 以及在高記憶下相對(duì)豐富的行為.隨著記憶的逐漸增加,軌道狀態(tài)變得不穩(wěn)定,先是讓位于擺動(dòng)軌道運(yùn)動(dòng),然后是更復(fù)雜的周期性或非周期性軌道.在高記憶極限下,隨著行走液滴在不穩(wěn)定軌道之間的漂移,出現(xiàn)了不規(guī)則的混沌軌跡(圖6).軌道曲率半徑直方圖的特征為多模態(tài)形式,峰值對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定軌道的半徑,這表明他們具有持久的動(dòng)力學(xué)影響.

2.2.5 中心力作用下的運(yùn)動(dòng)

Couder 的團(tuán)隊(duì)成功地用硅油封裝了鐵磁流體.所得的雙組分液滴可以像同類液滴一樣行走.通過施加具有徑向梯度的垂直磁場(chǎng),Perrard 等(2014a,2014b) 研究了由諧波勢(shì)引起的中心力場(chǎng)中的行走液滴動(dòng)力學(xué).除了圓形軌道,還出現(xiàn)了更復(fù)雜的軌道狀態(tài),包括橢圓形、雙紐線形和三葉草形,所有這些都可能是固定的或方位進(jìn)動(dòng)的.他們用平均半徑ˉR和角動(dòng)量ˉLz描述了由此產(chǎn)生的復(fù)雜軌道族(圖7).結(jié)果表明導(dǎo)航波場(chǎng)對(duì)行走液滴施加的動(dòng)態(tài)約束使其軌道狀態(tài)在平均能量和角動(dòng)量上具有雙重量子化.

圖7

Perrard 等(2014b)根據(jù)能量分布提出了量子軌道態(tài)(或本征態(tài))的理論基礎(chǔ),尤其是軌道行走液滴產(chǎn)生的波場(chǎng)(見M.Labousse,S.Perrard,Y.Couder & E.Fort,論文已投稿).當(dāng)行走液滴未進(jìn)入到一個(gè)純本征態(tài)時(shí),會(huì)在相鄰的本征態(tài)之間振蕩,例如橢圓形和雙紐線形.因此,就如旋轉(zhuǎn)行走液滴系統(tǒng)中的情況一樣(Harris & Bush 2014a),高記憶極限下出現(xiàn)了復(fù)雜的軌跡: 行走液滴在系統(tǒng)的不穩(wěn)定本征狀態(tài)之間漂移,導(dǎo)致多模態(tài)統(tǒng)計(jì)(Perrard et al.2014a).

2.2.6 束縛態(tài)和其他反常現(xiàn)象

成對(duì)的反彈液滴可以通過波場(chǎng)相互作用形成束縛態(tài)(Proti`ere et al.2005).同樣的,晶狀結(jié)構(gòu)可以由幾乎相同的彈跳液滴聚集形成(圖1(d)).Lieber 等(2007) 報(bào)道了穩(wěn)定和自發(fā)旋轉(zhuǎn)的晶格.Eddi 等(2009a)通過一排彈跳液滴實(shí)現(xiàn)了11 個(gè)阿基米德平面平鋪中的8 個(gè),并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了研究(Eddi et al.2011a).對(duì)于不同大小的彈跳液滴對(duì),產(chǎn)生波場(chǎng)的不對(duì)稱性可導(dǎo)致自推進(jìn)的棘輪狀態(tài)(Eddi et al.2008).動(dòng)態(tài)束縛態(tài)也可能來自行走液滴的相互作用,其形態(tài)取決于液滴的大小和彈跳的相位(Proti`ere et al.2005).Proti`ere 等(2008) 探索了由不同尺寸行走液滴相互作用而產(chǎn)生的反常軌道.相同的液滴對(duì)可以分散、鎖定在軌道上,或者在漫步模式下并排移動(dòng),在此情況下他們之間的距離呈周期性波動(dòng)(C.Borghesi,J.Moukhtar,M.Labousse,A.Eddi,Y.Couder & E.Fort,已投稿文章).

Gilet 等 (2008) 和 Dorbolo 等 (2008) 研究了相對(duì)較大的油滴 (D ≈1.5 mm,ν <100 cS) 在高黏度液槽(ν=1000 cS) 上的彈跳; 推導(dǎo)了懸浮判據(jù),并激發(fā)了液滴振動(dòng)的非軸對(duì)稱模態(tài),從而通過翻滾導(dǎo)致推進(jìn); 還探索了更復(fù)雜的流體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).Terwagne 等(2010) 研究了兩相液滴的彈跳,闡明了乳化的標(biāo)準(zhǔn).Gier 等(2012) 研究了聚合物液滴的懸浮.Pucci 等(2011,2013) 研究了酒精的浮動(dòng)晶狀體在相對(duì)黏稠的振動(dòng)油槽上的動(dòng)力學(xué).當(dāng)晶狀體對(duì)法拉第波變得不穩(wěn)定時(shí),所產(chǎn)生的輻射壓力可能會(huì)使晶狀體變形,從而導(dǎo)致引人注目的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)形式.

3 理論發(fā)展: 暴露變量理論

流體力學(xué)導(dǎo)航波系統(tǒng)的魅力在于其可達(dá)性: 行走液滴的所有特征(包括液滴及其導(dǎo)航波場(chǎng))都是可見的.這并不是意味著該系統(tǒng)是可以被簡(jiǎn)單描述的: 行走液滴系統(tǒng)非常微妙,其動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)特性強(qiáng)烈依賴于所有的系統(tǒng)參數(shù).

