龔景昱

摘 要：“基本不等式”屬于高中數(shù)學(xué)基本預(yù)備知識，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題策略也有關(guān)鍵作用。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，尤其強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，這些方面在本文給出的教學(xué)設(shè)計(jì)中得以體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 基本不等式

本文給出核心素養(yǎng)視角下的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)。

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 問題情境，導(dǎo)入新知

一個(gè)顧客發(fā)現(xiàn)自己購買金飾重量和老板標(biāo)的不一樣，于是向金店的老板要求賠償，老板提出了解決方案：把金飾在天平兩側(cè)重量的平均值作為實(shí)際重量。

問題1：如果你是這個(gè)顧客，你接受這個(gè)方案嗎？說說原因。

問題2：解決方案是否轉(zhuǎn)化成了和誰大的問題？能估計(jì)一下它們的大小關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對不等關(guān)系有初步猜測，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考。

1.2 動手操作，幾何引入

探究一：如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，你能找出一些不等關(guān)系嗎？

探究二：把兩張正方形紙片沿對角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，用這兩個(gè)三角形拼接出一個(gè)矩形。設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為a和b，比較兩個(gè)直角三角形的面積和拼出的矩形的面積，這其中存在什么不等關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察幾何圖形和動手操作，使學(xué)生對基本不等式中大小關(guān)系有直觀體會，為后面嚴(yán)謹(jǐn)證明提供前提和鋪墊。

1.3 代數(shù)證明，得出結(jié)論

由兩個(gè)探究，初步形成兩個(gè)不等式結(jié)論：

請用代數(shù)方法證明這兩個(gè)不等式。

基本不等式：

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生使用進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明，由“形”到“數(shù)”，更加深刻理解基本不等式的內(nèi)涵。

1.4 幾何證明，相得益彰

探究三：如圖為圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識，讓學(xué)生體會以數(shù)代形，通過對圖形的觀察分析以形代數(shù)，進(jìn)而完善前面的代數(shù)結(jié)論。[2]

1.5 應(yīng)用舉例，建立模型

例1.（1）用籬笆圍100平方米的矩形菜園，菜園的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段36米的籬笆圍矩形菜園，菜園的長、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己歸納出利用基本不等式求最值問題的數(shù)學(xué)模型，體會不等式在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。

例2.求的值域

設(shè)計(jì)意圖：在鞏固運(yùn)用所學(xué)知識解題的基礎(chǔ)上，體會數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生理解基本不等式的三個(gè)限制條件在解決最值問題中的作用，體會數(shù)學(xué)方法與解題策略。

1.6 歸納小結(jié)，反思提高

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了基本不等式的兩種形式，還有哪些變式？

（2）你能總結(jié)一下如何運(yùn)用基本不等式解決簡單最值問題嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過提問幫助學(xué)生建立知識體系，理解數(shù)學(xué)基本思想方法。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

2.1 重視創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)教學(xué)情境

通過情境，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際生活的聯(lián)系，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效策略。好的情境，數(shù)學(xué)知識和方法蘊(yùn)含于其中，學(xué)生通過認(rèn)識情境而獲得知識，在這個(gè)過程中自然而然獲得從情境到數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)化。本文中的教學(xué)設(shè)計(jì)在導(dǎo)入部分采用天平問題的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，從提出問題指向不等關(guān)系，再從不等關(guān)系抽象到不等式，為后續(xù)的幾何探究奠定基礎(chǔ)。

2.2 關(guān)注學(xué)生思維過程

本文的教學(xué)設(shè)計(jì)，從天平問題出發(fā)引出兩種幾何探究情境。盡管兩種幾何情境得到的初步結(jié)論不夠完善，也不妨礙學(xué)生自主進(jìn)行代數(shù)證明，證明結(jié)果和原命題產(chǎn)生沖突，激發(fā)他們的探究熱情，這個(gè)過程是體現(xiàn)了“由形到數(shù)”。讓學(xué)生證不完善的命題，引起他們的認(rèn)知沖突，這更符合學(xué)生思維特點(diǎn)，一定程度上經(jīng)歷了“自我糾錯(cuò)”的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維能力。運(yùn)用代數(shù)法證明后，再次回到幾何情境，移動弦的位置更直觀看出公式形成的過程，這個(gè)過程體現(xiàn)了“由數(shù)到形”。整個(gè)過程經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合的過程，使學(xué)生能夠更深刻理解不等式成立的條件及幾何意義。

2.3 幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作，完成問題解決和反思的過程。本文教學(xué)設(shè)計(jì)中，兩處體現(xiàn)了基于核心素養(yǎng)的要求，動手操作、歸納模型屬于兩種典型的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。幾何探究部分，通過觀察幾何圖形和動手操作，使學(xué)生對基本不等式的形式有直觀體會，為嚴(yán)謹(jǐn)證明提供前提。應(yīng)用舉例部分，通過兩個(gè)典型問題引導(dǎo)學(xué)生建立求最值的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 蔡濤.立足素養(yǎng) 精準(zhǔn)教學(xué)——新教材“基本不等式”第一節(jié)的教學(xué)實(shí)踐與感悟[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（20）：26-29.

南京師范大學(xué) （江蘇省南京市 210000）