吳介之 劉羅勤 劉天舒

1 北京大學,北京100871

2 University of Twente,7500 AE Enschede,The Netherlands

3 Western Michigan University,Kalamazoo,MI 49008,USA

1 引 言

現(xiàn)代空氣動力學誕生一百多年來,從無黏到有黏,從定常到非定常,從不可壓到可壓縮,從近似到精確,已經(jīng)發(fā)展出眾多關于升力和阻力的理論,得到了多方面實踐的充分檢驗,參見筆者的詳細述評(Wu et al.2018).它們對航空航天、流體機械、風工程等眾多應用領域,提供了不可或缺的基礎保證.一般說來,除一些高度簡化的近似理論外,升阻力的精確表達式都具有積分形式.用積分表示合力,其積分域與邊界總可以有多樣化的選擇,例如物面上的應力積分或者流場物理量的體積分.對于定常流則可簡化為流場外邊界的面積分.相應地,被積函數(shù)也是多樣化的,它們的優(yōu)劣取決于具體問題的需要,當然越簡單越好,越能抓住物理本質(zhì)越好.

這些積分型的理論分為近場理論和遠場理論兩類.近場理論的被積函數(shù)包含影響合力的全部復雜的近場非線性過程與結構,用以對計算流體力學(CFD) 和實驗流體力學(EFD) 取得的流場數(shù)據(jù)進行物理的診斷,是當代氣動力理論的主流和熱點.遠場理論的特點則是從遠場線性近似出發(fā),得到極為簡潔卻在近場精確有效的升阻力公式.定常流的合力可以表示為遠場邊界積分,為發(fā)展這種理論提供了必要條件(注: 不可壓非定常流的合力也可用邊界積分表示,見Noca 等(1997)和Wu 等(2005)).它始于Joukowski (1906) 的著名升力定理L=ρUΓ?和Filon (1926) 較少受到注意的阻力定理D=ρUQψ,其中Γ?和Qψ分別是環(huán)量和有旋尾流的入流,詳見下面的2.1 節(jié).遠場理論包括建立復雜流場在接近無窮遠處的衰減規(guī)律以及精確的合力公式,這是CFD 和EFD 夠不著而只能依靠解析方法的領域.它們?yōu)樗薪鼒隼碚摰墓教峁┝藱z測的標準,也為在CFD 中設置遠場邊界條件提供了判據(jù).然而,環(huán)量和入流的取值不由遠場理論本身決定,而要結合近場理論根據(jù)具體流動狀態(tài)給出.可以說,遠場理論提供了戰(zhàn)略目標,而近場理論做戰(zhàn)術實施.

長期以來,遠場合力理論一直停留在低速不可壓流.雖經(jīng)幾代人的努力,但仍未能把它精確地推廣到黏性可壓縮流.這種狀況直到2014—2018 年才得以突破.本文第二作者在其博士論文(以下簡稱博文)中提出了黏性可壓縮定常流的普適升阻力理論(以下簡稱普適理論,劉羅勤2016),突破了經(jīng)典空氣動力學基礎理論延續(xù)了八九十年的一個缺口,其內(nèi)容發(fā)表在3 篇期刊論文上(Liu et al.2015,2017a,2017b).博文依據(jù)對遠場線化Navier-Stokes 方程(NS 方程) 解析解的研究,獲得了經(jīng)典不可壓二維定常流的Kutta-Joukowski 升力定理(KJ 定理) 的現(xiàn)代二、三維普適版這個核心結果,并給出了數(shù)值檢驗.基于線性近似的NS 方程(Oseen 方程) 得到的簡潔公式,何以能在高度非線性的復雜流場中仍然精確成立,這里涉及饒有興趣的方法論問題,很值得關注.本文的第一個任務,是在簡要回顧普適理論基本成果的基礎上,反思其方法論特色和背后的物理機理.

眾所周知,飛機上天與火箭上天的物理機制有根本的區(qū)別.后者用牛頓第二、三定律就可以直觀地解釋; 前者則很不直觀: 水平飛行的機翼何以竟然能產(chǎn)生垂直于飛行方向(因而本身不做功) 的巨大升力? 這里涉及的物理過程比火箭上天復雜得多.盡管嚴格的量化升力理論已經(jīng)得到航空實踐的廣泛檢驗,但100 年來在各種出版物和媒體上仍常常出現(xiàn)關于升力物理來源的各種假說,還在最近登上了享譽世界的科普刊物《科學美國人》(Regis 2020),作者宣稱科學家迄今對飛機為何上天的問題“仍然沒有答案”.這種狀況再次提醒人們:升力物理來源這個問題,并沒有在國內(nèi)外眾多的教科書、專著和課堂中得到徹底的澄清,認真回答這個問題在今天仍然具有迫切的重要性.普適理論的普遍有效性和高度簡潔性使人們能用它以盡可能直接的方式為澄清升力來源提供邏輯嚴密的論據(jù),值得著重考察.這是本文的第二個任務.為簡便起見,本文的討論限于常溫下的宏觀流體.

2 從線化遠場到精確近場: 不可壓升阻力的經(jīng)典理論

2.1 環(huán)量與入流

普適理論有兩個基本物理量: 決定升力的環(huán)量和決定阻力的入流.令滿足NS 方程的任意黏性可壓縮定常流(可以是時均定常湍流) 的速度及其在直角坐標系(x,y,z) 中的分量為u=(u,v,w),有恒定速度U=Uex(其中U為速度大小,ex為速度方向,即指向x正半軸的單位矢量) 和密度ρ0的直勻來流,物體引起的擾動速度為u′=u ?U= (u′,v,w).令S為一個包圍任意靜止固體B的任意閉曲面,外法向為n,其包含的流體體積記為Vf,它屬于定常子空間Vst(參見第3.1 節(jié)).由此,定義矢量形式的環(huán)量和標量形式的入流,它們分別表征u′的切向分量和法向分量沿S的積分

其中ω=?×u′和?=?·u′是渦量和脹量,因此Γ和?Q分別是Vf中的總渦量和總脹量.式(1) 涉及的物理量都是可觀測和計算的.但是,升阻力和Γ與Q之間的關系并不那么直接.更確切些,需要對u′做縱橫分解或Helmholtz 分解

其中?和ψ是標量速度勢和矢量流函數(shù),二者合稱縱橫勢或Helmholtz 勢.據(jù)此,博文對環(huán)量與入流做縱橫分解,即令Γ=Γ?+Γψ和Q=Q?+Qψ,其中

這里,?和ψ只是人為引進的輔助函數(shù),不是能夠測量或計算的物理量,所以u?和uψ中任意一個也不能直接測量或計算,環(huán)量和入流分解后的每個組份也是如此.事實上,從已經(jīng)得到的渦量場和脹量場數(shù)據(jù)可以通過求解Poisson 方程解出連續(xù)變化的?和ψ,但迄今不知道如何算出下文式(6) 和式(9) 中出現(xiàn)的Helmholtz 勢的突躍.但是,由u?的無旋性和uψ的無散性容易證明,Γ?和Qψ的值一定獨立于包圍物體的閉曲面S的大小和形狀.這使它們能在線化遠場解析地求得,而又能直接用于非線性近場,從而結果具有普遍性.相反,積分Γψ和Q?不具有這種獨立性.這個微妙的區(qū)別是理解遠場理論中升阻力公式普適性的關鍵.

