蔡靜

摘要：類比推理是合情推理，具有或然性。小學生以具體形象思維為主，容易忽視或然性，出現(xiàn)錯誤。教師在引導學生感悟類比推理或然性的同時，更要抓核心問題、融演繹推理、引深度思考，促使學生的思維從表層到實質、從形似到神似、從低階到高階。

關鍵詞：類比推理;或然性;核心問題;演繹推理;深度思考

一、緣起：真的可以這樣“以此類推”嗎？

筆者執(zhí)教六年級時發(fā)現(xiàn)，學生在解答“甲比乙多14，則乙比甲少幾分之幾？”這樣的問題時，錯誤率較高。大部分學生會認為答案是14。學生的主要觀點是“甲比乙多多少就是乙比甲少多少”“兩個數相差的一樣多”。不少教師會從單位“1”的角度向學生解釋，強調這樣的分數關系不能簡單地畫等號。學生當堂能聽懂，但過幾天又會回到原來的想法，出現(xiàn)相同的錯誤。一次，筆者采訪一位學生：“你是怎么知道甲比乙多14就是乙比甲少14的？”學生很自信地回答：“這很容易推理的。兩個數比較，相差的部分是不變的，那理所當然，甲比乙多幾分之幾就是乙比甲少幾分之幾。”筆者再追問：“真的是這樣嗎？”學生沒有陷入思考，脫口而出：“我們在一年級時就知道，甲比乙多4個就相當于乙比甲少4個，這里不就是以此類推嗎？”

原來，學生在思考這類問題時，并沒有進行嚴密的思考，而是不管三七二十一，將已有的認識經驗類推到新的問題上來。真的可以這樣“以此類推”嗎？

二、思考：類比推理的或然性

這里的“以此類推”實際上就是類比推理，是根據兩個或兩類不同對象的某些方面（如特征、屬性、關系等）相同或相似，推導或猜出它們在其他方面可能相同或相似的思維形式。類比推理的客觀基礎就是事物系統(tǒng)之間各屬性的普遍聯(lián)系以及這些聯(lián)系之間存在的相似性和可比較性，只要兩個對象有某個方面的相似性（包括形式上的相似、結構上的相似、內容上的相似等），就可以類比。類比推理是小學階段常用的一種推理方法，它能幫助學生內化數學知識、優(yōu)化問題解決、實現(xiàn)數學應用。但必須注意的是，類比推理是合情推理（也稱或然推理），有時候雖然看起來合情合理，結論好像（應該）是對的，但本質上條件和結論沒有必然的聯(lián)系，即類比推理具有或然性。

類比推理是一種生動、活潑的思維方式，符合小學生的年齡與身心發(fā)展的特征。在小學數學課堂應用類比推理開展教學，能夠幫助學生更好地掌握和理解知識，培養(yǎng)其推理能力，促進其思維發(fā)展。但小學生的邏輯思維不夠嚴密、成熟，在由一般到一般、個別到個別的過程中很容易將屬性遷移，忽視或然性，造成錯誤。

例如，有學生在學習了乘法分配律后會類推出除法也有這樣的運算律，在看到100÷（20+30）時，會寫成100÷20+100÷30;在學習2和5的倍數特征時，發(fā)現(xiàn)關注的都是個位，從而類推出3的倍數特征是個位是3、6、9;在學習了“長方形的面積=長×寬”“正方形的面積=邊長×邊長”后，會推想“平行四邊形的面積=底×鄰邊”;等等。這些都是小學數學中類比推理或然性的體現(xiàn)，也是學生常常容易忽略和出錯的點。它們就像纏繞住學生思維發(fā)展的藤蔓，阻礙了學生整體數學素養(yǎng)的提升。

三、實踐：突破樊籬，探尋出路

（一）從表層到實質：抓核心問題

類比推理中的或然性常常出現(xiàn)在學生思維易混淆之處，特別是當某些概念有多重屬性的時候，學生往往會被表層的現(xiàn)象迷惑，而忽略實質的差異。如本文一開始的問題，就是學生將“兩個數量相差的量不變”錯誤類推到“兩個數量相差的分率不變”所致。從表層看，是類推過程中偷換了概念，但究其本質，核心問題是學生對分數表示“率”與“量”這兩重屬性混淆不清。因此，要從表層錯誤入手，抓住學生思維漏洞的實質，依據核心問題展開教學。具體過程如下：

