羅黎明

摘 要：傳感器和執(zhí)行器復(fù)雜的磁滯特性導(dǎo)致了輸出、輸入變量之間的非線性和多值映射。針對這種復(fù)雜的磁滯非線性，本文基于改良的Prandtl-Islinskii方法對其進行建模和補償。實驗結(jié)果驗證了這種新的建模和補償方法可以有效解決執(zhí)行器中的磁滯非線性問題。

關(guān)鍵詞：執(zhí)行器;磁滯非線性;Prandtl-Ishlinskii算子;非線性誤差

由于硅在傳統(tǒng)機械材料的加工領(lǐng)域中取得了顯著的進展，因此微機電系統(tǒng)的應(yīng)用越來越廣泛。微型化是作為微機電系統(tǒng)技術(shù)的主要特征之一，它除了要求傳感器要小型化外，還要求執(zhí)行器具有較高的能量密度，這可以讓執(zhí)行器在尺寸很小的情況下獲得足夠大的力[1]。但是，在控制過程中執(zhí)行器與傳感器之間存在復(fù)雜的磁滯非線性，這就導(dǎo)致了執(zhí)行器的輸出變量和輸入變量之間存在非線性和多值映射[2]。

磁致伸縮執(zhí)行器，壓電執(zhí)行器和電磁執(zhí)行器的磁滯特性如圖1所示，圖中s為位移，U為電壓，I為電流。從圖中可以看出每個執(zhí)行器相應(yīng)的輸入變量和輸出變量之間都存在非線性和多值映射的關(guān)系，并且各個執(zhí)行器之間的磁滯特性還各不相同[3]。對于這種復(fù)雜的磁滯非線性，本文采取改良的Prandtl-Ishlinskii方法進行非線性的建模和補償器的設(shè)計，并且通過實驗證明這種新的建模和補償方法能夠解決執(zhí)行器中復(fù)雜的磁滯非線性。

1 建模和補償

在數(shù)學(xué)中，常把磁滯非線性的表示方法等同于“速率獨立記憶效應(yīng)”。這意味著具有滯后性系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于輸入信號的現(xiàn)值，還取決于它們的振幅順序，特別是它們的極值，但是不取決于它們過去的速率。圖1所示的與速率無關(guān)的分支轉(zhuǎn)移特性是具有滯后非線性的典型標志，其可以分為兩類。在第一類中，磁滯非線性具有局部存儲結(jié)構(gòu)，這意味著輸出的當(dāng)前值僅取決于輸入的當(dāng)前值和一個極值。但是，幾乎所有基于智能材料的傳感器和執(zhí)行器中出現(xiàn)的磁滯非線性都具有非局部或復(fù)雜的存儲結(jié)構(gòu)，因此他們都屬于第二類情況。在這種情況下，輸出的當(dāng)前值不僅取決于輸入的當(dāng)前值，而且還取決于過去輸入的一個或多個極值[4]。這種復(fù)雜的存儲結(jié)構(gòu)可能會使得閉合的主循環(huán)和次循環(huán)在輸入信號相同方向的分支處相交。

對執(zhí)行器中出現(xiàn)的復(fù)雜磁滯非線性問題，起初主要采用Prisach滯后算子其進行建模和補償，并采用逆前饋控制的方法。但使用Prisach滯后算子的主要缺點是一般情況下Prisach滯后算子的補償器需要進行數(shù)值計算，不適合實時應(yīng)用。因此，最近的研究也提到了采用Prandtl-Ishlinskii滯后算子對非線性問題進行建模和補償。在初始狀況下：

對于初始時間為t0的輸出信號，滯后算子與輸出的獨立初始值y0∈R有關(guān)，并由其閾值參數(shù)rH∈R+0來表征。圖2顯示了該滯后算子不受速率影響的輸出-輸入軌跡。

Prandtl-Ishlinskii滯后算子的閾值離散形式為：

與Preisach滯后算子相比，使用Prandtl-Ishlinskii滯后算子的主要優(yōu)點是，Prandtl-Ishlinskii滯后算子的模型復(fù)雜度降低[5]，并且可逆的Prandtl-Ishlinskii滯后補償器也為Prandtl-Ishlinskii滯后算子類型，這意味著可以利用權(quán)重、閾值和初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)律進行分析計算。但是使用Prandtl-Ishlinskii進行建模有一個最主要的缺點，是對實際復(fù)雜執(zhí)行器的磁滯非線性往往存在著很強的限制。

克服這些限制的一個直觀想法是將滯后算子與連續(xù)的、非凸的以及非對稱的無記憶非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)在一起[7]。這就引出了改進的Prandtl-Ishlinskii方法，該方法使用了一種特殊的無內(nèi)存非線性建模技術(shù)。改進的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子由Prandtl-Ishlinskii滯后算子和Prandtl-Ishlinskii疊加算子組成[6]。Prandtl-Ishlinskii疊加算子是基于函數(shù)定義的所謂單側(cè)死區(qū)算子的加權(quán)疊加。

在相應(yīng)輸出信號和輸入信號的現(xiàn)值之間，這個疊加算子也完全由閾值參數(shù)rS∈R來描述。圖3顯示了該疊加算子在不同閾值下與速率無關(guān)的輸出-輸入軌跡。

Prandtl-Ishlinskii疊加算子的閾值離散形式為：

對于Prandtl-Ishlinskii的滯后算子H和疊加算子S[6]，改進后的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子由以下公式定義：

因此，改進的Prandtl-Ishlinskii方法允許對具有非對稱回路的可逆復(fù)雜滯后非線性進行一致的建模和補償。

2 實驗仿真分析

在本節(jié)中，將通過補償圖1中3種執(zhí)行器的非線性來驗證改進后Prandtl-Ishlinskii方法的性能。例如，圖1（b）中壓電執(zhí)行器的磁滯特性顯示出很強的磁滯分支，并且從奇對稱到原點的偏差很小。在這種情況下，可以使用帶有8個滯后算子和6個單邊死區(qū)算子的改進后的Prandtl-Islinskii磁滯算子，來很好地補償壓電執(zhí)行器的非線性。但是，圖1（c）中的電磁執(zhí)行器的磁滯特性顯示出較弱的磁滯分支，并且從奇對稱性到原點的偏差很大。在這種情況下，可以使用具有6個滯后算子和24個單側(cè)死區(qū)算子的改進的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子，來補償電磁執(zhí)行器的非線性。最后，圖1（a）中磁致伸縮執(zhí)行器的磁滯特性顯示出很強的磁滯分支以及從奇對稱到原點的強烈偏差。在這種情況下，可以使用具有14個滯后算子和14個單側(cè)死區(qū)算子的改進的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子，來補償磁致伸縮執(zhí)行器的非線性。

在圖4中，改進的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子的分支顯示為黑線，相應(yīng)的精確逆算子顯示為灰線，它們是執(zhí)行器的磁滯特性來確定。我們定義的執(zhí)行器非線性誤差e可以通過下面公式計算。

在下表中，我們列出了三種執(zhí)行器使用改進的Prandtl-Ishlinskii方法得到的非線性誤差，并且與最佳的線性逼近相比較（n=0，l=0），其中n表示滯后算子，l表示雙側(cè)死區(qū)算子[8，9]。

與最佳的線性逼近相比，使用改進后的Prandt-Islinskii方法可以將磁致伸縮執(zhí)行器的非線性誤差降低約20倍，壓電執(zhí)行器的降低約15倍，電磁執(zhí)行器的降低約40倍。

3 總結(jié)

本文證明了利用改進的Prandtl-Ishlinskii方法可以對磁致伸縮執(zhí)行器，壓電執(zhí)行器和電磁執(zhí)行器的復(fù)雜磁滯非線性問題進行建模和補償。在磁滯特性不同的情況下，非線性誤差至少可以減少約15倍，這使得上述3種執(zhí)行器的非線性問題能夠很好地解決。

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