2.2 KJ 升力定理和 Taylor 條件

對于任一個包圍物體的閉曲面S,無黏不可壓定常合力可表示為

其中第二式據(jù)Bernoulli 定理用動能取代了壓力,其被積函數(shù)是速度的二次齊式.現(xiàn)在考慮發(fā)生在(x,z)平面上的二維流,S退化為一條切向為t、法向為n的閉曲線C,矢量弧元為tds,n,t和y方向基矢量ey構成右手正交單位標架,ψ= (0,ψ,0),Γ=Γey.Joukowski (1906) 在遠場取了一個大回路C,使得式(5)的速度二次齊式可以只保留到u′的線性項,然后發(fā)現(xiàn): 翼型的升力正比于給定參數(shù)U和ρ0,以及繞C的環(huán)量Γ(本文援引的Joukowski 這個遠場證明方法,取自Batchelor (1967)中用現(xiàn)代語言改寫的介紹).在他發(fā)表這個定理時,Prandtl (1904) 的邊界層理論只出現(xiàn)兩年,尚未引起外界注意.Joukowski 唯一能用的流動模型是無黏勢流理論,所論環(huán)量實為Γ?

其中[[·]] 表示有關量繞C一周的突躍.由于前述Γ?對C選取的獨立性,該回路可以完全縮小到在離物體近得多的非線性流動中,預測的升力不變,因而式(6) 具有普遍意義.Γ?的取值或突躍[[?]] 不是定理本身要回答的,需在尖后緣施加Kutta 條件(參見第4.4 節(jié)) 以保證流動沒有奇異性來決定.

在從式(6) 發(fā)展出薄翼型理論并對小攻角大雷諾數(shù)翼型繞流得到實驗檢驗之后,人們開始考慮它能否用于真實的黏性有旋流,即是否能把原始Joukowski 公式(6) 改為

這里,可測的物理環(huán)量Γ需要包含Γψ的貢獻,雖然它僅來自C切割翼型尾流的地方,其大小必然依賴于C的具體選取,這就引起對式(7)的普適性的疑問.英國學者Bryant 和Williams 在1926 年做了實驗研究,發(fā)現(xiàn)在黏流中測得的Γ仍然獨立于C的選取.對此,Taylor (1926) 指出: 由于尾渦層很薄,可以用邊界層近似在翼型后緣下游不遠處的一個垂直于來流的尾流截線W上證明渦量流的積分為零,稱之為Taylor 判據(jù).這個條件保證了在黏流中仍有Γψ=0,因而式(7)也具有普遍性.事實上,Taylor 也用這個判據(jù)表述Kutta 條件.現(xiàn)在,對它的導出和表述可以擴展為(詳見Wu et al.2015,pp.290-293)

其中第三式表示渦量的尾流截面積分為零,后面將看到在遠場對二、三維流都成立.

2.3 Filon 阻力定理

同年但獨立于Taylor 的理論研究,Filon (1926)對二維不可壓黏性有旋流得到了遠場Oseen 線化方程的級數(shù)解,對升阻力做了徹底的研究.一方面,他證明式(7)在遠場的確漸近成立,和Taylor的分析一致; 另一方面,他證明阻力僅取決于Qψ

它反映阻力來自黏性尾流中的動量虧損,即從上游進入C的動量流多于從下游流出C的動量流;而勢流對入流沒有貢獻 (D’Alembert 佯謬).因為Qψ的值也獨立于C的形狀和大小,式 (9) 預測的阻力也具有普適意義.式(9) 和式(6) 在形式上完美對稱,構成了二維升阻力的一對極為簡潔的基本公式.但是,Qψ也不是可觀察量,這很可能是Filon 公式(9) 長期沒有得到工程技術界重視的原因.與此對比,KJ 公式(6) 幸運得多,它在Taylor 判據(jù)(8) 成立的范圍內(nèi)達到了可測公式(7).

2.4 三維不可壓黏流和可壓縮流

上面的發(fā)展限于二維不可壓流.20 世紀30 年代,英國著名理論家Goldstein (1929,1931) 沿著Filon 的理論路線,率先研究了遠場三維不可壓Oseen 方程的兩族級數(shù)解,證明Filon 阻力公式(9)對三維流同樣有效.但在升力的研究中沒有做到底.最終的結果是劉羅勤(2016) 得到的.

隨著高速空氣動力學的興起,人們自然對如何把從Joukowski 開始的這個“從線性遠場到精確近場”的理論派別推廣到可壓縮流極感興趣,幾代著名理論家都曾投入了這個方向的研究,從理論和數(shù)值模擬中初步觀察到KJ 升力定理在高亞聲速下仍然有效,其中Finn 和Gilbarg (1957,1958)把不可壓二維勢流理論嚴格推廣到非線性亞聲速流,證明式(6) 對二維流仍然成立,而三維時合力等于零.這些進展詳見劉羅勤(2016) 的述評,但都沒有達到人們期望的普適性目標.

3 黏性可壓縮定常流的普適升阻力理論

3.1 外無界遠場的分區(qū)結構

在進入普適理論之前,博文首先用非定常線性遠場方法,建立了一個關于外無界流場分區(qū)結構的引理(劉羅勤2016):

引理.令V∞是包含運動物體的外無界空間,在無窮遠處流體具有均勻性質(zhì),靜止或做勻速運動.則只有黏性、非定常、可壓縮流能夠以聲波的形式指數(shù)衰減到無窮遠靜止或均勻運動狀態(tài).由此可統(tǒng)一地證明三個命題:

(1) 定常流區(qū)Vst必由非定常流包圍;

(2) 不可壓流區(qū)Vinc必由可壓縮流包圍;

(3) 無黏流區(qū)Vinv必由黏流包圍.

因此,這些V∞的子區(qū)域都是人為的理論模型,盡管在其內(nèi)部也可以使用“無窮遠”的概念.下面介紹的普適理論是定常子域中的精確理論.上述命題1 比較熟知,吳鎮(zhèn)遠(Wu 1981) 曾大力強調(diào); 命題 2 首先由 Landau 和 Lifshitz (1959) 闡明,并由 Saffman (1992) 具體證明; 命題 3 是博文首次證明的(劉羅勤2016).

3.2 升阻力的遠場運動學表示與Stokes 定理

遵照Joukowski-Filon 等人 “從線化遠場到精確近場” 的路線,首先需像式(5) 那樣,把黏性可壓縮合力公式用線化遠場的邊界積分表示,取線性近似,并只用運動學量表示以保持普適性.具體地,令μ和μθ為分子的或湍流的剪切黏性系數(shù)和縱向黏性系數(shù),它們和密度在遠場均取常值,則定常線化NS 方程為

它可按式(2) 做縱橫分解,其縱向部分可積分一次

據(jù)此,可把合力的遠場線化表達式寫成

其中μω×n=τ仍是動力學量,但可借助式(11) 證明

從而得

顯然,二維流的Joukowski 公式(6) 和Filon 公式(9) 已被推廣到可壓縮流.式(14) 的第三項只出現(xiàn)在三維流,暗示流向渦量ωx=??2ψx對合力也有貢獻.但為得到這項的具體形式,必須求得ψ的線化遠場解,見后.這里,先考察式(14)的結構.顯然,三項積分都具有(n×?)?F的形式,其中F為任意張量場,?為任何可實施的張量或算符乘積.于是立即想到廣義Stokes 定理: 對任意邊界為?S的曲面S,若F連續(xù)、分段可微,則有

而對閉曲面,式 (15) 右邊為零.因此,由式 (2)、式 (3) 和式 (14) 可見,如果?和ψ滿足廣義 Stokes定理的條件,就會回到零合力的佯謬(包括D’Alembert 的零阻力佯謬).具體地說,式(14) 包含了一個重要判斷(奇怪的是,Stokes 定理的這個作用,似乎此前沒有被提到過):

縱橫勢非正則性定理.黏性可壓縮定常流升阻力完全來自 ? 和 ψ 在二維時的多值性 (流域雙連通) 和三維時的奇異性.

二維流?和ψ的多值性是熟知的,已在式(6) 和式(9) 顯示出來.三維流域是單連通的,升阻力只能來自?和ψ的奇異性.這個思想來自Goldstein (1931).注意,這種多值性和奇異性只能出現(xiàn)在縱橫勢中,速度場和其他可測物理量必須是單值的和非奇異的.由于這個結果,?和ψ中的正則部分在計算升阻力時可以略去,而它們的奇異部分在計算速度時必須相互抵消.

應當看到: 對于流域雙連通的二維流,物體引起的擾動Helmholtz 勢未必總是多值的.如果所考慮的流域是V∞,它包含了所有擾動,例如尾流中的全部渦量場,那么多值性并不出現(xiàn).但這時V∞中不斷下行的啟動渦使得流場必然是非定常的.作為V∞子域的定常流域Vst總要把啟動渦排除在外,僅在這時縱橫勢才可能是多值的.

同理,對于流域單連通的三維流,在定常流域Vst的下游任意遠的尾流截面W上,必然仍有尾渦穿過,Vst不可能完全囊括所有擾動場.這是?和ψ具有奇異性的原因所在.下面的遠場解證實了這種奇異性,它們在計算速度場時的確相消.不過,?和ψ的三維奇異性是否像其二維多值性那樣在非線性近場也存在,卻是個尚未檢驗也難以檢驗的問題.

3.3 縱橫遠場的基本解方法

為了完成可壓縮升阻力的三維推廣,同時對可壓縮遠場的縱橫過程獲得量化理解,需要解析地求得定?？蓧嚎sOseen 方程解.Filon 和Goldstein 的方法是尋找Oseen 方程的完備級數(shù)解,復雜冗長.但注意到在遠場觀察者看來,任何有限物體都可視為點狀結構,劉羅勤(2016) 轉(zhuǎn)而采用了簡潔得多的基本解方法.這種方法是加州理工學院Lagerstrom 等(1949) 在一份給海軍的研究報告中提出的,其中包括線化NS 方程縱橫分解的系統(tǒng)論述.可惜他們把線化NS 方程基本解用于簡化邊界層理論的嘗試并未成功,是用錯了地方.

線化縱橫遠場基本解方法的要點可以概括如下.首先,物體給流場施加一個外力,它在線化遠場表現(xiàn)為位于原點的點狀力

這里F是物體受到的合力,δ(x) 是Dirac Delta 函數(shù).這個外力的存在說明,?和ψ描繪的縱場和橫場不像無內(nèi)外邊界的線性場那樣互相獨立,而是互相耦合

其中G?和Gψ是縱橫場的基本解,可用經(jīng)典的積分變換和特殊函數(shù)方法做解析研究,在二維和三維流中有不同的形式.

3.3.1 橫場

外力F產(chǎn)生的橫場,在遠場f=0 滿足Oseen 方程的旋度部分

與馬赫數(shù)無關.可發(fā)現(xiàn)速度的橫分量仍可分解出一個無旋部分

其中χ正是Lamb (1932) 引入的渦量勢(Lamb 的結果僅限于定常二維或軸對稱流),即渦量總可寫成

而χ的尾流積分總等于 2π/k,由此可證,本來針對近場薄尾流建立的 Taylor 判據(jù) (8) 的第三式,在線性遠場也成立.圖1 例示了χ的云圖.對三維流,發(fā)現(xiàn)Gψ沿x正半軸有奇異性

其中Γ(·,·) 是上不完備Gamma 函數(shù).因此ψ也有奇異性.還可得到一個簡單的合力公式

式(22) 是Goldstein (1931) 對不可壓縮流的一個中間結果.博文指出,Goldstein 未能做到底的原因之一是沒能把縱橫分解貫徹到底.

3.3.2 縱場

黏性縱場的基本解既依賴于雷諾數(shù),又依賴于馬赫數(shù)M=U/a,a為遠場恒定聲速.因此,不僅要分別考慮二、三維的解,而且要針對亞聲速、超聲速和近聲速這三個速度范圍分別研究.大體上說,亞聲速遠場的行為和不可壓一致,只差一個變換而且主導效應是無黏的; 超聲速遠場則靠變換的流動聯(lián)系.重要的是,經(jīng)典氣體動力學和高速空氣動力學一直是不考慮黏性的(黏性效應只在附著流邊界層中出現(xiàn)).Cole 和Cook (1986) 在其跨聲速空氣動力學的專著中把無黏遠場做到二階擾動,仍不能發(fā)現(xiàn)其正確的漸近行為.而博文首次證明,跨超聲速的遠場必須是黏性的,否則無法向無窮遠的均勻流光滑過渡.尤其是,線性近聲速遠場僅存在于黏流中.黏性效應表現(xiàn)為參數(shù)

圖1

這里δ稱為聲擴散系數(shù),κ和cp分別是熱擴散系數(shù)和定壓比熱.例如,對二維流,速度勢?可分解成對升力L和阻力D有貢獻的兩部分

其中對超聲速流有

由于Λ ?1,?主要在馬赫波x ?B|z|≈0 附近沿法向有顯著變化(圖2).特別地,阻力勢?d除原點外處處連續(xù),但升力勢?l在跨越x軸時有間斷(注: 雖然升力勢本身在跨越x軸時有間斷,升力勢誘導的速度在x軸附近卻是連續(xù)的,且以指數(shù)衰減速率趨于零).對亞聲速流有

由于黏性不顯含于式(26) 中,亞聲速遠場的主導效應為無黏流動,擾動分布于整個空間(圖3).

圖2

圖3

3.4 統(tǒng)一合力定理與可測合力公式

有了縱橫勢和速度場在遠場的解析表達式,就可得到博文的核心結果:

外無界定常流的統(tǒng)一合力定理.繞任意物體的 n 維黏性可壓縮定常流作用在物體上的合力是

顯然,第一項是垂直于來流的力即廣義的升力,第二項是沿來流的力即阻力.對二維流,式 (27)和不可壓流的經(jīng)典公式(6) 和式(9) 以及式(14) 完全相同.對三維流,由于渦量分布與二維分布有根本區(qū)別,其升力的表達式恰好是二維流的兩倍(并非升力的預測值大了一倍).這些公式與雷諾數(shù)和馬赫數(shù)無關,“Nature would never care these numbers if it could recognize scalar and vector potentials” (Liu 2019).為紀念百年前的先驅(qū),這個定理也可稱為廣義Kutta-Joukowski-Filon 定理,簡稱廣義KJF 定理(Wu et al.2018).

為證明式 (27),用式 (17) 和式 (19) 可得

因為u′和v是正則的,F ·??(G? ?Gψ) 這個勢也是正則的.這可以在計算Γ?時把它從式 (17)第一式中扣除,剩下有效的?′=?F ·?Gψ.另一方面,計算Q時用到的則是F ×?Gψ.所以,只用一個Gψ的解析表達式(21) 就足夠了.結果得到

從而定理得證.

有趣的是,這個證明僅從式(16) 出發(fā)計算Γ?和Qψ,不依賴于前面從合力的邊界積分表示導出的式(14).但比較式(29) 和式(14) 表明,那里的純?nèi)S項剛好貢獻了升力的一半

為何如此,尚無解釋.