師（出示“甲比乙多14”“甲比乙多14元”）這兩個條件一樣嗎？

生不一樣。前一個14反映的是甲與乙相差的分率;后一個14反映的是甲比乙多的具體的數量。

生“甲比乙多14”這句話里，乙是單位“1”，可以將乙看成4份，甲比乙多1份，甲就是5份。

師很好！在低年級時我們學過，甲比乙多4個可以說成乙比甲少4個，你覺得這兩個條件都可以這樣反過來說嗎？

生第二個可以， “14元”是具體的數量，可以和以前一樣說成“乙比甲少14元”;但第一個是分率，應該不能這樣類推。

生第二個不能這樣類推。根據前面同學的回答可以知道，乙是4份，甲是5份，“乙比甲少幾分之一”的單位“1”是甲，要去除以5，算式應該是（5-4）÷5，結果是15。

生是的，不管是甲比乙多1份，還是乙比甲少1份，相差的份數沒變;但求分率時單位“1”發(fā)生了變化，所以相差的分率也不同，這就是相差的分率與相差的量的區(qū)別。

基于兒童認知事物的特點，學生一年級學習數學時，最先接觸的是數量。因為數是抽象的，而數量與生活相關，更接近學生的實際體驗。上述教學過程中，教師通過提問“這兩個條件一樣嗎？”調動學生思考，并緊扣這一核心問題，從學生熟悉的整數相差關系入手，幫助學生理解分數表示的相差的量也不變，再引導學生發(fā)現(xiàn)相差的分率和單位“1”有關，明確之前的經驗不能進行簡單的類推。

（二）從形似到神似：融演繹推理

小學生以形象思維為主要思考方式，在類比推理時容易因為追求形式的相似而忽略內在的聯(lián)系，出現(xiàn)錯誤。因此，教師應適時融入演繹推理，通過演繹推理不斷修正結論，從“形似”到“神似”。

例如，蘇教版小學數學五年級上冊《小數加法和減法》第一課時，學生會出現(xiàn)末尾對齊的錯誤算法，教師可以融合演繹推理開展教學：

師（出示圖1、圖2）同學們出現(xiàn)了兩種做法，左邊是末尾對齊，右邊是小數點對齊，請大家來說說對這兩種做法的思考。

生第一種做法是錯誤的。4.75比4大，3.4比3大，結果一定比7大，所以5.09是錯誤的。

生4.75元是4元7角5分，3.4元是3元4角，合起來是8元1角5分，也就是8.15元，所以第二種正確。

師聽了兩位同學的回答，剛才用第一種做法的同學知道錯在哪了嗎？

（學生紛紛點頭。）

師那請一位用第一種做法的同學來說說，為什么想到末尾對齊呢？

生整數475+34的豎式計算是末尾對齊，所以這里我也覺得是末尾對齊。

師看來是以前的學習經驗對你產生了影響。（出示圖3）我們一起來看，這里的兩個式子都是末尾對齊，形式上相似，但形似了做法就相同嗎？左邊的式子表示什么？

生475個一加34個一是509個一，也就是509。

師再看右邊，表示475個百分之一加34個十分之一，能直接加嗎？

生不能，只有計數單位相同才能直接相加減，所以要將34個十分之一轉化成340個百分之一，475個百分之一加340個百分之一是815個百分之一，也就是8.15。

生將34個十分之一轉化成340個百分之一，計數單位相同才能直接相加減，這樣就做到了數位對齊，數位對齊就是小數點對齊。

生從整數加減法到小數加減法雖然形式上發(fā)生了變化，但本質上都是數位對齊，這才是它們真正相同的部分。

師（出示圖4）是啊，對齊的形式并不是它們真正相似的地方，數位對齊才是真正的神似。

從形似到神似，以演繹推理不斷修正類比推理，使學生真正尋找到同化新知識的上位概念或相似概念，實現(xiàn)數學思維的正向遷移，從而深刻理解知識。

（三）從低階到高階：引深度思考

在幫助學生感知類比推理的或然性時，教師習慣用舉反例的方法。確實，舉反例能立刻擊破學生類比推理得到的錯誤結論，但若僅僅如此，會讓學生的思維停留在比較低階的層次上。因此，還要在不斷的辯證討論中引發(fā)學生的深度思考，塑造學生的高階思維。

