李 瓊, 武 東

(1. 徽商職業(yè)學(xué)院 電子信息系,合肥231201;2. 安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,合肥230036)

0 引言

假設(shè)產(chǎn)品的壽命服從兩參數(shù)Gompertz 分布,其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為:

式中:x通常為壽命, 不能為負(fù)值;θ ＞0 為尺度參數(shù);β ∈R為形狀參數(shù)。當(dāng)β ＞0 時(shí), 失效率函數(shù)λ(x) =θeβx為單調(diào)遞增;當(dāng)β ＜0 時(shí),失效率函數(shù)λ(x)單調(diào)遞減。

Gompertz 分布在可靠性與生存分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用, 周會會[1]研究了Gompertz 分布尺度參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間。Wu 等[2]研究了首次失效樣本情形下Gompertz 分布的參數(shù)估計(jì)。Wu 等[3]研究了基于逐步增加定數(shù)截尾下Gompertz 分布的最大似然估計(jì),并運(yùn)用F分布構(gòu)造了兩參數(shù)的聯(lián)合置信區(qū)間。Lenart[4]研究了Gompertz 分布的矩以及參數(shù)的最大似然估計(jì)。Sanku 等[5]研究了Gompertz分布的各種估計(jì)方法和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。而關(guān)于Gompertz分布的推廣主要有: 三參數(shù)指數(shù)型Gompertz 分布、逆Gompertz 分布、Alpha 冪Gompertz 分布、Unit-Gompertz 分布等[6-9]。關(guān)于Gompertz 分布在可靠性統(tǒng)計(jì)方面的研究, Ismial[10]研究了在定時(shí)截尾下Gompertz 分布場合部分加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。Saracoˇglu 等[11]研究了Gompertz 分布產(chǎn)品應(yīng)力強(qiáng)度模型的最大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。王蓉華等[12]研究了TFR 模型Gompertz 分布場合多步步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最大似然估計(jì)。Essam[13]研究了逐步增加定數(shù)截尾情況下廣義Gompertz 分布的某些壽命參數(shù)的估計(jì)。截至目前, 尚未有文獻(xiàn)研究基于逐步增加定數(shù)截尾樣本Gompertz 分布參數(shù)的逆矩估計(jì),鑒于此,本文研究了逐步增加定數(shù)截尾樣本下Gompertz 分布場合的逆矩估計(jì),并提出一種參數(shù)聯(lián)合置信區(qū)間的新方法,最后通過Monte Carlo 模擬和實(shí)例說明得出算法的有效性。

1 參數(shù)估計(jì)

假設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn),在第1 個(gè)失效時(shí)刻X1,從尚未失效的n-1 產(chǎn)品中隨機(jī)選擇R1個(gè)產(chǎn)品移離試驗(yàn),在第2 個(gè)失效時(shí)刻X2,從尚未失效的n-2-R1個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)選擇R2個(gè)產(chǎn)品移離試驗(yàn),如此直到第m個(gè)失效時(shí)刻Xm,所有尚未失效的個(gè)產(chǎn)品均移離試驗(yàn),稱為逐步增加定數(shù)截尾試驗(yàn),得到的隨機(jī)樣本稱為逐步增加定數(shù)截尾樣本,當(dāng)R1=R2=···=Rm-1= 0,Rm=n-m時(shí)退化為定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。

對于預(yù)先給定的移離部件數(shù) (R1=r1,··· ,Rm-1=rm-1), 令X1＜X2＜··· ＜Xm表示來自兩參數(shù)Gompertz 分布的逐步增加定數(shù)截尾樣本。作以下變量變換:

式中:Y1＜Y2＜··· ＜Ym為來自標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的逐步增加定數(shù)截尾樣本;i為失效時(shí)刻的次數(shù)?？紤]下列變換:

Thomas 等[14]證明了Z1,Z2,··· ,Zm為獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布。ri為第i次移離的部件數(shù)。

引理1[15]設(shè)Z1,Z2,··· ,Zm為來自標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的簡單隨機(jī)樣本,令

引理2假設(shè)同上,記

則:

(1)h(β)服從自由度為2m-2 的χ2分布。

(2)h(β)在區(qū)間(-∞,∞)是關(guān)于β的嚴(yán)格增函數(shù)。

證明:

(2)由式(6)及引理1 知:

式中: eβ(Xi+1-Xi),··· ,eβ(Xm-Xi)為關(guān)于β的增函數(shù); eβ(X1-Xi),··· ,eβ(Xi-1-Xi)為關(guān)于β的減函數(shù)。因此h(β) 在區(qū)間(-∞,∞) 為關(guān)于β的嚴(yán)格增函數(shù)。