遺憾的是,式(27) 雖然理論上精確普適,但u?和uψ都不可測量,無法在實驗和計算中直接檢驗.不過,定理一旦確立,這兩個分速度的特定積分Γ?和Qψ就立即變成“廣義可測” 的了: 對在黏性可壓縮流中產(chǎn)生定常(或時均定常) 流的任何物體,只要測出或算出它所受的升力和阻力,分別除以 (n ?1)ρ0U和ρ0U,就得到Γ?和Qψ了!

當然,最好是找到在什么條件下,Γ?和Qψ可以用直接可測量的積分代替.博文找到了這個條件,那就是式(27) 的遠下游漸近形式: 取屬于Vst的域V,其上游邊界和側邊界退到足夠遠,其下游邊界是一個垂直于來流的遠尾流截面W.則Γψ趨于零且Qψ經(jīng)過分部積分可化為渦量矩在W上的積分QW

它在近場表現(xiàn)為尾流截面上的總焓損失.因此

其中Γ由式(1) 定義.僅對三維流,也可把Γ寫為

為方便用實際測量或計算檢驗這些可測公式,博文基于阻力公式,對達到線性遠場的最小距離給出了量級估計,發(fā)現(xiàn)最難達到的遠場是二維近聲速的橫側方向.所以,超聲速飛機在一萬米高空產(chǎn)生的音爆仍能傳到地面; 翼展的一千倍距離還沒到達線性遠場!

另一方面,盡管可壓縮流尤其是超聲速流有復雜的激波、熵增等來自縱場的過程與結構,反映這些過程的特征量如脹量、溫度、熵等在合力公式中都退到幕后成為隱變量.這是因為,縱過程都能轉(zhuǎn)化為相應的渦量場,它們在下游遠場衰減的比較快,把自身的存在轉(zhuǎn)化成渦量分布的特殊印記(例如,彎曲激波后面產(chǎn)生的渦量場比邊界層尾流渦量寬廣得多,但微弱得多).從而僅留下衰減得最遠的渦量的線性函數(shù).

圖4

圖4 是 RAE-2822 翼型升阻力的計算結果和理論預測的比較,計算參數(shù)是Re= 6.5×106,α=5.0?,詳見文獻Liu 等(2015).實線是翼型表面應力積分算得的值,把它當做理論標準,也就是式(27) 用Γ?和Q預測的值.點狀符號是不同尾流截面位置xW上用式(32) 算得的升阻力.在得到式(27) 之前,曾經(jīng)以為兩者的差是環(huán)量理論固有的誤差,其實那正是Γψ的貢獻.對于升力,可看出,在給定的xW下,Taylor 判據(jù)能滿足到近聲速,一旦出現(xiàn)跨聲速激波后的渦量場,Γψ就有了比較明顯的效應.到超聲速區(qū),由于尾流在斜激波壓制下難以擴寬,Γψ的效應隨馬赫數(shù)增加保持為一個小而有限的值,Taylor 判據(jù)近似成立.但隨xW增大,Γψ在整個速度范圍都很快減弱,證實了式(32) 的預測.

對于阻力,按式(32) 算得的和式(27) 預測的在亞聲速與超聲速區(qū)一致,前者是因為渦量主要來源于邊界層,后者則是由于斜激波的壓制導致渦量都集中于有限區(qū)域.但是在跨聲速區(qū)兩者差別相當大,即使當xW取到400 個弦長時QW也沒有收斂到Qψ,這是因為跨聲速區(qū)的正激波產(chǎn)生的渦量會導致很寬的尾跡.基于線性遠場的最小距離估計,此時線性遠場的橫側距離達到O(108),遠遠大于計算域的尺度.

3.5 方法論特色小結

至此,可以對遠場理論的方法論特色做幾點反思.

3.5.1 理論的線性結構

在所有合力理論中,只有遠場理論得到的升阻力線性地依賴于擾動流場,既精確又簡潔(注:Burgers (1920) 年開創(chuàng)的非定常合力的沖量理論,或許能在簡潔、精確和一般性上與式(27) 媲美.這兩種理論的應用范圍剛好互補.在沖量理論中,合力也具有對渦量矩的線性依賴性,但積分號外還有時間導數(shù)算子,而且推廣到可壓縮流有些局限性,參見Kang 等(2018)).顯然,導致這個突出特色的關鍵是從遠場線性近似出發(fā).為說明這點,對同樣條件下的近場合力公式和遠場公式做個比較.從無黏不可壓公式(5) 出發(fā),經(jīng)過一個恒等式即得Prandtl 渦力公式

此式的被積函數(shù)u×ω即Lamb 矢量(這里忽略負號)代表一個非線性氣動力,它需要速度u和渦量ω共存,而力的方向總和二者垂直,所以不做功.在局部意義下,這種力正是升力的特點.現(xiàn)在可見,若式(34) 中速度的中值是來流速度U,它就立即簡化成線性公式(7).對此,von K′arm′an 和Burgers (1935) 已給出了證明,但他們的方法只適用于二維流.線性表達式不是總能靠中值定理獲得的.式(27) 和式(32) 中的三維升力公式是個嶄新的發(fā)現(xiàn).

類似地,黏性的引入導致一個型阻,可以表示成總壓擾動的尾流截面積分

其被積函數(shù)也是非線性的.對于三維流,式(34) 還有個非線性阻力分量即誘導阻力,它和型阻的和是總阻力.而這個總阻力在式(27) 中卻線性地依賴于Qψ.現(xiàn)已確證,誘導阻力在遠場趨于零,型阻就成為總阻力(Zou et al.2019); 這在遠場理論中表現(xiàn)為QW趨于Qψ.

3.5.2 理論的普適性及其物理根源

可以看到,為使遠場理論具有普遍性,首先要把合力公式里的變量全用運動學變量表示.事實上,式(14) 正是式(5) 對黏性可壓縮流的推廣,其中正應力和切應力都不見了.但到速度這個層次還不夠,還要通過縱橫分解下沉到變量的最底層,即縱橫勢.縱橫分解是個線性運算,當然在遠場理論中能發(fā)揮到極致.結果,由Stokes 定理進而發(fā)現(xiàn),升阻力只涉及縱橫勢特有的多值或奇異部分,它們和積分域的選取無關.進一步的追究表明,這種多值性和奇異性是定常流域Vst必然切割尾流所帶來的特有性質(zhì),而尾流向下游延伸到遠場時僅表現(xiàn)為渦量場.這些相當深刻的發(fā)現(xiàn)表明,徹底的縱橫分解很有助于揭示問題的物理本質(zhì).

在普適理論中,復雜流場有各種非線性過程與結構,例如密度變化、溫度梯度與熵梯度、流動分離、旋渦、激波,乃至黏性系數(shù)對溫度的非線性依賴性,它們對合力是不是都有影響？若有,這些影響如何都能一股腦兒歸結為它們對Γ?和Qψ這兩個運動學量的效應,而且獨立于雷諾數(shù)和馬赫數(shù)? 這是個很深刻的問題,其答案從式(29) 中可以看出端倪.那里,只有一個橫場基本解Gψ最終參與了合力的計算,在不同馬赫數(shù)下有復雜表現(xiàn)的縱場基本解G?并不出現(xiàn),因為單靠前者即足以表達縱橫勢多值性和奇異性對合力的凈貢獻.但G?不出現(xiàn)背后的物理根源,乃是縱橫場在流場內(nèi)部和邊界上的內(nèi)稟耦合造成的.例如,眾所周知,無黏超聲速流中的升力和波阻可以用激波和膨脹波計算出來; 但不僅彎曲激波會產(chǎn)生分布渦量而在遠場留下足跡,由于在黏流中激波的根部伴隨很強的逆壓梯度,它通過黏附條件也可以導致很強的局部邊界渦量流(BVF),因而人們也可以用物面BVF 分布算出同樣的升阻力(Wu et al.2018).

因此,在近場理論中只能通過案例具體分析的事情,在遠場理論中變得簡單明了: 復雜的可壓縮縱場對升阻力只有間接的影響,從而升阻力的公式與不可壓經(jīng)典公式具有完全相同的形式,而不是和某個超聲速馬赫數(shù)如下的公式相同.換言之,升阻力的物理根源業(yè)已完全根植于不可壓黏流之中.這個發(fā)現(xiàn)為Batchelor (1967) 的一個觀點提供了新的證據(jù),他認為不可壓黏性流體處于流體動力學的中心,因為大多數(shù)基本概念在研究有內(nèi)摩擦的流體的有旋流動時都能清晰地揭示出來.

3.5.3 近場非線性在遠場理論中的特殊表現(xiàn)

當然,近場繞流總是高度非線性的.除了非線性渦力外,可壓縮縱場的參與更加強了各種非線性,如見Liu 等(2014).而統(tǒng)一合力定理卻硬是把在近場計算的合力統(tǒng)統(tǒng)表示成對Γ?和Qψ的線性依賴關系.這是個有趣的奇葩: 用線性關系表示非線性物理不是不可能,而是要付出代價,即這兩個量都是不可測的.線性理論的誤差通常是按其與非線性結果的差別來衡量的,但在這里卻是用另兩個不可測量Γ?和Qψ的大小來衡量.自然界就以這種奇特的方式顯示近場非線性的頑強存在性.結果,到了線性遠場,這種“誤差” 的確自然消失了.

4 環(huán)量與升力的物理來源

以上討論了普適理論的方法論特色,現(xiàn)在轉(zhuǎn)向討論環(huán)量與升力的物理來源.在普及的層面上,最近已經(jīng)出現(xiàn)了一些可喜的進步.曾有個長期被國內(nèi)外中學和飛行員教材廣泛采用的“等轉(zhuǎn)移理論”,它在第一次世界大戰(zhàn)結束前在英國曾是唯一被接受的解釋(Ackroyd 2015): 在前緣分手的流體必在后緣匯合,所以在一個有攻角或非對稱的翼型上,上翼面流體跑得比下翼面快,于是根據(jù)Bernoulli 定理,上翼面壓力低于下翼面,而產(chǎn)生了升力.但是,Panton (1984) 在其不可壓流教材中最早給出了CFD 的結果,表明在前緣分手后,下翼面流體到達后緣之前,上翼面流體早已跑到尾流里去了,上下表面速度差比“等轉(zhuǎn)移” 規(guī)定的大得多.這個結果見諸更多書刊和網(wǎng)絡之后,人教版中學《物理》課本8 年級下冊在2020 年版消除了2019 年版上“等轉(zhuǎn)移” 的觀念.但是這只消除了為何上表面流動快的一個錯誤解釋,卻不能提供任何改進的解釋.其實,整個問題的難點就在這里.這個例子表明,必須在專業(yè)層面上做出徹底澄清,才有可能產(chǎn)生有說服力的普及文章,消除那些錯誤的假說.

《科學美國人》質(zhì)疑升力來源的文章(Regis 2020)開頭就說: “從嚴格的數(shù)學層面上講,工程師們知道如何設計能在高空中飛行的飛機,但數(shù)學公式并不能解釋氣動升力產(chǎn)生的原因.” 這句話或許道出了關于升力來源的種種假說最有代表性的動因: 不否認業(yè)已被實踐證明的升力公式,但不相信它背后的物理.下面將依據(jù)這個判斷展開討論.該文沒說“嚴格的數(shù)學層面”上能用來設計飛機的“數(shù)學公式” 是什么,但最有資格的公式莫過于人們最熟知的經(jīng)典的L=ρUΓ了,可以將它稱為“空氣動力學的F=ma”.它對升力的正確預測已被無數(shù)實驗證實,圖5 為其一例.圖中攻角大于α=12?時理論預測與實驗測量之間的偏差不是KJ 公式有誤,而是流動分離使Γ值偏離了小攻角線性近似.既然它現(xiàn)在已被推廣成定常升阻力普適理論,基于它的論證應當最有說服力;而根據(jù)升力對環(huán)量的線性依賴性,應能以最簡單的方式直擊問題的本質(zhì).

因此,下面就以這個KJ 公式為基礎來討論升力的物理來源.稱沿這個思路展開的解釋為“環(huán)量解釋”,它其實是正統(tǒng)解釋; 而把不理睬KJ 公式的解釋或假說稱為“非環(huán)量解釋”.上面既然已經(jīng)觀察到升阻力的物理根植于不可壓黏流之中,下面討論不可壓二維流就夠了.可以看到: 正統(tǒng)的環(huán)量解釋一路走來并非無隙可乘,仍需要繼續(xù)加以完善,難怪對升力來源有那么多不同的聲音.本文在這里盡可能給出完整的邏輯鏈條,其理論細節(jié)均可在Wu 等(2015) 中找到.本節(jié)內(nèi)容的最初版本,是本文第一作者代表另外兩位以及朱金陽、鄒舒帆博士,在大連理工大學航空航天學院所作的報告《升力的來源》(2014 年9 月3 日).

圖5

4.1 無黏勢流: 正確卻神秘的環(huán)量

討論從無黏勢流入手,升力由原始的Joukowski 環(huán)量公式 (6) 決定.Joukowski 曾構造了后緣角為零的Joukowski 翼型,并將其保角變換到有旋轉(zhuǎn)的圓柱繞流,按后緣Kutta 條件決定了翼型環(huán)量(等于旋轉(zhuǎn)圓柱繞流的環(huán)量),導出了升力隨攻角和翼型厚度變化的正確規(guī)律.在這個勢流圖景中,只能設想環(huán)量來自翼型內(nèi)部一個假想的渦.這個渦是否真實存在? Prandtl 及其學生做了著名的實驗.他們根據(jù)環(huán)量守恒斷定,一個突然啟動的機翼一旦獲得環(huán)量和升力,一定甩下一個環(huán)量等值反號的“啟動渦”,這個渦完全待在流體中,可以直接顯示出來(圖6).于是人們從啟動渦的直接觀察可以推斷出機翼環(huán)量即升力渦的存在.這個實驗迄今仍被大多數(shù)教材視為證明升力環(huán)量存在的經(jīng)典證據(jù).

但是,式(6) 一出現(xiàn),就首先在頂尖學者尤其是在英國和歐洲大陸的學者之間,引起很大爭議(Darrigol 2005,Bloor 2011).英國學者包括Rayleigh,Lamb,Kelvin 等人,都不相信式(6).他們的基本理由是: 根據(jù)Kelvin 環(huán)量定理,機翼不可能無中生有地產(chǎn)生環(huán)量.有趣的是,正是Kelvin (1869)建立了環(huán)量的概念和守恒定理,正是Rayleigh (1878) 研究了旋轉(zhuǎn)圓柱繞流以解釋如何擊出能曲線飛行的網(wǎng)球.對于升力渦和啟動渦的實驗解釋,英國學者Jeffreys 反駁說: 從啟動渦推斷翼型環(huán)量,需要用到剛剛違反了的Kelvin 定理,所以錯用了兩次,而錯了兩次不等于對了一次.