3.1 彈跳力學(xué)

大量的研究工作致力于高雷諾數(shù)(Re=Ua/ν) 下毫米液滴對(duì)固體的影響,在小邦德數(shù)Bo=ρga2/σ下,表面張力與重力相比占主導(dǎo)作用,因此液滴會(huì)保持近似球形,除非受到?jīng)_擊產(chǎn)生形變.對(duì)于低韋伯?dāng)?shù)撞擊,We=ρU2a3/σ ?1,變形很弱,跌落行為大致類似于線性彈簧,其彈簧常數(shù)與σ成比例(Okumura et al.2003).在撞擊過程中,動(dòng)能轉(zhuǎn)化為表面能,然后又轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,當(dāng)Re ?1時(shí)轉(zhuǎn)化時(shí)只有很小的黏性損失.Mol′aˇcek 和 Bush (2012) 證明對(duì)于行走液滴的參數(shù)狀態(tài) (Re ≈20,Bo ≈0.1,We ≈0.1),對(duì)剛性基底撞擊產(chǎn)生的變形可用準(zhǔn)靜態(tài)形式族來描述,而碰撞動(dòng)力學(xué)可用對(duì)數(shù)彈簧來描述.

行走液滴系統(tǒng)是毫米量級(jí)的,在撞擊液槽時(shí)施加給他們的主要作用力與曲率有關(guān),而非與靜水壓力相關(guān).因此,沖擊的主要物理現(xiàn)象是通過考慮液滴對(duì)肥皂膜的影響來獲得的; Gilet 和Bush(2009a,2009b) 檢驗(yàn)了這一構(gòu)型,證明肥皂膜像線性彈簧一樣作用在液滴上,其彈簧常數(shù)與σ成正比.他們對(duì)振動(dòng)膜上液滴的研究揭示許多復(fù)雜的彈跳狀態(tài),并使之合理化.液槽慣性的影響使得液滴對(duì)振動(dòng)液槽的沖擊變得復(fù)雜(Prosperetti & Oguz 1993).

為了描述彈跳液滴對(duì)振動(dòng)液槽的影響,Mol′aˇcek 和Bush(2013a,2013b)在液滴撞擊剛性基底模型的基礎(chǔ)上(Mol′aˇcek & Bush 2012),發(fā)展了考慮液體形變的復(fù)雜度遞增的系列模型.對(duì)數(shù)彈簧模型再次出現(xiàn),他們的模型包含了恢復(fù)系數(shù)CR和接觸時(shí)間TC對(duì)We的測(cè)量對(duì)數(shù)依賴性.雖然是半經(jīng)驗(yàn)的,但得到的模型沒有自由參數(shù).該模型正確預(yù)測(cè)了彈跳閾值,以及更高能量彈跳狀態(tài)之間的閾值(圖2).彈跳液滴必須滿足共振條件.簡(jiǎn)而言之,對(duì)于(1,1)型彈跳,撞擊時(shí)間加上飛行時(shí)間必須等于法拉第周期.隨著γ逐漸增加,沖擊的相位會(huì)連續(xù)變化,直到液滴不改變彈跳模態(tài)便無法滿足共振條件為止.對(duì)于低能量彈跳狀態(tài)的描述,假設(shè)界面在下一次撞擊之前恢復(fù)為水平狀態(tài)便足夠了.對(duì)于更劇烈的彈跳和行走狀態(tài)的建模需要考慮波場(chǎng).

Mol′aˇcek 和Bush (2013b) 計(jì)算了小液滴參數(shù)區(qū)域產(chǎn)生的波場(chǎng)形式.由于在倍周期彈跳狀態(tài)下液滴降落在波峰處,可能會(huì)失穩(wěn)而進(jìn)入行走狀態(tài).對(duì)由此產(chǎn)生的水平運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模需要切向恢復(fù)系數(shù)CT對(duì)We的依賴性,這也是經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)的結(jié)果.所得模型成功解釋了觀察到的行走閾值(圖2),以及行走速度對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的依賴性(Mol′aˇcek & Bush 2013b).他們的研究強(qiáng)調(diào)了撞擊相位對(duì)于行走液滴動(dòng)力學(xué)的微妙作用: 隨著激勵(lì)加速度逐漸增加,碰撞相位發(fā)生變化,液滴可能從一種行走模式切換到另一種行走模式.

Terwagne 等(2013) 針對(duì)液滴在液槽上彈跳問題開發(fā)了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的質(zhì)量– 彈簧– 緩沖器模型.基于 Mol′aˇcek 和 Bush (2013a,2013b) 的模型,Wind-Willassen 等 (2013) 提出了迄今為止最為完整的研究.報(bào)告了新的復(fù)雜彈跳模式和行走區(qū)域內(nèi)的不同步態(tài),并給出了合理的解釋(圖2).現(xiàn)在我們已經(jīng)能夠很好地表征和理解行走參數(shù)范圍內(nèi)振蕩液槽上的液滴動(dòng)力學(xué).現(xiàn)有的狀態(tài)圖譜為標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試新的實(shí)驗(yàn)研究提供了寶貴的資源.

3.2 軌跡方程

Proti`ere 等(2006) 首次提出了行走液滴的理論模型.該模型抓住了這個(gè)問題的基本物理原理,具體來說,液滴的推進(jìn)是通過與以水滴為中心的單頻波場(chǎng)共振作用實(shí)現(xiàn)的,而每次撞擊都會(huì)產(chǎn)生這種共振波場(chǎng).該模型再現(xiàn)了液滴行為的幾個(gè)定性特征,包括從彈跳到行走的分岔以及行走速度隨強(qiáng)迫加速而增加的現(xiàn)象.然而,該模型只包含了最近一次撞擊的波場(chǎng).類似的低記憶近似方法也被用于圓形腔體中行走液滴的模擬(Shirikoff 2013).Emmanuel Fort 的數(shù)值模型中考慮了可變記憶,使得該模型可獲得行走液滴系統(tǒng)的許多特征,包括單粒子衍射(Couder & Fort 2006)、量子化軌道(Fort et al.2010) 和雙量子化軌道(Perrard et al.2014a,2014b).該模型為闡明記憶在行走液滴系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的關(guān)鍵作用提供了一個(gè)有價(jià)值的探索工具; 然而,他無法捕獲到系統(tǒng)對(duì)流體參數(shù)的詳細(xì)依賴關(guān)系.

Mol′aˇcek 和Bush (2013b)發(fā)展了一個(gè)與流體力學(xué)相容的運(yùn)動(dòng)方程,用來描述位于xp(t)處質(zhì)量為m的液滴在波場(chǎng)h(xp,t) 下的共振行走.通過對(duì)周期彈跳取時(shí)間平均可以消去垂直方向的運(yùn)動(dòng),從而推導(dǎo)出以下軌跡方程

其中,第二項(xiàng)表示飛行和撞擊產(chǎn)生的時(shí)間平均的阻力,D為依賴于系統(tǒng)參數(shù)的阻力系數(shù)(Mol′aˇcek&Bush 2013b).第三項(xiàng)是傾斜液面對(duì)落在其上的液滴產(chǎn)生的波浪力.由于h(xp,t)依賴于液滴的歷程,因此波浪力亦是如此.單次撞擊產(chǎn)生的表面波可以近似為第一類單頻徑向貝塞爾函數(shù)J0(kFr)(Eddi et al.2011b,Mol′aˇcek & Bush 2013a,Oza et al.2013),因此該時(shí)間平均模型需要所有先前彈跳產(chǎn)生的界面高度,即

無量綱的記憶參數(shù)M=Td/[TF(1?γ/γF)] 取決于法拉第周期TF、非強(qiáng)迫波的衰減時(shí)間Td及其與法拉第閾值的接近程度γF(Eddi et al.2011b).波幅值A(chǔ)同樣依賴于系統(tǒng)參數(shù),包括撞擊相位(Mol′aˇcek & Bush 2013b).當(dāng)波相對(duì)持久時(shí),在高記憶區(qū) (即當(dāng)γ →γF),波浪力變得越來越重要.

對(duì)于離散求和形式的波場(chǎng)(方程(2)),很難對(duì)方程(1)所示的軌跡方程進(jìn)行分析.Oza 等(2013)證明,由于垂直方向的運(yùn)動(dòng)相對(duì)于水平方向變化更快,因此可以通過積分來近似求和.由此得到頻閃近似下的無量綱軌跡方程

該公式包含 2 個(gè)無量綱參數(shù).第 1 個(gè)無量綱數(shù)Γ= (γ ?γW)/(γF?γW) 表明力的活力,即與行走態(tài)閾值(Γ=0)和法拉第閾值(Γ=1)的相對(duì)距離.第2 個(gè)無量綱數(shù)包含方程1 和2 中所有的流體參數(shù).動(dòng)力學(xué)的非局部形式是顯而易見的: 作用在行走液滴上的波浪力是其過去歷程的函數(shù),具體指沿著他的路徑產(chǎn)生的法拉第波場(chǎng).

方程(3) 中所示的軌跡方程式描述了當(dāng)系統(tǒng)在ωF處頻閃時(shí),跳躍液滴被其導(dǎo)航波場(chǎng)連續(xù)推動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為(Harris&Bush 2013)(見補(bǔ)充視頻1).由于忽略了垂直方向運(yùn)動(dòng)和撞擊相位,因此相對(duì)而言比較容易分析.Oza 等(2013)證明,在達(dá)到行走閾值γF之前平穩(wěn)的跳躍狀態(tài)˙xp=0 是穩(wěn)定的,超過閾值后出現(xiàn)平穩(wěn)的行走態(tài)解.模型對(duì)行走閾值γw和行走滴液速度對(duì)γ(γ >γw)的依賴性的理論預(yù)測(cè)足以描述現(xiàn)有數(shù)據(jù).此頻閃模型中唯一的擬合參數(shù)是撞擊相位,其合理界限可以從實(shí)驗(yàn)中得到 (Mol′aˇcek & Bush 2013b).

式(3) 中所示的軌跡方程也可以幫助我們深入理解行走狀態(tài)的穩(wěn)定性,考慮到液滴騎乘在其波場(chǎng)的波峰上,其魯棒性并不明顯.線性穩(wěn)定性分析表明,行走液滴系統(tǒng)對(duì)于共線攝動(dòng)是穩(wěn)定的,但對(duì)橫向攝動(dòng)是中性穩(wěn)定的: 若直線運(yùn)動(dòng)受到橫向擾動(dòng),液滴將簡(jiǎn)單地改變路線并朝著新的方向前進(jìn)(Oza et al.2013).這一結(jié)果與行走液滴的活潑性、路徑對(duì)于擾動(dòng)的敏感性,以及液滴在復(fù)雜幾何(包含圓形腔和狹縫) 中明顯的混沌運(yùn)動(dòng)是一致的.

3.3 軌道動(dòng)力學(xué)

Oza 等 (2013) 的頻閃模型也可用來評(píng)估旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中量子化軌道的穩(wěn)定性 (Fort et al.2010,Harris&Bush 2014a).為了描述此問題,方程(3)所示的軌跡方程引入科氏力進(jìn)行擴(kuò)充.他們尋找具有恒定半徑r0和頻率ω0的圓形軌道解,并評(píng)估其線性穩(wěn)定性(Oza et al.2014a).對(duì)于3 個(gè)記憶值,圖5 揭示了軌道半徑對(duì)旋轉(zhuǎn)速率的預(yù)測(cè)依賴性.沿著解曲線所預(yù)測(cè)的軌道穩(wěn)定性由其顏色表征.在低記憶區(qū) (圖5(a)),所有的圓形軌道都是穩(wěn)定的,且軌道半徑隨?單調(diào)遞減.在中間記憶區(qū)(圖5(b)) 會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不穩(wěn)定的解分支,對(duì)應(yīng)于不被允許的半徑,即軌道量子化的起點(diǎn).在高記憶區(qū)(圖5(c)),解曲線具有線性穩(wěn)定、線性不穩(wěn)定和線性不穩(wěn)定振蕩三種分支.

軌跡方程的數(shù)值模擬揭示了行走液滴在線性不穩(wěn)定區(qū)域中的行為(Oza et al.2014b).圖8 總結(jié)了軌道運(yùn)動(dòng)對(duì)γ/γF和初始軌道半徑r0的依賴關(guān)系.隨著γ/γF的逐漸增加,穩(wěn)定的圓形軌道通常被具有靜止和平移的軌道中心的擺動(dòng)軌道所取代.在高記憶極限下,除了最小的軌道外,所有的軌道都變得不穩(wěn)定,從而產(chǎn)生混沌軌道.雖然軌跡是不規(guī)則的,但他們顯示出相干統(tǒng)計(jì)特性.在Harris 和Bush (2014a) 的實(shí)驗(yàn)中(圖6),行走液滴有沿曲率半徑對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定軌道態(tài)的圓弧運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì); 因此,曲率半徑的直方圖在這些半徑處顯示出峰值,其數(shù)量和相對(duì)大小取決于系統(tǒng)記憶.由于不穩(wěn)定軌道狀態(tài)的持續(xù)動(dòng)力學(xué)影響,出現(xiàn)了相干多模態(tài)統(tǒng)計(jì)量.這些最新研究闡明了軌道導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)中兩個(gè)關(guān)鍵的類量子行為的起源: 量子化和多模態(tài)統(tǒng)計(jì)(Fort et al.2010; Harris&Bush 2014a; Oza et al.2014a,2014b; Perrard et al.2014a,2014b; M.Labousse,S.Perrard,Y.Couder & E.Fort,已投稿).

Oza 等(2014a) 的分析揭示了旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的另一個(gè)有趣的特征—— 流體動(dòng)力自旋態(tài)的可能性.隨著記憶的增加,解曲線與?=0 軸相交(圖5(c)),表明即使在沒有旋轉(zhuǎn)的情況下也存在軌道解.行進(jìn)液滴產(chǎn)生的波浪力足以平衡徑向慣性力并借此維持圓周運(yùn)動(dòng),這一物理圖像令人回想起經(jīng)典的電子模型 (Schrodinger 1930,Burinskii 2008).在施加旋轉(zhuǎn)時(shí),如 Eddi 等 (2012) 的雙液滴軌道,出現(xiàn)了流體力學(xué)的塞曼分裂比擬.雖然這種流體動(dòng)力自旋態(tài)在實(shí)驗(yàn)探索的參數(shù)范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的,但他們?cè)?(κ0,Γ) 參數(shù)空間的其他區(qū)域中是穩(wěn)定的,這些區(qū)域可以在更一般的導(dǎo)航波理論框架中獲得(方程(3)).

圖8

Harris 和Bush(2014a)得出的一個(gè)重要結(jié)論是,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)所有流體參數(shù)都非常敏感,當(dāng)γ/γF僅變化1% 時(shí),其形式也會(huì)發(fā)生劇烈變化 (圖6(d)).盡管對(duì)單粒子衍射 (Couder & Fort 2006) 和圓形腔實(shí)驗(yàn)(Harris et al.2013) 的研究表明,在高記憶極限中出現(xiàn)了一種獨(dú)特的類薛定諤波函數(shù)(圖3 和圖4),但這項(xiàng)相對(duì)系統(tǒng)的研究對(duì)我們有其他啟示.更準(zhǔn)確地說,對(duì)于衍射和圓形腔實(shí)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)的重新檢查將揭示強(qiáng)烈依賴于系統(tǒng)參數(shù)的多模態(tài)統(tǒng)計(jì),是可以預(yù)期的.

3.4 未來的發(fā)展方向

頻閃模型(Oza et al.2013)成功地描述了單個(gè)行走液滴在無界域中的運(yùn)動(dòng).該模型通過Harris和 Bush (2014a) 的基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)測(cè)試,目前被用于描述中心力場(chǎng)(包括調(diào)和勢(shì)和庫侖勢(shì)) 中行走液滴的運(yùn)動(dòng).一個(gè)突出的問題是,為什么雙量子化在調(diào)和勢(shì)中明顯存在(Perrard et al.2014a,2014b; M.Labousse,S.Perrard,Y.Couder & E.Fort 在投文章),而在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中卻不明顯 (Harris & Bush 2014a; Oza et al.2014a,2014b).頻閃模型的主要缺點(diǎn)是,波場(chǎng) (方程 (2)) 未包含撞擊過程中觸發(fā)的瞬態(tài)波(Eddi et al.2011b),因此無法可靠地獲得行走液滴與障礙物之間的相互作用(Eddi et al.2009b,Harris et al.2013,Carmigniani et al.2014) 及不同行走液滴間相互作用(Proti`ere et al.2005,2008; C.Borghesi,J.Moukhtar,M.Labousse,A.Eddi,Y.Couder&E.Fort 在投論文).新一代的導(dǎo)航波模型正試圖解決這一缺陷(P.Milewski,C.Galeano-Rios,A.Nachbin & J.W.M.Bush 在投論文).

理論的發(fā)展為導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)的研究提供了一個(gè)更為一般的框架.在頻閃模型(方程(3)) 中僅有兩個(gè)無量綱參數(shù).我們已經(jīng)看到某些類似量子的特征(如自旋態(tài)),在這個(gè)流體動(dòng)力導(dǎo)航波系統(tǒng)的參數(shù)范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的,但在其他情況下則是穩(wěn)定的.于是產(chǎn)生了一個(gè)問題: 當(dāng) (κ,Γ) 為何值時(shí),這個(gè)廣義的導(dǎo)航波系統(tǒng)表現(xiàn)出最類似于量子力學(xué)的行為?

Fort 和Couder(2013)從這種流體力學(xué)導(dǎo)航波系統(tǒng)出發(fā)邁出了有趣的一步,他們引入了慣性行走液滴的概念.真實(shí)的行走液滴在其路徑上產(chǎn)生了一個(gè)波場(chǎng),而慣性行走液滴的波場(chǎng)以液滴發(fā)射時(shí)的速度繼續(xù)前行.對(duì)一族離散軌道,會(huì)激發(fā)非輻射共振波模態(tài); 當(dāng)這些軌道為圓形時(shí),他們滿足玻爾– 索姆菲爾德量子化條件.

除此之外,如果在不知道強(qiáng)迫振動(dòng)、彈跳或波場(chǎng)的情況下從上方觀察系統(tǒng),如何描述行走液滴的運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)有趣的問題.Labousse 和Perrard (2014) 強(qiáng)調(diào)了行走液滴的非哈密頓特性,并用瑞利振子描述了液滴在低記憶區(qū)的運(yùn)動(dòng).對(duì)于某一類運(yùn)動(dòng),Bush 等(2014) 證明了推進(jìn)波場(chǎng)和耗散效應(yīng)的首階項(xiàng)相互抵消,液滴的運(yùn)動(dòng)可以用質(zhì)量依賴速度的無粘動(dòng)力學(xué)來描述.因此,他們根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)計(jì)算了行走液滴的流體動(dòng)力放大因子γB: 行走液滴的有效慣性質(zhì)量為γBm.這一觀點(diǎn)合理解釋了圖5(a)中異常大的軌道半徑,即行走液滴所誘導(dǎo)的波引起附加質(zhì)量.該理論在更一般的場(chǎng)景下的價(jià)值目前正在探索當(dāng)中.

4 與量子力學(xué)的關(guān)系

量子力學(xué)的現(xiàn)實(shí)主義解釋認(rèn)為,標(biāo)準(zhǔn)量子理論提供的統(tǒng)計(jì)描述背后存在真實(shí)的動(dòng)力學(xué); 因此,微觀粒子與經(jīng)典粒子一樣遵循軌跡(Bohr 1935,Einstein et al.1935).von Neumann (1932) 發(fā)表的證明錯(cuò)誤地否定了這種動(dòng)力學(xué)的可能性,使這種觀點(diǎn)遭受了早期的挫折.三十年后Bell (1966) 推翻了von Neumann 及隨后的不可能性證明.在這件事上,我傾向于給貝爾(1987)一個(gè)最后的結(jié)論,以探討建立在完善的統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上的真實(shí)量子動(dòng)力學(xué)的可能性.因此我們自然會(huì)問,這個(gè)流體力學(xué)系統(tǒng)與現(xiàn)有的量子力學(xué)的現(xiàn)實(shí)主義模型是否存在某種關(guān)聯(lián)?

4.1 Madelung 變換

Madelung (1926) 變換允許線性薛定諤方程(LSE) 以流體力學(xué)形式重構(gòu).在存在勢(shì)函數(shù)V(x)的情況下,我們考慮限制在平面上質(zhì)量為m的粒子的標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)描述.以極形式表示概率函數(shù),Ψ(x,t)=R(x,t)e?iS(x,t)/,然后代入 LSE 方程得到

其中vq(x,t) =?S(x,t) 是概率的量子速度,S(x,t) 是作用量,ρq(x,t) =R2是概率密度,以及Q(x,t)=?(b2/2m)?2R/R是量子勢(shì).式(4a)表示概率守恒,而式(4b)對(duì)應(yīng)于量子Hamilton-Jacobi方程.取后者的梯度得到vq的演化方程

從流體力學(xué)的角度來看,Madelung 公式(方程(4)) 有兩個(gè)吸引人的點(diǎn)(Spiegel 1980).首先,普朗克常數(shù)僅出現(xiàn)一次,即作為量子勢(shì)的系數(shù).第二,如果將ρq與流體的深度聯(lián)系起來,將vq與沿深度平均的流體速度相關(guān)聯(lián),這個(gè)方程組就相當(dāng)于描述無粘淺水流動(dòng)的系統(tǒng).當(dāng)Q關(guān)于一致ρq的狀態(tài)線性化時(shí),他呈現(xiàn)為淺水動(dòng)力學(xué)中的曲率壓力形式(Buhler 2010).由此可以看出量子統(tǒng)計(jì)中的 與淺水動(dòng)力學(xué)中的表面張力σ之間的關(guān)系.

Madelung 變換簡(jiǎn)單地表明,我們可以用流體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行量子統(tǒng)計(jì)建模.例如,對(duì)量子圍欄實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)(Crommie et al.1993a,1993b) 原則上可以用法拉第波系統(tǒng)進(jìn)行建模(參見補(bǔ)充視頻1)(Harris et al.2013,Harris & Bush 2013).具體來說,假設(shè)圓腔可以調(diào)諧到適合單一模態(tài),給定粒子能量E=ω,可以從量子色散關(guān)系ω=k2/2m推斷出德布羅意 (de Broglie) 波長(zhǎng)λdB= 2π/k,從中可以預(yù)測(cè)概率分布.同樣地,給定驅(qū)動(dòng)頻率,我們可以從水波的色散關(guān)系知道法拉第波長(zhǎng)(例如,對(duì)于深水毛細(xì)波,在此基礎(chǔ)上可以推斷出圓腔的法拉第波模態(tài)(圖4(b)).然而,圍欄實(shí)驗(yàn)(Harris et al.2013) 表明我們還可以預(yù)測(cè)行走液滴的流體動(dòng)力學(xué)統(tǒng)計(jì)信息; 具體而言,圓形空腔中行走液滴的直方圖由空腔的法拉第波模態(tài)所規(guī)定.因此,在某些參數(shù)區(qū)域內(nèi),行走液滴和量子粒子顯示出相似的統(tǒng)計(jì)行為,其中流體性質(zhì)(σ,ρ) 代替(,m).那么,我們?cè)撊绾卫斫庑凶咭旱蔚倪\(yùn)動(dòng)與量子動(dòng)力學(xué)之間的關(guān)系呢？

4.2 導(dǎo)航波理論

第一個(gè)導(dǎo)航波理論是由de Broglie (1923) 提出的,他設(shè)想微觀粒子由伴隨的波場(chǎng)引導(dǎo),被推動(dòng)著沿垂直于恒定相位表面的方向前進(jìn)(de Broglie 1926,1930; Bacchiagaluppi&Valentini 2009).他最初的構(gòu)想,即雙解理論(de Broglie 1956),涉及到兩個(gè)波,一個(gè)是以粒子為中心的真實(shí)導(dǎo)航波,另一個(gè)則是由標(biāo)準(zhǔn)量子理論預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)波.他斷言量子力學(xué)本質(zhì)上是相對(duì)論的,并提出導(dǎo)航波來源于康普頓頻率ω=mc2/下的內(nèi)部粒子振蕩,在該頻率下靜止質(zhì)量能與波能交換.他認(rèn)為導(dǎo)航波場(chǎng)是按照Klein-Gordon 方程演化的,由粒子參考系中的單頻波組成.而德布羅意關(guān)系式p=k則將粒子動(dòng)量與德布羅意波長(zhǎng)λdB= 2π/k聯(lián)系起來.最后,他強(qiáng)調(diào)了相位協(xié)調(diào)的重要性,即粒子內(nèi)部的振動(dòng)(被視為時(shí)鐘的振動(dòng)) 與其導(dǎo)航波保持相同的相位(de Broglie 1930,1987).因此,根據(jù)他的構(gòu)想,波和粒子始終保持共振狀態(tài).

玻姆(Bohm 1952a,1952b) 提出了單波導(dǎo)航波理論,根據(jù)該理論,導(dǎo)波精確地等價(jià)于薛定諤方程的解,而粒子速度與概率vq的量子速度相同.假設(shè)給一個(gè)與LSE 的解相一致的初值條件的集合,那么玻姆力學(xué)的預(yù)測(cè)與標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)的預(yù)測(cè)是相同的(Keller 1953).這一結(jié)果是對(duì)當(dāng)時(shí)占據(jù)主導(dǎo)地位的von Neumann (1932) 和其他人的不可能性證明提供了一個(gè)非常重要的反例.此后,玻姆力學(xué)得到了實(shí)質(zhì)性的發(fā)展(Holland 1993,Towler 2009,Durr et al.2012),并且隨著時(shí)間的推移,他與德布羅意的理論相融合,形成了現(xiàn)在通常所說的德布羅意– 玻姆理論.行走液滴系統(tǒng)表明了理清這兩個(gè)導(dǎo)航波理論的潛在價(jià)值.

相比于玻姆力學(xué),行走液滴系統(tǒng)更接近于德布羅意的雙解理論.在雙解理論中,就像在這個(gè)流體力學(xué)系統(tǒng)中一樣,統(tǒng)計(jì)波必須由真實(shí)的導(dǎo)航波來增強(qiáng),標(biāo)準(zhǔn)波粒二象性必須擴(kuò)展到“波– 粒子– 導(dǎo)航波” 三位一體.這種區(qū)別在圓腔幾何中尤為明顯.根據(jù)玻姆力學(xué),導(dǎo)航波就是統(tǒng)計(jì)波.相反地,在行走液滴系統(tǒng)中,液滴是由腔內(nèi)的瞬時(shí)波場(chǎng)所引導(dǎo)的,其形式相對(duì)復(fù)雜(Harris et al.2013).盡管真實(shí)波和統(tǒng)計(jì)波都以法拉第波長(zhǎng)為特征波長(zhǎng),但前者有效地集中于粒子上,而后者則由腔體幾何決定 (圖4(b)).在衍射實(shí)驗(yàn)中,行走液滴系統(tǒng)與玻姆力學(xué)的區(qū)別也很明顯 (Couder & Fort 2006).在量子單粒子衍射中,由對(duì)稱統(tǒng)計(jì)波引導(dǎo)的玻姆軌跡必然是對(duì)稱的: 沒有粒子穿過中心線(Philippidis et al.1979).相反地,行走液滴系統(tǒng)是由其進(jìn)入縫隙時(shí)產(chǎn)生的復(fù)雜導(dǎo)航波引導(dǎo)的.他的軌跡復(fù)雜、混沌,而且絕對(duì)不對(duì)稱: 液滴經(jīng)常穿過中心線.盡管在統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上可以為行走液滴得到玻姆軌跡的比擬,但他們只代表真實(shí)混沌軌跡的整體平均.

表1 比較了德布羅意(de Broglie) 雙解理論和行走液滴系統(tǒng).兩個(gè)系統(tǒng)都具有三個(gè)時(shí)間尺度:與高頻振蕩相關(guān)的短時(shí)間尺度、與導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)相關(guān)的中等時(shí)間尺度、相干統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)的長(zhǎng)時(shí)間尺度(Harris & Bush 2013) (見補(bǔ)充視頻1).這兩個(gè)系統(tǒng)的特點(diǎn)是均存在單一的長(zhǎng)度尺度同時(shí)出現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)中.行走液滴的衍射和圍欄實(shí)驗(yàn)提供了第一個(gè)證據(jù),證明以粒子為中心的導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)可以產(chǎn)生具有相同波長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)波,但其形式由邊界幾何所規(guī)定.

表1 行走液滴系統(tǒng)與德布羅意雙解導(dǎo)航波理論的比較(de Broglie 1956,1987),及其在隨機(jī)電動(dòng)力學(xué)(SED) 上的推廣 (Kracklauer 1992,de la Pen?a & Cetto 1996,Haisch & Rueda 2000)

德布羅意(de Broglie 1956) 對(duì)于導(dǎo)航波既沒有說明物理起源,也沒有說明幾何形式.他提出導(dǎo)航波與遠(yuǎn)場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)波是線性相關(guān)的,但在粒子附近是非線性的(以一種不確定的方式) (de Broglie 1987).當(dāng)他將粒子看作場(chǎng)的源頭時(shí),就在該粒子位置處引入了一個(gè)奇點(diǎn).德布羅意的概念中缺乏行走液滴系統(tǒng)的3 個(gè)關(guān)鍵特征.首先液滴會(huì)與已有的場(chǎng)(界面) 相互作用,因此不需要奇點(diǎn).其次,他的單頻導(dǎo)航波場(chǎng)是由參數(shù)強(qiáng)迫產(chǎn)生的.最后,真實(shí)波與統(tǒng)計(jì)波之間的聯(lián)系是通過混沌導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)建立的.

4.3 隨機(jī)電動(dòng)力學(xué)

玻姆力學(xué) (Bohm 1952a,1952b) 在創(chuàng)立不久便被推廣至將隨機(jī)亞量子領(lǐng)域的影響考慮在內(nèi)(Bohm&Vigier 1954).根據(jù)此物理圖像,隨機(jī)粒子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成了概率量子速度vq的基礎(chǔ)(即Madelung流),就像布朗運(yùn)動(dòng)是流體流動(dòng)中流線的基礎(chǔ)一樣.德布羅意(de Broglie) (1964) 在晚年也推崇這一觀點(diǎn),促進(jìn)了與此相關(guān)的大量研究(Goldstein 1987,Chebotarev 2000).其中特別令人感興趣的是Nelson (1966) 的結(jié)果,他通過考慮一個(gè)隨機(jī)經(jīng)典系統(tǒng) (即擴(kuò)散系數(shù)為/(2m) 的質(zhì)量m的布朗運(yùn)動(dòng)) 導(dǎo)出了LSE.Nelson (2012) 最近在綜述中回顧了量子力學(xué)隨機(jī)解釋的成功與失敗.

隨機(jī)電動(dòng)力學(xué)(SED)假設(shè)一個(gè)零點(diǎn)場(chǎng)(ZPF),電磁真空漲落的能譜形式為:U(ω)=ω/2(Boyer 2011).需要強(qiáng)調(diào)的是,這些波動(dòng)代表了將普朗克常數(shù) 引入到經(jīng)典理論的自然方法.隨機(jī)電動(dòng)力學(xué)理論為卡西米爾(Casimir)效應(yīng)、氫原子的穩(wěn)定基態(tài)(Cole & Zhou 2003)和黑體輻射光譜(Boyer 2010) 提供了理論依據(jù).Surdin (1974) 提出零點(diǎn)場(chǎng)作為亞量子域中隨機(jī)性的來源.由此產(chǎn)生的物理圖像正在推進(jìn): Grossing 等(2012a,2012b) 從跳躍液滴中獲得靈感,將微觀粒子也視為彈跳物.

De la Pena 和Cetto(1996)提出真空波動(dòng)可能會(huì)產(chǎn)生量子粒子的顫動(dòng)(Schrodinger 1930,Hestenes 1990),尤其是以康普頓頻率ωc=mc2/振蕩.他們進(jìn)一步提出,當(dāng)粒子平移時(shí),這種振蕩運(yùn)動(dòng)會(huì)與周圍真空?qǐng)鲋械牟ㄟx擇性地發(fā)生相互作用,這種共振相互作用會(huì)放大電磁導(dǎo)航波.根據(jù)此物理圖像,載波的康普頓波長(zhǎng)為λc= 2π/mc,而德布羅意 (de Broglie) 波長(zhǎng)則規(guī)定了其調(diào)制 (Kracklauer 1992,1999).Haisch & Rueda (2000)進(jìn)一步探索了將粒子視為在ωc處共振的ZPF 驅(qū)動(dòng)振蕩電荷這一概念,他們認(rèn)為此概念可以幫助我們理解慣性質(zhì)量的起源,從而將零點(diǎn)場(chǎng)與物質(zhì)的量子波性質(zhì)和相對(duì)論力學(xué)聯(lián)系起來(Haisch et al.2001,Rueda & Haisch 2005).由此得到的物理圖像與行走液滴系統(tǒng)之間的相似之處令人著迷: 真空波動(dòng)將起到如振動(dòng)液槽為系統(tǒng)提供動(dòng)力的作用,而粒子的顫振運(yùn)動(dòng)與觸發(fā)導(dǎo)航波的液滴彈跳相同.基于隨機(jī)電動(dòng)力學(xué)的物理圖像也包含在表1 中.

5 結(jié)論

Yves Couder,Emmanuel Fort 及其同事發(fā)現(xiàn)的流體動(dòng)力導(dǎo)航波系統(tǒng)是一個(gè)引人入勝的新型動(dòng)力系統(tǒng).在這個(gè)系統(tǒng)中,液滴通過與自身波場(chǎng)的共振作用而實(shí)現(xiàn)自我推進(jìn).這是德布羅意在其雙解理論中所設(shè)想的導(dǎo)航波系統(tǒng)的首個(gè)宏觀實(shí)現(xiàn),并且擴(kuò)展了經(jīng)典系統(tǒng)可描述行為的范圍.他表現(xiàn)出的特點(diǎn)讓人聯(lián)想到量子單粒子衍射、隧穿效應(yīng)、單量子化和雙量子化軌道、軌道能級(jí)分裂、自旋和多模態(tài)統(tǒng)計(jì),所有這些都可以用導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)來解釋.基于侵入性測(cè)量或受損觀測(cè)的故意曲解可能導(dǎo)致不確定性關(guān)系和流體動(dòng)力推動(dòng)因子的推斷.同樣地,可以推斷出排他性原理; 例如,某些包含多個(gè)行走液滴的軌道狀態(tài)是不被允許的,因?yàn)橐旱伪仨毠蚕硗粋€(gè)波場(chǎng).

哪些特征對(duì)于類量子行為至關(guān)重要? 量子化源于單頻導(dǎo)航波場(chǎng)對(duì)行走液滴施加的動(dòng)態(tài)約束.例如,量子化軌道可以通過行走液滴與其自身尾跡之間的相互作用來理解: 量子化僅當(dāng)波場(chǎng)的持續(xù)時(shí)間大于軌道周期時(shí)才會(huì)出現(xiàn).波場(chǎng)的色散關(guān)系并不重要.重要的是波是單頻的,因此法拉第力和跳躍液滴與其導(dǎo)航波之間的共振至關(guān)重要.對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的研究表明,多模態(tài)統(tǒng)計(jì)是混沌導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)的本質(zhì)特征: 不穩(wěn)定的本征態(tài)作為吸引子,在統(tǒng)計(jì)量上留下印記.這一觀點(diǎn)的普遍有效性需要通過進(jìn)一步檢驗(yàn)圓形腔體中的行走液滴(T.Gilet,已投稿論文)、單粒子衍射和全新的幾何構(gòu)形來探索.描述這種新的導(dǎo)波系統(tǒng)向混沌的轉(zhuǎn)變對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)界提出了一個(gè)令人興奮的挑戰(zhàn).隨機(jī)強(qiáng)迫對(duì)這種混沌導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)的影響也是相當(dāng)有趣的.這種強(qiáng)迫可能在實(shí)驗(yàn)室中通過氣流的影響或當(dāng)液滴處于混沌行走狀態(tài)時(shí)自然產(chǎn)生,也可能通過強(qiáng)迫振動(dòng)中的噪聲以受控的方式施加.

流體力學(xué)系統(tǒng)作為一種量子力學(xué)比擬有許多局限性; 然而有些限制是可以規(guī)避的.雖然實(shí)驗(yàn)只能捕捉到二維的導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué),但隨之而來的理論發(fā)展可以推廣到三維.行走液滴導(dǎo)航波的波長(zhǎng)由振動(dòng)頻率決定而與行走速度無關(guān); 相反,在量子力學(xué)中德布羅意關(guān)系p=k決定了與速度相關(guān)的德布羅意(de Broglie) 波長(zhǎng).這種依賴性可以納入現(xiàn)有的導(dǎo)航波模型中.最后,我們已經(jīng)看到,侵入性測(cè)量作為量子力學(xué)的一個(gè)決定性特征,可以被人為地加入行走液滴系統(tǒng)中.然而,關(guān)于侵入性測(cè)量和混沌導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)結(jié)合時(shí)是否會(huì)產(chǎn)生量子糾纏的流體力學(xué)比擬,仍是一個(gè)懸而未決的問題.

Bell (1987) 贊成德布羅意– 玻姆導(dǎo)航波理論,理由是他為機(jī)械論地理解量子動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)概念框架,而純粹的統(tǒng)計(jì)理論不可能提供這種框架.不管他的缺點(diǎn)和局限性是什么,行走液滴所建議的新物理圖像,即相對(duì)復(fù)雜的混沌導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué),也有著令人著迷的特點(diǎn).這一理論的雛形最早可以追溯到德布羅意和愛因斯坦的一系列文獻(xiàn)中,他們都試圖通過考慮物質(zhì)的波動(dòng)本質(zhì)來調(diào)和量子力學(xué)和相對(duì)論(Bohm & Hiley 1982,Chebotarev 2000).這個(gè)物理圖像、量子混沌(Gutzwiller 1990) 和量子場(chǎng)論(Weinberg 1995) 之間的關(guān)系留給感興趣的讀者.

為了避免量子悖論的長(zhǎng)期存在被誤認(rèn)為是不可克服的,需要介紹一個(gè)流體力學(xué)的故事.1749年,達(dá)朗貝爾悖論指出物體在無黏流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)受到阻力,這一預(yù)測(cè)顯然與高雷諾數(shù)氣體流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)不符.結(jié)果導(dǎo)致了實(shí)驗(yàn)主義者和理論家之間長(zhǎng)期存在分歧—在19 世紀(jì)的大部分時(shí)間里,前者關(guān)注無法解釋的現(xiàn)象,而后者研究無法觀察到的現(xiàn)象(Lighthill 1956).達(dá)朗貝爾悖論存在了150 多年,直到普朗特的工作(Anderson 2005) 能夠在隱藏的黏性邊界層尺度上解決動(dòng)力學(xué)問題.

最后,關(guān)于我對(duì)量子力學(xué)詮釋的看法,我依然是堅(jiān)定的不可知論者; 然而,如果一定要選擇的話,我傾向于支持多世界詮釋(Everett 1957) 的邏輯拓展 —— 無限多的多世界詮釋,因?yàn)槠渌邆涞陌菪?在這樣的詮釋里,過往的每一種量子力學(xué)詮釋都能在無限多元宇宙的某些版本中實(shí)現(xiàn),其中甚至存在一個(gè)僅包含一個(gè)世界的版本,在這個(gè)世界里量子統(tǒng)計(jì)是基于混沌導(dǎo)航波動(dòng)力學(xué)的,在大小世界之間不存在哲學(xué)上的割裂.

聲明作者未意識(shí)到可能會(huì)影響本綜述客觀性的任何偏見.

致 謝非常感謝國家科學(xué)基金會(huì)項(xiàng)目CBET-0966452 和CMMI-1333242、麻省理工學(xué)院– 法國項(xiàng)目、麻省理工學(xué)院–巴西項(xiàng)目以及CNPq–科學(xué)無國界項(xiàng)目的經(jīng)費(fèi)支持.與Yves Couder,Emmanuel Fort 和 Ruben Rosales 的交談使我受益匪淺.我還要感謝 Dan Harris,Jan Mol′aˇcek,Anand Oza 和Leo Zhou 對(duì)本文的寶貴意見和幫助.