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        核心素養(yǎng)視角下的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計

        2021-04-16 15:47:48龔景昱
        成長 2021年5期
        關(guān)鍵詞:基本不等式意圖證明

        龔景昱

        摘 要:“基本不等式”屬于高中數(shù)學(xué)基本預(yù)備知識,對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題策略也有關(guān)鍵作用。當前數(shù)學(xué)教育關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),尤其強調(diào)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),這些方面在本文給出的教學(xué)設(shè)計中得以體現(xiàn)。

        關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng) 基本不等式

        本文給出核心素養(yǎng)視角下的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計。

        1 教學(xué)設(shè)計

        1.1 問題情境,導(dǎo)入新知

        一個顧客發(fā)現(xiàn)自己購買金飾重量和老板標的不一樣,于是向金店的老板要求賠償,老板提出了解決方案:把金飾在天平兩側(cè)重量的平均值作為實際重量。

        問題1:如果你是這個顧客,你接受這個方案嗎?說說原因。

        問題2:解決方案是否轉(zhuǎn)化成了和誰大的問題?能估計一下它們的大小關(guān)系嗎?

        設(shè)計意圖:使學(xué)生對不等關(guān)系有初步猜測,鼓勵學(xué)生獨立思考。

        1.2 動手操作,幾何引入

        探究一:如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”,你能找出一些不等關(guān)系嗎?

        探究二:把兩張正方形紙片沿對角線折成兩個等腰直角三角形,用這兩個三角形拼接出一個矩形。設(shè)兩個正方形的面積分別為a和b,比較兩個直角三角形的面積和拼出的矩形的面積,這其中存在什么不等關(guān)系?

        設(shè)計意圖:通過觀察幾何圖形和動手操作,使學(xué)生對基本不等式中大小關(guān)系有直觀體會,為后面嚴謹證明提供前提和鋪墊。

        1.3 代數(shù)證明,得出結(jié)論

        由兩個探究,初步形成兩個不等式結(jié)論:

        請用代數(shù)方法證明這兩個不等式。

        基本不等式:

        設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生使用進行嚴謹證明,由“形”到“數(shù)”,更加深刻理解基本不等式的內(nèi)涵。

        1.4 幾何證明,相得益彰

        探究三:如圖為圓的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b,過C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。

        設(shè)計意圖:進一步加強數(shù)形結(jié)合的意識,讓學(xué)生體會以數(shù)代形,通過對圖形的觀察分析以形代數(shù),進而完善前面的代數(shù)結(jié)論。[2]

        1.5 應(yīng)用舉例,建立模型

        例1.(1)用籬笆圍100平方米的矩形菜園,菜園的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?

        (2)一段36米的籬笆圍矩形菜園,菜園的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?

        設(shè)計意圖:學(xué)生自己歸納出利用基本不等式求最值問題的數(shù)學(xué)模型,體會不等式在現(xiàn)實中的應(yīng)用。

        例2.求的值域

        設(shè)計意圖:在鞏固運用所學(xué)知識解題的基礎(chǔ)上,體會數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生理解基本不等式的三個限制條件在解決最值問題中的作用,體會數(shù)學(xué)方法與解題策略。

        1.6 歸納小結(jié),反思提高

        (1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了基本不等式的兩種形式,還有哪些變式?

        (2)你能總結(jié)一下如何運用基本不等式解決簡單最值問題嗎?

        設(shè)計意圖:通過提問幫助學(xué)生建立知識體系,理解數(shù)學(xué)基本思想方法。

        2 教學(xué)設(shè)計反思

        2.1 重視創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)教學(xué)情境

        通過情境,建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實際生活的聯(lián)系,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效策略。好的情境,數(shù)學(xué)知識和方法蘊含于其中,學(xué)生通過認識情境而獲得知識,在這個過程中自然而然獲得從情境到數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)化。本文中的教學(xué)設(shè)計在導(dǎo)入部分采用天平問題的數(shù)學(xué)教學(xué)情境,從提出問題指向不等關(guān)系,再從不等關(guān)系抽象到不等式,為后續(xù)的幾何探究奠定基礎(chǔ)。

        2.2 關(guān)注學(xué)生思維過程

        本文的教學(xué)設(shè)計,從天平問題出發(fā)引出兩種幾何探究情境。盡管兩種幾何情境得到的初步結(jié)論不夠完善,也不妨礙學(xué)生自主進行代數(shù)證明,證明結(jié)果和原命題產(chǎn)生沖突,激發(fā)他們的探究熱情,這個過程是體現(xiàn)了“由形到數(shù)”。讓學(xué)生證不完善的命題,引起他們的認知沖突,這更符合學(xué)生思維特點,一定程度上經(jīng)歷了“自我糾錯”的過程,培養(yǎng)了學(xué)生的嚴謹思維能力。運用代數(shù)法證明后,再次回到幾何情境,移動弦的位置更直觀看出公式形成的過程,這個過程體現(xiàn)了“由數(shù)到形”。整個過程經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合的過程,使學(xué)生能夠更深刻理解不等式成立的條件及幾何意義。

        2.3 幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

        幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,就是引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、操作,完成問題解決和反思的過程。本文教學(xué)設(shè)計中,兩處體現(xiàn)了基于核心素養(yǎng)的要求,動手操作、歸納模型屬于兩種典型的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。幾何探究部分,通過觀察幾何圖形和動手操作,使學(xué)生對基本不等式的形式有直觀體會,為嚴謹證明提供前提。應(yīng)用舉例部分,通過兩個典型問題引導(dǎo)學(xué)生建立求最值的數(shù)學(xué)模型,體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中所強調(diào)的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

        參考文獻:

        [1] 教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

        [2] 蔡濤.立足素養(yǎng) 精準教學(xué)——新教材“基本不等式”第一節(jié)的教學(xué)實踐與感悟[J].數(shù)學(xué)通訊,2020(20):26-29.

        南京師范大學(xué) (江蘇省南京市 210000)

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