然而,Prandtl 的哥廷根團隊最關切的是推進新興航空科學的發(fā)展,率先取得突破、擴大戰(zhàn)果,并應用于飛機設計,而不是坐而論道,使有關理論的各方面都完備化.他們依據(jù)KJ 定理建立了薄翼型線化理論和細長體理論,發(fā)展了三維機翼升力線理論,到1918 年奠定了經(jīng)典低速空氣動力學的基礎.而英國航空空氣動力學的發(fā)展則從1906 年算起遲滯了約20 年.史家高度評價Prandtl 學派的貢獻,他們在分析這場爭論時說: “Rayleigh,Lamb 和Kelvin 對流體力學了解太多,以致無法想象繞機翼的環(huán)量是升力的主要原因.兩個獨立地撞到這個想法的人則缺乏理論物理的訓練.他們一個是工程師,另一個是年輕的數(shù)學家.” (Darrigol 2005)“英國將空氣動力學交給數(shù)學物理學家,而德國人則將空氣動力學交給數(shù)學精湛的工程師.” “······在劍橋 Tripos (注: 約指劍橋大學特有的一套計算成績和考核的方式)的基礎上發(fā)展出的數(shù)學物理文化和德國技術學院發(fā)展出的技術力學文化之間存在著差異.” (Bloor 2011).

圖6

不過,現(xiàn)在可以反思了.哥廷根學派維護的環(huán)量解釋的確留下了理論的短板.在無黏流假設下,KJ 公式確是違反Kelvin 環(huán)量守恒定理; 假想的渦找不到現(xiàn)實載體; 也不能認為Prandtl 對啟動渦的實驗觀察就是對升力起源的完備解釋,它就像在陽光下從一個人的影子推斷這個人出現(xiàn)了一樣,并不回答環(huán)量從哪里來.

為了理解無黏流中的環(huán)量概念何以不可能令人滿意,需要回顧它最基本的性質(zhì).在嚴格的無黏流模型中,在同一個邊界條件下,Euler 方程的解不唯一.兩層沿同一方向運動的流體,能以不同的速度運動,它們之間允許相對滑移即切向速度間斷,只要壓力連續(xù).在沿物面運動的流體和物面之間也是如此(Bernoulli 常數(shù)可以僅沿每一層不變).在這個圖景中,翼型的環(huán)量無非是物面上速度切向間斷的回路積分,由來流條件、翼型形狀和Kutta 條件唯一地確定.結果必然導致零阻力這個D’Alembert 佯謬(第2.4 節(jié)已提到,這個結果已經(jīng)被嚴格地推廣到亞聲速可壓縮勢流).這種切向間斷是一種物質(zhì)形態(tài)嗎? 在嚴格無黏理論中不是,因為間斷面沒有流體質(zhì)點.遺憾的是,這種觀點一直延續(xù)到現(xiàn)代,如見Baker (1982).據(jù)此,談論切向間斷自身的演化是毫無意義的.但如果不是物質(zhì)載體,KJ 公式里的環(huán)量還是物質(zhì)的嗎? 倘若不是,它提供升力的機制當然就難以置信了.

4.2 無黏有旋流: 升力與環(huán)量的來源之謎

對無黏勢流模型的第一個改進是進入有旋流.這時Bernoulli 積分就不好用了,流體的壓力和動能之間沒有那樣簡單的關系了.Kelvin 在其經(jīng)典論文(Kelvin 1869,p.225) 中曾對旋渦(vortex)下了定義: “I now define a vortex as a portion of fluid having any motion that it could not acquire byfluid pressure transmitted through itself from its boundary.” 意思是,旋渦是一部分可任意運動的流體,該運動并非從其邊界傳過來的流體壓力所致.Kelvin 這個渦定義是否合適另當別論(吳介之和楊越2020),但他這段話清楚地指出了有旋流不能簡單地用Bernoulli 的速度–壓力關系來描述.事實上,Euler,Lagrange 和 D’Alembert 在 18 世紀中葉建立 Euler 方程時就考慮過有旋流.不可壓Euler 方程的旋度就是渦量方程

當時,他們立即看到,對于ω= 0 的無旋流,Euler 方程可以立即積分一次得到 Bernoulli 方程,從而找到解;但有旋流的解不好找.所以這三位先驅(qū)都傾向于只研究無旋流就夠了,結果把渦運動的研究推遲了一個世紀.尤其是,Lagrange (1781) 提出了一個勢流定理: 如果u和ω有任意階時間導數(shù) (解析性),則若t= 0 時流動無旋,它將永遠無旋.對式(36) 求逐階升高的時間導數(shù),利用其齊次性就能證明定理.后來Cauchy 在1815 年進一步把這個勢流定理落實到每個流體質(zhì)點(參見Truesdell 1954,Frisch & Villone 2014).當Helmholtz (1858) 和Kelvin (1869) 開創(chuàng)渦運動研究的時候,他們不管渦量的來源,只在承認有旋流業(yè)已存在的前提下建立理論.Helmholtz 三個渦量管定理和Kelvin 的環(huán)量定理實際上是Lagrange-Cauchy 勢流定理對有旋流的直接推廣.

在這個模型里,無黏有旋流模型仍然允許切向間斷,KJ 升力理論中的環(huán)量要受到所有這些定理的制約.但根據(jù)這些定理,翼型在無黏流中的運動無法產(chǎn)生環(huán)量,也無法解釋啟動渦的渦量從哪里來.

4.3 黏性有旋流: 升力與環(huán)量的物理載體

如果流體完全沒有黏性,人們會感覺不到水是濕的(Goldstein 1969),費曼在其《物理學講義》中稱之為“干水”.清風吹到臉上不會覺得涼快,因為沒有熱交換.陸士嘉先生的名言“流體經(jīng)不住搓,一搓就搓出了渦” 也不靈,因為這時“一搓就滑”,根本搓不出渦,只有滑移.即使有渦,也是來歷不明.其實,從不可壓NS 方程

可以看出,與代表正應力的壓力相反;代表切應力的渦量內(nèi)稟地和黏性共存,這才是陸士嘉先生說的“一搓就搓出了渦”.只是在Helmholtz-Kelvin 時代人們已經(jīng)知道,如果ω=O(1),那么對水和空氣來說μω項可以忽略,符合無黏渦運動理論的描述.

升力的正統(tǒng)解釋也只有進入黏性流動才能轉(zhuǎn)入坦途,黏性來自伴隨流體分子無規(guī)碰撞的動量交換與動能交換,不管它有多小.其作用之一是抹光無黏流模型中所有內(nèi)部和邊界上的間斷,把切向間斷變成光滑的有旋流.Prandtl 的邊界層理論回答了D’Alembert 佯謬,也揭示出機翼環(huán)量的物質(zhì)載體就是邊界層.形象地說,在黏流中的機翼不是“裸”的,而總穿著一層緊身的邊界層衣服,機翼的環(huán)量完全來自這層衣服.這層衣服在機翼啟動時滑落到尾流,在自身誘導下卷成集中渦,就是啟動渦.于是升力環(huán)量和啟動渦的物質(zhì)載體都落實了.一架A380 客機,滑跑到U=80 m/s 就能騰空而起,加速到250 m/s 就能持續(xù)巡航.托舉著將近600 t 的重量,而發(fā)動機的全部做功只是為了克服阻力以保持式(7) 中的速度U.這樣巨大而節(jié)能的升力,居然全部來自機翼周圍幾公分厚的邊界層里的凈渦量! 這個匪夷所思的圖景,卻是已被無數(shù)CFD 算例所直接確認的事實,圖4 所示僅為其一例.