例如，當學生根據長方形、正方形的面積公式推想到“平行四邊形的面積=底×鄰邊”這一錯誤認知時，有教師會通過引導學生在方格紙上畫平行四邊形，應用數方格的方法，發(fā)現(xiàn)各種反例來明確錯誤。這樣的教學設計看似簡單高效，實則單薄淺顯?？梢蚤_展如下的補充教學：

師同學們，我們已經學習了長方形、正方形的周長公式，你覺得平行四邊形的周長公式應該是怎樣的？

生我覺得和長方形、正方形一樣，都是一組鄰邊的和再乘2。

生我贊同他的觀點?？梢宰鲆粋€活動的平行四邊形框架，拉伸后就成了長方形（或正方形），這個過程中周長不變，所以平行四邊形和長方形的周長公式一樣，都是一組鄰邊的和再乘2。

師看來，對于周長這個概念我們是可以把之前學習的長方形、正方形的經驗直接遷移過來的。那平行四邊形的面積呢？剛才我們通過在方格紙上舉反例，明確了平行四邊形的面積不是“底×鄰邊”?，F(xiàn)在，你又有什么新的思考？可以結合剛才周長的研究過程小組探索一下。

（學生小組活動。）

生（展示圖5）我們小組發(fā)現(xiàn)，將平行四邊形拉伸成長方形，圖中的涂色三角形可以平移到左邊，將空缺補齊，上面斜線部分就是多出來的面積。

師也就說，拉伸后的長方形的面積比原來平行四邊形的面積——

生（齊）大。

師這是因為——

生原來平行四邊形的高變長了，所以面積變大了。

師如果將平行四邊形往下壓呢？

生面積會變小，因為它的高變短了。

生我發(fā)現(xiàn)，當平行四邊形的底和鄰邊固定后，向上拉或者往下壓就改變了高，面積也隨之改變。所以不能用“底×鄰邊”來計算平行四邊形的面積。

師周長可以類推，面積卻不可以。長方形、正方形、平行四邊形這三者之間的關系也太奇怪了！

生我覺得上面兩個問題還要結合這三者之間的關系來理解。我們知道，長方形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長方形，（展示圖6）它們三者的關系可以用這樣的圖來表示。正方形是特殊的長方形，所以長方形的周長和面積公式可以直接類推到正方形;而長方形是特殊的平行四邊形，所以它的周長和面積的公式不能簡單地類推到平行四邊形。

生我贊同他的觀點。周長研究的只是四條邊長度的和，可以類推;但通過剛才的研究我們知道，平行四邊形的面積與高有關，長方形和正方形一組鄰邊的夾角是90°，鄰邊就是高，而一般的平行四邊形夾角小于90°，高和鄰邊不相等，所以不能類推。

根據布魯姆認知目標分類，“回憶、理解、應用”為低階思維，“分析、評價、創(chuàng)造”為高階思維。確定“用‘底×鄰邊計算平行四邊形的面積是錯誤的”對應學生的低階思維，而要想讓學生的思維向高階發(fā)展，就需要引導其關注平行四邊形一組鄰邊固定后高變化引起的面積變化，關注三類平面圖形的關系，從而深化對三類圖形周長和面積的認知。

類比推理作為合情推理的重要形式之一，在小學階段有著廣泛的應用，但其作為合情推理的或然性不容忽視。教師應引導學生重視其或然性并不斷糾正偏誤，養(yǎng)成有根有據的理性思維和實事求是的科學態(tài)度，錘煉良好的思維品質。

參考文獻：

[1] 孫保華. 重視類比推理提升思維能力[J].教育科學論壇，2018（7）.