龔景昱
摘 要:“基本不等式”屬于高中數(shù)學(xué)基本預(yù)備知識(shí),對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題策略也有關(guān)鍵作用。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),尤其強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),這些方面在本文給出的教學(xué)設(shè)計(jì)中得以體現(xiàn)。
關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng) 基本不等式
本文給出核心素養(yǎng)視角下的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)。
1 教學(xué)設(shè)計(jì)
1.1 問題情境,導(dǎo)入新知
一個(gè)顧客發(fā)現(xiàn)自己購(gòu)買金飾重量和老板標(biāo)的不一樣,于是向金店的老板要求賠償,老板提出了解決方案:把金飾在天平兩側(cè)重量的平均值作為實(shí)際重量。
問題1:如果你是這個(gè)顧客,你接受這個(gè)方案嗎?說說原因。
問題2:解決方案是否轉(zhuǎn)化成了和誰(shuí)大的問題?能估計(jì)一下它們的大小關(guān)系嗎?
設(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生對(duì)不等關(guān)系有初步猜測(cè),鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考。
1.2 動(dòng)手操作,幾何引入
探究一:如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”,你能找出一些不等關(guān)系嗎?
探究二:把兩張正方形紙片沿對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形,用這兩個(gè)三角形拼接出一個(gè)矩形。設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為a和b,比較兩個(gè)直角三角形的面積和拼出的矩形的面積,這其中存在什么不等關(guān)系?
設(shè)計(jì)意圖:通過觀察幾何圖形和動(dòng)手操作,使學(xué)生對(duì)基本不等式中大小關(guān)系有直觀體會(huì),為后面嚴(yán)謹(jǐn)證明提供前提和鋪墊。
1.3 代數(shù)證明,得出結(jié)論
由兩個(gè)探究,初步形成兩個(gè)不等式結(jié)論:
請(qǐng)用代數(shù)方法證明這兩個(gè)不等式。
基本不等式:
設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生使用進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明,由“形”到“數(shù)”,更加深刻理解基本不等式的內(nèi)涵。
1.4 幾何證明,相得益彰
探究三:如圖為圓的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b,過C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。
設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí),讓學(xué)生體會(huì)以數(shù)代形,通過對(duì)圖形的觀察分析以形代數(shù),進(jìn)而完善前面的代數(shù)結(jié)論。[2]
1.5 應(yīng)用舉例,建立模型
例1.(1)用籬笆圍100平方米的矩形菜園,菜園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?
(2)一段36米的籬笆圍矩形菜園,菜園的長(zhǎng)、寬為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生自己歸納出利用基本不等式求最值問題的數(shù)學(xué)模型,體會(huì)不等式在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。
例2.求的值域
設(shè)計(jì)意圖:在鞏固運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題的基礎(chǔ)上,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生理解基本不等式的三個(gè)限制條件在解決最值問題中的作用,體會(huì)數(shù)學(xué)方法與解題策略。
1.6 歸納小結(jié),反思提高
(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了基本不等式的兩種形式,還有哪些變式?
(2)你能總結(jié)一下如何運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題嗎?
設(shè)計(jì)意圖:通過提問幫助學(xué)生建立知識(shí)體系,理解數(shù)學(xué)基本思想方法。
2 教學(xué)設(shè)計(jì)反思
2.1 重視創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)教學(xué)情境
通過情境,建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際生活的聯(lián)系,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效策略。好的情境,數(shù)學(xué)知識(shí)和方法蘊(yùn)含于其中,學(xué)生通過認(rèn)識(shí)情境而獲得知識(shí),在這個(gè)過程中自然而然獲得從情境到數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化。本文中的教學(xué)設(shè)計(jì)在導(dǎo)入部分采用天平問題的數(shù)學(xué)教學(xué)情境,從提出問題指向不等關(guān)系,再?gòu)牟坏汝P(guān)系抽象到不等式,為后續(xù)的幾何探究奠定基礎(chǔ)。
2.2 關(guān)注學(xué)生思維過程
本文的教學(xué)設(shè)計(jì),從天平問題出發(fā)引出兩種幾何探究情境。盡管兩種幾何情境得到的初步結(jié)論不夠完善,也不妨礙學(xué)生自主進(jìn)行代數(shù)證明,證明結(jié)果和原命題產(chǎn)生沖突,激發(fā)他們的探究熱情,這個(gè)過程是體現(xiàn)了“由形到數(shù)”。讓學(xué)生證不完善的命題,引起他們的認(rèn)知沖突,這更符合學(xué)生思維特點(diǎn),一定程度上經(jīng)歷了“自我糾錯(cuò)”的過程,培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維能力。運(yùn)用代數(shù)法證明后,再次回到幾何情境,移動(dòng)弦的位置更直觀看出公式形成的過程,這個(gè)過程體現(xiàn)了“由數(shù)到形”。整個(gè)過程經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合的過程,使學(xué)生能夠更深刻理解不等式成立的條件及幾何意義。
2.3 幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作,完成問題解決和反思的過程。本文教學(xué)設(shè)計(jì)中,兩處體現(xiàn)了基于核心素養(yǎng)的要求,動(dòng)手操作、歸納模型屬于兩種典型的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。幾何探究部分,通過觀察幾何圖形和動(dòng)手操作,使學(xué)生對(duì)基本不等式的形式有直觀體會(huì),為嚴(yán)謹(jǐn)證明提供前提。應(yīng)用舉例部分,通過兩個(gè)典型問題引導(dǎo)學(xué)生建立求最值的數(shù)學(xué)模型,體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。
參考文獻(xiàn):
[1] 教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.
[2] 蔡濤.立足素養(yǎng) 精準(zhǔn)教學(xué)——新教材“基本不等式”第一節(jié)的教學(xué)實(shí)踐與感悟[J].數(shù)學(xué)通訊,2020(20):26-29.
南京師范大學(xué) (江蘇省南京市 210000)