第一次世界大戰(zhàn)結束后,英國學者到哥廷根的訪問促成了他們從無黏流轉(zhuǎn)向黏流.1926 年出現(xiàn)了對黏流證實式(7) 的實驗和理論解釋,出現(xiàn)了Filon 阻力公式.批評過無黏流啟動渦解釋的 Jeffreys 也轉(zhuǎn)向基于 NS 方程的升力研究.還出現(xiàn)了Glauert 關于空氣動力學的第一本經(jīng)典英語教材(Glauert 1926).Glauert 到哥廷根和Prandtl 合作過,熟知其邊界層理論,是英國唯一堅定支持Prandtl 學派的學者.盡管書中介紹的Prandtl 升阻力公式?jīng)]有黏性項,表面上是“無黏” 的,但Glauert 強調(diào):環(huán)量理論的物理基礎是黏性流動,表面無黏的氣動力公式成立的條件是黏性系數(shù)μ→0 但μ=0,而不是嚴格無黏流假設的μ≡0.這是翼型上的邊界層在Re →∞下的漸近近似,稱為面渦(vortex sheet),這個概念是Helmholtz 首先引入的.此時邊界層和尾流剪切層的厚度趨于零,而層內(nèi)的渦量趨于無窮大,保持其法向積分為有限值即面渦強度

其中[[u]] 是速度間斷,在物面上即外部無旋流和物面速度之差.可見,面渦是物質(zhì)的而絕不是非物質(zhì)的切向間斷,是邊界層和自由剪切層在無需考察摩阻和層內(nèi)流動時的簡化模型,它能忠實地保持有限厚度邊界層和自由剪切層內(nèi)的總渦量,也就是環(huán)量.于是在Taylor 判據(jù)滿足的條件下,記機翼表面為?B,機翼攜帶的環(huán)量就是

至此,還需回答: 對于黏流,Kelvin 定理變成什么樣了? 用以從啟動渦推斷升力渦存在的總環(huán)量守恒還能成立嗎?

準確地說,Kelvin 環(huán)量定理說的是: 任何同一組流體質(zhì)點構成的物質(zhì)渦量管,其環(huán)量不僅在空間上守恒,也在時間上守恒.但定理是有條件的: 流體無黏、正壓、體積力有勢,亦即一般意義下Bernoulli 積分存在的條件.黏性的出現(xiàn)破壞了環(huán)量的守恒性,它可以從無到有地產(chǎn)生或從有到無地消失.總渦量守恒則是另一回事.在Kelvin 時代它被看做是一般環(huán)量守恒的一個特例,只是到晚近才被從Kelvin 環(huán)量守恒中分離出來.現(xiàn)在知道,在無窮遠流體靜止的無界空間V∞中,對三維流,總渦量為零; 而對二維流,總環(huán)量的時間導數(shù)為零.即

這個結果是普適的,對黏流也成立(三維總渦量為零是渦量無散的直接結果,二維總環(huán)量的時間不變性是吳鎮(zhèn)遠(Wu 1982)首先證明的).因此,當年英國大師們反對KJ 公式和Prandtl 實驗的理由,就都不成立了.

應當說明: 升力來自邊界層里的渦量這個論斷,本來是邊界層理論不言自明的結果,但卻已經(jīng)超出 Prandtl 時代正統(tǒng)解釋的范圍.從 1984 年的一篇科普文章起 (吳介之 1984),本文第一作者曾在不同場合和著作中闡述過這個論斷,但十幾年前,當他和日本一位著名流體力學家討論環(huán)量的物理載體問題時,那位教授很熟悉 Prandtl 的實驗解釋,但覺得升力來自邊界層的解釋很新鮮,這反使筆者驚訝了.不過,現(xiàn)在這個論斷的確正在被越來越廣泛地接受了.到2015 年,英國空氣動力學史家 Ackroyd 寫出了幾乎和 Wu 等 (2006) 相同的論斷: “Thus it is that the streamlined airfoil,through its enforcement of separation solely at the trailing edge,through viscous action creates a fixed and steady amount of fluid vorticity in its boundary layers,which in turn generates the overall circulation and hence lift.We fly,therefore,courtesy of the air’s very small viscosity,a fact which seems near-miraculous when we consider that even the smaller modern airliners possess weights equivalent to a dozen or more double-decker buses.”

4.4 升力與環(huán)量產(chǎn)生的因果鏈

為把黏性有旋流的環(huán)量解釋貫徹到底,還需要回答一個關鍵問題: 機翼上的渦量和環(huán)量是如何產(chǎn)生的? 產(chǎn)生過程的物理因果性如何? 換言之,機翼上渦量的源是什么?

能夠影響渦量場演化的物理機制不止一種,源是最強的一種,無中生有謂之源,即在本來渦量為零的環(huán)境里產(chǎn)生渦量.源及其生成物之間的關系是動力學的因果關系,可以追溯到局部過程,有時間順序可以辨認.運動學的共存關系如速度 – 渦量關系或動力學的作用 – 反作用關系 (如升力– 下洗關系),都不屬于因果關系.順便提一下,升力– 下洗關系也是升力非正統(tǒng)解釋的論點之一,對其評論見Wu 等(2015,pp.294-295).眾所周知,在流場內(nèi)部,非保守體力?×f和流動的斜壓性如?T ×?s都是渦量源,其中f是單位質(zhì)量的體積力,T和s是渦量和熵.一旦把它們加到式(35) 的右邊,方程就是非齊次的,Lagrange-Cauchy 勢流定理的條件就不成立了.對黏性流體,此式還有擴散項ν?2ω,但它不是源.

現(xiàn)在,回到上面討論的無外部體力的不可壓黏性有旋流,其方程沒有源項.表面上看,Lagrange-Cauchy 勢流定理仍然成立,但在實際流動中渦量確實在不同場合會無中生有地出現(xiàn).即使在Helmholtz (1858) 的時代也知道,能夠在一個管道的一端通過壓力脈沖而在另一端噴出一個圓渦環(huán)來,成為他建立渦環(huán)理論的依據(jù).可以把這個理論與實際的矛盾稱為 Lagrange 佯謬.如果說,D’Alembert 佯謬追問的是阻力的物理載體,Prandtl 對它的回答是邊界層里的渦量,但他并沒有指出其生成的因果關系; 那么Lagrange 佯謬追問的就是該載體的源—— 它既導致阻力,也導致升力,后者是更深層次的佯謬.

Lagrange 佯謬對歷代頂級學者的困擾比 D’Alembert 佯謬更久.邊界層理論問世后半個世紀,Truesdell (1954) 在其專著中介紹了圍繞這個佯謬的歷史爭論(在那里稱之為渦量場的非解析性),并感嘆道: “更驚人的是,教科書、專著和最近的論文都在重復早先作者們的錯誤,這顯然表明: 渦量在黏性流體中的產(chǎn)生尚未得到完全的理解.” 事實上,到那時只缺臨門一腳了.

這臨門一腳是Lighthill (1963) 踢出的.考慮不可壓NS 方程(36) 在(x,z) 平面上的分量形式,將其用到靜止平板表面.流體速度的黏附性意味著加速度也有黏附性,所以只剩下法向力和切向力的平衡

第一式表明切向壓力梯度導致渦量的法向擴散率.平板下方?jīng)]有渦量,若有渦量進入流場必是在物面上新產(chǎn)生的,此式右邊代表渦量的產(chǎn)生率.Lighthill (1979) 用圖7 簡明地闡明了這個機制,關鍵是黏性使得小球不能滑動而只能滾動.這是一個局部的無中生有的因果過程,壓力梯度是因,渦量產(chǎn)生是果,因為壓力是平衡態(tài)熱力學量,黏性擴散則反映從一個局部平衡態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個局部平衡態(tài)的過程,其建立比壓力晚幾個分子碰撞的時間.由于?xp=O(1),ν?zω必是同量級,黏性越小,渦量梯度就越大.

圖7

這個圖景表示,渦量和壓力在邊界上的耦合使得渦量的演化不滿足齊次方程的規(guī)律,Lagrange-Cauchy 勢流定理無效,渦量可以無中生有地由壓力梯度產(chǎn)生.整個邊界層里的渦量都是這樣來的(無壓力梯度的Blasius 邊界層中的渦量來自前緣).式(41) 已被人們擴展到三維可壓縮流體經(jīng)過任意運動固體表面的情形,構成了完整的邊界渦量動力學(參見Wu 等(2018) 的述評).

值得注意的是,Lighthill 關系(41)并不出現(xiàn)在流場內(nèi)部的渦量方程中,所以在此前180 年關于渦量“非解析性” 的爭論中被忽略掉了; 而通常的速度– 壓力表述只需要速度黏附性的邊界條件,人們雖然知道式(41),卻僅把它列為“相容性條件” 之一(Schlichting & Gersten 2000) 而未予重視.“上窮碧落下黃泉,兩處茫茫皆不見”.僅當需要考慮速度– 渦量表述時,因為渦量方程比動量方程高了一階,需要補充附加邊界條件以消除升階可能帶來的偽解,式(41)才進入人們的視野.這很可能是為什么Lagrange 佯謬的解決經(jīng)歷的時間跨度比D’Alembert 佯謬還要長的一個理論原因.而且,Lighthill 關系迄今也只在少數(shù)教材和專著中得到反映(最早的教科書又是Panton 1984).可是Lighthill 本人很看重式(41).他為國際物理學界回顧20 世紀物理學成就的多卷本文集中寫了《流體力學》一章,在述評20 世紀流體力學進展時再次引用圖7 (Lighthill 1995),就是明證.

還應指出,由于關注的一直是定常流,而不可壓定常流是流動業(yè)已達到平衡態(tài)時的形態(tài),其主控方程是橢圓型的,不能據(jù)以清晰地分析過程的因果順序.結果,在研究機翼環(huán)量來源的因果鏈中,Lighthill 關系(41) 是唯一能辨識的一環(huán),而且是靠分子運動論辨識的.如果要考查整個因果鏈,就必須轉(zhuǎn)向非定常流.典型的例子是一個加速啟動翼型流動中壓力梯度的出現(xiàn),邊界層的建立及其分離,分離泡的形成、移動與消失,Kutta 條件(在黏流中表現(xiàn)為特定物理事件)的建立和機翼環(huán)量與啟動渦形成等等過程,是個很復雜的非定常分離流問題.這個問題已由Zhu 等(2015) 做了深入研究,這里只對決定定常流環(huán)量大小的Kutta 條件做個簡要說明.

因為無黏勢流理論不僅允許間斷,也允許速度場有奇異性,Kutta 條件最初是人為引進的關鍵假設.但在黏性有旋流中,它應從外加的假設轉(zhuǎn)變成某個自然的動力學事件.對此,人們曾提出多種物理事件做為表述Kutta 條件的選項.Zhu 等(2015) 列舉了5 種(前面提到的Taylor 判據(jù)是其一),并在翼型啟動的非定常過程中逐一辨認出這些不同事件發(fā)生的時間.他們的研究表明,只有von K′arm′an 和Burgers (1935) 提出的表述是個在特定瞬間發(fā)生的事件: 上翼面附著分離泡在那一瞬間消失,流動完全附著,后駐點與翼型后緣重合(參考圖8).它是翼型啟動后下表面流動經(jīng)后緣經(jīng)分離泡向上游折轉(zhuǎn)到改為順流而下的分界,精確地標志著后緣開始甩出啟動渦,翼型開始獲得環(huán)量.Kutta 條件的這個表述得到了 Batchelor (1967) 的認同.不過 K′arm′an 和 Burgers 的表述中的一個狀語“在最終的定常態(tài)下”可刪,因為事件發(fā)生時流動仍然高度非定常.其他表述對應的事件發(fā)生時間都比K′arm′an-Burgers 事件晚,而且無法做準確的時間認定.

圖8

4.5 環(huán)量與升力來源的小結

升阻力來源的正統(tǒng)解釋也有坎坷的歷程.Prandtl 學派在最初的無黏流框架內(nèi)給出的解釋難以在理論上自圓其說,為各種非正統(tǒng)假說開了方便之門.它們的共同特點就是摒棄環(huán)量,試圖回到速度– 壓力表述,并只用Bernoulli 定理去解釋神秘的升力.但這是不可能成功的.

只有黏性有旋流模型能在保障環(huán)量理論健康發(fā)展的同時提供它的正確物理解釋,即機翼的環(huán)量來自其邊界層中的渦量.但是,很多現(xiàn)代空氣動力學教材過分簡單地照搬Prandtl 學派的早期著作,把KJ 定理當做嚴格無黏理論來講,對升力的解釋還停留在不自洽的狀態(tài),那也是不可能說服人的.這不僅是落后于時代,甚至是落后于Glauert(1926)了.從無黏無旋流到無黏有旋流,再到有黏有旋流,從升力環(huán)量的確認到其物質(zhì)載體的確認,再到其因果來源的確認,每一步進展都來之不易.在正確理論建立之后一個世紀的今天,再次呼吁廣大流體力學、空氣動力學專家和教師,共同為傳播升力來源的科學理解而繼續(xù)努力.

5 結論與展望

博文提出的定常升阻力普適理論,標志著遠場理論方法完成了向黏性可壓縮流的發(fā)展.在定常流范疇內(nèi),各種刻畫復雜流動結構與過程對合力影響的不可壓或可壓縮近場理論,有了一個用遠場方法得到的統(tǒng)一、簡潔、精確的對應物,表明升阻力能夠分別僅用勢流環(huán)量和有旋流函數(shù)的多值性或奇異性表示成普適的線性公式.這兩個不直接可測的運動學量和可測的物理環(huán)量–流函數(shù)的差別,是流動固有非線性的特殊表現(xiàn).所得公式和不可壓黏流完全相同,說明產(chǎn)生升阻力的物理機制完全源于不可壓流.可壓縮流中縱場的各種特殊過程和結構對合力的影響,在線化遠場都能通過流動固有的縱橫耦合機理轉(zhuǎn)化成僅用橫場即渦量場表示的形式.

近場理論的奠基距今已有百年,到1980 年代出現(xiàn)了很多新的表述,至今也已經(jīng)持續(xù)發(fā)展了三十余年.在低速流動中,已經(jīng)形成了部分關于復雜流動力和力矩的理論公式,并被應用到復雜的工程流動中.然而,可用于研究魚游和鳥飛等強非定常流動的近場理論還有待進一步探索.與低速空氣動力學相反,黏性可壓縮流體的高速空氣動力學理論在很長一段時間內(nèi)沒有太大的進展,相關的系統(tǒng)理論工作也是最近幾年內(nèi)才開始摸索,目前還亟需廣泛的實驗或數(shù)值驗證.此外,遠場理論和近場理論如何實現(xiàn)光滑銜接、相應的實驗和數(shù)值檢驗如何實施,都需要未來的繼續(xù)努力.

定常升阻力普適公式只能在黏性有旋流動中得到,因此對升力物理來源最簡潔的環(huán)量解釋,也只能在黏性有旋流中獲得自洽的理解,即提供機翼升力的環(huán)量完全來自機翼邊界層中的凈渦量.而這些渦量都是切向壓力梯度經(jīng)物面黏附條件搓出來的.任何撇開黏性和有旋流的非正統(tǒng)解釋都不可能成功.向非專業(yè)讀者闡釋升力的這個物理來源,仍是流體力學和空氣動力學界不可推辭的重要任務.

致謝國家自然科學基金資助項目(11472016,91752202).