(3) 類似于文獻(xiàn)[16]中方程根的唯一性討論,由上述h(β) 表達(dá)式容易得出從而由零點(diǎn)定理知對任意t ∈R,方程h(β)=t在(-∞,∞)有唯一根。

定理設(shè)X1＜X2＜··· ＜Xm是一個(gè)來自Gompertz 分布的逐步增加定數(shù)截尾樣本,則:

(1)形狀參數(shù)β的置信水平為(1-α)100%的置信區(qū)間為

(2)θ,β的置信水平為(1-α)100%的聯(lián)合置信域由下面不等式確定:

證明因?yàn)閔(β)是樞軸量且服從χ2(2m-2),由引理2 可得

式中,P為事件發(fā)生的概率。

因h(β) 和均為樞軸量且相互獨(dú)立, 且于是

從而得證。

由上述討論, 利用王炳興[17]的逆矩估計(jì)方法可以推出Gompertz 分布參數(shù)的逆矩估計(jì)。由引理1知-2iln(Ti/Ti+1)(i= 1,2,··· ,m-1) 為準(zhǔn)樣本,因此β參數(shù)的逆矩估計(jì)?β為

由引理2 知,式(10)存在唯一解。

同樣地,Z1,Z2,··· ,Zm為來自標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的準(zhǔn)樣本,因此θ參數(shù)的逆矩估計(jì)由下式確定:

2 Monte Carlo 模擬

以上討論了逐步增加定數(shù)截尾下Gompertz 分布的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì),按以下Monte Carlo 方法可得Gompertz 分布場合逐步增加定數(shù)截尾樣本的隨機(jī)數(shù),具體步驟[18]如下:

(1)從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布產(chǎn)生m個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)Z1,Z2,··· ,Zm;

(2)令

式中:i= 1,2,··· ,m;Y1,Y2,··· ,Ym為逐步增加定數(shù)截尾下標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布樣本;n為試驗(yàn)的產(chǎn)品總個(gè)數(shù);R1,R2,··· ,Rm-1為依次從試驗(yàn)中移離的產(chǎn)品個(gè)數(shù)。

(3)最后,令

式中:X1,X2,··· ,Xm為來自Gompertz 分布的逐步增加定數(shù)截尾樣本。

為了考察逆矩估計(jì)的精度,取Gompertz 分布參數(shù)θ= 1.5,β= 3, 從該分布產(chǎn)生m個(gè)逐步增加定數(shù)截尾樣本x1,x2,··· ,xm。每種試驗(yàn)方案產(chǎn)生100組模擬樣本并且計(jì)算逆矩估計(jì)的相對偏差與均方誤差,具體試驗(yàn)安排與估計(jì)結(jié)果如表1 所示。

表1 為逐步增加定數(shù)截尾下Gompertz 分布的試驗(yàn)方案和估計(jì)結(jié)果,由估計(jì)的相對偏差(RBias)和相對均方誤差(RMSE)可以看出,逆矩估計(jì)的精度較高,說明該估計(jì)有效。

表1 逐步增加定數(shù)截尾下Gompertz 分布的試驗(yàn)方案與估計(jì)結(jié)果Tab.1 Test scheme and estimate results of Gompertz distribution under progressive type II censoring

3 實(shí)例研究

例1利用Wu 等[3]給出的無瘤時(shí)間的逐步增加定數(shù)截尾樣本證實(shí)本文所提方法, 令n= 30,m= 16, 具體試驗(yàn)方案與觀測數(shù)據(jù)如表2 所示。

表2 基于無瘤時(shí)間的逐步增加定數(shù)截尾樣本Tab.2 Progressive type II censored sample based on the tumor-free data

利用式(10)、(11) 分別得到參數(shù)θ和β的逆矩估計(jì)分別為= 0.0511 和= 0.00023。為了得到的95% 置信區(qū)間, 需要2 個(gè)分位數(shù):(30) = 46.9792 和(30) = 16.7908。利用定理得到β的95%置信區(qū)間為(0.0459,0.1458),該結(jié)果跟文獻(xiàn)[3]比較接近,說明了方法的可行性。

進(jìn)一步, 為獲得θ和β的95% 聯(lián)合置信區(qū)間,需要分位數(shù):(30) = 27.2180,(30) =31.5615,(32) = 29.1448 和(32) =33.6343,θ和β的95%聯(lián)合置信區(qū)間由下列不等式確定: